BMS Physik Theorie Wärmelehre

BMS Physik TheorieWärmelehre
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BMS Physik TheorieWärmelehre
Wärmelehre (Thermodynamik)
In diesem Kapitel werden wir den Einfluss der Wärmeveränderung auf Stoffe
quantitativ beschreiben (mit Zahlen und Einheiten). Mit dem Ziel, dass wir Experimente begreifen und deren Ergebnisse auch voraussagen können. Wichtig voneinander zu unterscheiden sind:
• Der Wärmezustand (Temperatur)
• Die Wärmeenergie (Q)
1. Die Temperatur
Die Temperatur eines Körpers ist das Mass für die mittlere Bewegungsenergie pro
Molekül (Molekülschwingung). Für die Angabe der Temperatur existieren verschiedene Temperaturskalen und Einheiten:
Einheiten und deren Zeichen
Grössensymbol
William Thomson
1. Lord Kelvin 1824 – 1907
Beispiel 100°C
Celsius
°C
J (Theta)
100 °C
Kelvin
(SI Einheit)
K
T
373.15 K
Fahrenheit
°F
212 °F
Schematische Darstellung einer
Molekülschwingung
Eine physikalische Grösse (wie die Temperatur) besitzt einen Wert (273.15) und eine
Einheit (K):
• [T] = K bedeutet die Einheit von T ist K
• {T} = 273.15 bedeutet der Zahlenwert von T ist 273.15
2. Absoluter Nullpunkt
Der schottische Physiker Lord Kelvin (1824 – 1907) schlug die absolute Tempera
turskala vor.
Merke: ▶▶ Der Nullpunkt der Kelvinskala liegt bei: J0 = –273.15°C = 0 K.
▶▶ Dies ist der absoluter Nullpunkt. Tiefere Temperaturen existieren nicht!
▶▶ Umrechnung:T = J + 273 K
Da nur die Nullpunkte der Kelvin- und Celsiusskala gegeneinander verschoben sind
und beide Skalen die gleiche Schrittweite besitzen, ist eine Temperaturänderung
von z.B. 40 K dasselbe wie eine Änderung um 40°C.
3. Absolute Änderungen (das Delta Zeichen)
Eine Änderung ist eine Differenz zwischen zwei Zuständen (Endzustand – Anfangszustand) und wird mit dem Zeichen Δ (Delta) vor einer Grösse notiert. Die
Temperaturdifferenzen werden in der SI Einheit Kelvin angegeben.
Beispiel: Übungen zum Deltazeichen:
Eine Temperaturänderung eines Wasserbads von 30°C (Anfangszustand) auf
70°C (Endzustand) entspricht: ΔT = +40 K. Denn es gilt ΔT = DJ
Wie gross ist das ΔT?
• Fischstäbchen aus Kühltruhe in Pfanne (schätzen):
• Von der heissen Sahra in die kalte Antarktis:
• Gasförmige Luft und flüssige Luft (Stickstoff):
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Wissenswerte Temperaturen
°C
K
abs. tiefste
Temp.
-273
0
flüssige Luft
-200
73
tiefste Temp.
Antarktis
-89
184
höchste Temp.
Sahara
57
330
Backofen
200
473
Sonne Oberfläche
6000
6273
Sonne Inneres
1.5 107
1.5 107
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4. Erwärmung und Ausdehnung von Körpern
Die Abmessungen eines Körpers verändern sich mit seiner Temperatur. Dabei
unterscheiden wir zwischen festen Körpern, Flüssigkeiten und Gasen. Für Festkörper und Flüssigkeiten gelten die folgenden Beziehungen:
Merke: ▶▶ Für feste Körper gilt näherungsweise γ ≈ 3 ⋅ α (siehe Exkurs)
▶▶ Die Formeln gelten für: Erwärmung (ΔT >0)
wie auch für Abkühlung (ΔT < 0).
▶▶ In Tabellen wird oft die Zehnerpotenz mit der Einheit zusammen
angegeben!
Änderung
Endzustand
Symbol und Grösse
Einheitenzeichen
feste Körper:
Länge (1D)
∆l = lAnfang ⋅ a ⋅ ∆T
lEnde = lAnfang ⋅ (1 + a ⋅ ∆T )
l
Länge
m
feste Körper: Volumen (3D)
∆V = VAnfang ⋅ 3a ⋅ ∆T
VEnde = VAnfang ⋅ (1 + 3a ⋅ ∆T )
V
Volumen
m3
α
LängenAusdehnungskoeffizient
K-1
γ
VolumenAusdehnungskoeffizient
K-1
flüssige Körper:
Volumen (3D)
∆V = VAnfang ⋅ g ⋅ ∆T
VEnde = VAnfang ⋅ (1 + g ⋅ ∆T )
5. Relative Änderung:
Aus ∆l = l0 ⋅ a ⋅ ∆T folgt:
∆l / l0= α ⋅ ∆T
a ⋅ ∆T ist deshalb die relative Längennderung und analog ist g ⋅ ∆T die relative
Volumenänderung. Diese wird in % oder Promille angegeben.
In der Regel dehnen sich Flüssigkeiten stärker aus als feste Körper.
Beispiel für Metalle:
• aEisen⋅ = 12 ⋅ 10−6 K−1 ,
• gEisen⋅ = 36 ⋅ 10−6 K−1 ,
• gHg⋅ = 0.182 ⋅ 10−3 K−1 = 182 ⋅ 10−6 K−1
6. Bimetalle
Verschiedene Stoffe dehnen sich unterschiedlich aus, was bei der Konstruktion von
Bimetallen ausgenutzt wird z.B. für elektrische Schaltungen. (Thermostate)
Üben: Die Werte der verschiedenen Ausdehnungskoeffizienten sind den Tabellen zu entnehmen. Beachten Sie die Zehnerpotenzen!
Cu/Al krümmt sich nach:
Al/Fe krümmt sich nach:
Cu/Fe krümmt sich nach:
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Beispiel: Längenausdehnung / Wie löse ich eine Aufgabe (6 Punkte zum Erfolg!)?
Die Länge eines Messingstabes von 1’000 mm wird um 100°C erwärmt. Wie gross ist die Längenzunahme?
1. Gegeben: l0 = 1m , ∆T = 100K , aMes sin g = 19 ⋅ 10−6 K−1 SI Einheiten und 10er Potenzen anwenden!
2. Gesucht: Dl
3. Formel: ∆l = l0 ⋅ a ⋅ ∆T
4. Einsetzten: ∆l = 1m ⋅ 19 ⋅ 10−6 K−1 ⋅ 100K Einheiten überprüfen, Resultat abschätzen
5. Resultat: 1.9 mm
6. Interpretation: Bei einem Temperaturanstieg von 100 K vergrössert sich die Länge des Messingstabes um 1.9 mm und somit auf eine Totallänge von 1001.9 mm. Die relative Zunahme beträgt immerhin 1.9 Promille
7. Exkurs
Für Festkörper werden nur die linearen Ausdehnungskoeffizienten ( α ) angegeben.
Ein Körper dehnt sich aber in allen drei Raumrichtungen aus (3D). Wieso kann
man γ = 3 ⋅ α verwenden, wenn wir die Volumenänderung eines Körpers berechnen wollen?
3
Das Endvolumen berechnet sich durch (l + ∆l ) , ausmultipliziert ergibt das:
3
VEnde = (l + ∆l ) = l 3 + 3 ⋅ l 2 ⋅ ∆l + 3 ⋅ l ⋅ ∆l 2 + ∆l 3
Was bedeuten nun die verschiedenen Summanden?
• l 3 ist das Volumen eines Würfels mit Kantenlänge l
• 3 ⋅ l 2 ⋅ ∆l ist das Volumen von drei Scheiben (Seitenläge l und Dicke Dl )
• 3 ⋅ l ⋅ ∆l 2 ist das Volumen von drei Stäben
(Länge l , Höhe und Breite = Dl ) und
• Dl 3 ist ein sehr kleiner Würfel mit einer Kantenläge Dl
Schätzen wir nun die Beiträge dieser Summenglieder ab. Die Tabelle zeigt ein Zahlenbeispiel für eine Ausdehnung von 1%:
Die Glieder 3 ⋅ l ⋅ ∆l 2 und Dl 3 sind sehr klein und können daher vernachlässigt
werden. D.h. wir setzen diese zwei Glieder = 0. Es bleibt uns also
3
VEnde = (l + ∆l ) ≈ l 3 + 3 ⋅ l 2 ⋅ ∆l .
Nun klammern wir von l 3 + 3 ⋅ l 2 ⋅ ∆l das Anfangsvolumen aus: l 3 ⋅ ( 1 + 3 ⋅ ∆l / l ) .
Diese Gleichung bedeutet:
l 3 ⋅ (1 + 3 ⋅ rel. Längenzunahme) = V0 (1 +
∆V
)
V0
Aus ∆V = V0 ⋅ g ⋅ ∆T und ∆V = V0 ⋅ 3 ⋅ ∆l / l0 folgt:
γ ⋅ ∆T = 3 ⋅ ∆l / l0 = 3 ⋅ α ⋅ ∆T
Beim Vergleich wird klar, dass die Volumenausdehnung gleich drei Mal der Längenausdehnung ist! Deshalb gilt γ ≈ 3 ⋅ α !
Absolute
Zunahme
l + ∆l = l ⋅ (1 + 0.01) = 1.01 l
Relative Zunahme
Scheibe
Stab
 ∆l 2
  = 0.000′1
 l 
∆l
= 0.01 = 1%
l
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kl. Würfel
 ∆l 3
  = 0.000′001
 l 
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Beispiel:
Volumenausdehnung eines Messbechers
Ein Messbecher aus Kunststoff z.B. Polypropylen, a ≈ 180 ⋅ 10−6 K −1 ist mit Wasser gefüllt. Bei 25°C werden exakt 50 ml angezeigt. Nun wird das Gefäss in einem
Kühlschrank auf 5°C abgekühlt. Welches Volumen zeigt der gekühlte Messbecher
an?
Wir müssen zwei verschiedene Änderungen des Volumens berechnen, die des
Messbechers und die der Flüssigkeit:
Messbecher:
γ ≈ 3α = 540 ⋅ 10−6 K−1 ∆VPP = 50 ml ⋅ g ⋅ −20 K ≈ −0.54 ml ,
∆VPP = 49.46 ml
Wasser:
g ≈ 0.21 ⋅ 10−3 K−1 ∆VH 2O = 50 ml ⋅ g ⋅ −20 K ≈ −0.21 ml
∆VH 2O = 49.79 ml
Die Volumenänderung des Kunststoff ist grösser als des Wassers! Darum zeigt der
Messbecher bei Abkühlung ein grösseres Volumen an.
( 49.79 − 49.46 ) ml = 0.33 ml Angezeigtes Volumen 50.33 ml.
8. Die Dichte
Die Dichte gibt das Verhältnis zwischen der Masse und des Volumens an. Bei einer
Änderung der Temperatur bleibt die Masse konstant (Anzahl Atome), jedoch das
Volumen ändert sich. Das Volumen ist Proportional zur Temperatur.
Symbol und Grösse
m
ρ=
V
oder
m
ρ (T ) =
V (T )
Einheitenzeichen
ρ
Dichte
kg
m3
m
Masse
kg
V
Volumen
m3
Die Dichten sind für feste Körper und Flüssigkeiten bei 20°C tabelliert (siehe FoSa).
Soll die Dichte aber bei einer neuen Temperatur berechnet werden, z.B. bei T2, dann
=
müssen Sie die Volumenänderung ∆V (von
T1 nach T2) berücksichtigen.
für T2 : ρ 2 =
m
m
m
=
=
V2 V + ∆V V + γ ⋅ ∆T ⋅V0
Merke: ▶▶ Achtung: Umrechnungsfehler bei den Einheiten!
▶▶ Mit zunehmender Temperatur steigt das Volumen, die Masse bleibt aber konstant,
also nimmt die Dichte ab!
▶▶ Wenn Sie eine Dichte bei einer anderen Temperatur als 20°C berechnen müssen,
ist das Volumen nicht gegeben. Das Volumen ändert mit der Temperatur.
Umrechnungen Volumen !
1´000 l =
1´000 dm3 =
1´000´000 ml =
1´000´000 cm3 =
1 m3
1 m3
1 m3
1 m3
▶▶ Tipp: Beginnen Sie mit V20°C = 1.00 m 3 dann ist die Masse besonders einfach zu rechnen: m = ρ20°C ⋅V20°C = ρ20°C ⋅ 1 m 3
Bei Gasen (dies folgt später) kann dasselbe Vorgehen angewendet werden. In der
allgemeinen Gasgleichung kommt nur das Volumen V vor, nicht aber die Dichte.
Auch hier ist es wieder am Einfachsten, wenn bei der Normtemperatur von 0°C ein
Volumen von 1.00 m3 angenommen wird.
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9. Wärme, Energie menge (Q)
James Presscott
Joule
(1818 – 1889)
Die Wärme Q wird als jene Energiemenge definiert, die von selbst von einem Körper mit höherer Temperatur auf einen Körper mit geringerer Temperatur übergeht.
Die Einheit der Wärme (Energiemenge) ist Joule, benannt nach James Prescott Joule
Wird einer Substanz Wärmeenergie zugeführt, dann steigt im allgemeinen die
Temperatur.
System
System
heisser Stein
Stein:
Wird der heisse Stein ins
Wasser platziert, gibt es
nach einer gewissen Zeit
einen Temperaturausgleich.
ϑheiss − ϑmisch
∆T=
heiss
DQab
Danach sind die
Temperaturen von Wasser
und Stein sind gleich!
kälteres Wasser
Wasserbecken und Wasser:
DQauf
ϑmisch − ϑkalt
∆T
=
kalt
vor Wärmeaustausch
nach Wärmeaustausch
Wir können den Wärmefluss des obenstehende Schema von zwei verschiedenen Standpunkten aus betrachten:
heisse Substanz (Stein)  Endzustand
Der wärmere Körper gibt Energie (Q) ab.
kalte Substanz (Wasser)  Endzustand
Der kältere Körper nimmt Energie (Q) auf.
Merke: Nach dem Satz der Energieerhaltung (keine Energie geht verloren) müssen diese beiden Energien gleich sein. Da das Wasser
nicht mehr Energie aufnehmen kann, als der Stein abgeben kann. Innerhalb eines Systems bleibt die Energiemenge konstant.
10. Spezifische Wärmekapazität
Die spezifische Wärmekapazität (kurz „spezifische Wärme“) ist jene Energiemenge,
die man benötigt, um 1 kg eines Stoffes um 1 K (oder 1°C) zu erwärmen.
Symbol und Grösse
Änderung der Wärme
(Energiemenge)
J
c
spezifische Wärmekapazität
J·kg-1·K-1
m
Masse des Körpers
kg
DT
Temperaturdifferenz
K
∆Q = ∆Q
∆Q = m ⋅ c ⋅ ∆T
Einheitenzeichen
Spezfische Wärmekapazität
4.00
3.50
3.00
𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝐾𝐾
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
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11. Wärmebilanz und Mischrechnung
System
System
heisser Stein
• Nach genügend langer Zeit haben alle Stoffe im System die gleiche
Temperatur: qm die Mischtemperatur
Stein:
ϑheiss − ϑmisch
∆T=
heiss
DQab
• Die Wärme geht von einem Stoff mit höherer Temperatur auf einen Stoff mit geringerer Temperatur über.
• Die Wärme ist eine Energieform und bleibt erhalten.
kälteres Wasser
DQauf
vor Wärmeaustausch
Wasserbecken und Wasser:
ϑmisch − ϑkalt
∆T
=
kalt
nach Wärmeaustausch
Wärme fliesst vom heissen
Stein an das kalte Wasser und
an das kalte Gefäss!
Das dauert so lange, bis alles
dieselbe Temperatur aufweist,
die Mischtemperatur. qm
Beispiel: Wir üben die Wärmebilanz / Vorschlag für einen Lösungsvorgang:
Ein 1.5kg schwerer Stein mit einer Temperatur von 400°C wird in ein Gefäss (1.5kg,
cEisen=450J/(kgK)), welches mit 8l Wasser von 12°C gefüllt ist, gegeben. Wie gross ist
die Mischtemperatur qm ?
Lösungsvorgang für Mischrechnungen:
Da keine Wärmemenge verloren geht, können wir eine Tabelle (wie eine Bilanz,
Konto, Buchhaltung etc.) aufstellen. Wir summieren alle Wärmemengen
∆Q = m ⋅ c ⋅ ∆T der Stoffe, die Wärme abgeben und die, die Wärme aufnehmen.
Diese beiden Summen müssen nun gleich gross sein.
Merke: Es gilt ∆Qauf = ∆Qab das ist die Wärmebilanzgleichung.
Wärmeabgabe DQab
Stein
Wärmeaufnahme DQauf
∆Qab = 2.5 kg ⋅ cStein ⋅ (400°C − qm )
Wasser
∆Qauf 1 = 8.0 kg ⋅ cW ⋅ (qm − 12°C )
Gefäss
∆Qauf 2 = 1.5 kg ⋅ 450 J/(kg K) ⋅ (qm − 12°C )
Wärmebilanz
(Summe)
2.5 kg ⋅ cStein ⋅ (400°C − qm ) = 8.0 kg ⋅ cW ⋅ (qm − 12°C ) + 1.5 kg ⋅ 450 J/(kg K) ⋅ (qm − 12°C )
Aufgabe: Wie gross ist die Mischtemperatur? Formen Sie dazu die Wärmebilanzgleichung nach qm um:
Resultat: qm 35.0°C. Ohne Berücksichtigung der Wärmeaufnahme durch das Gefäss wäre die Mischtemperatur mit 35.4°C um 0.4 K.
= 0 nicht gleich!
0 ∆Tkalt sind
Merke: ▶▶ Das DT muss ausgeschrieben werden! ∆Theiss=und
▶▶ Die Temperaturdifferenzen werden immer positiv gewählt. Darum steht die
Mischtemperatur qm einmal vorne, dann hinten in der Klammer.
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12. Zustandsgrössen und Prozessgrössen
Die Temperatur ist eine direkt messbare Zustandsgrösse, welche einen ganz bestimmten Zustand des Systems beschreibt. Üblicherweise gibt man die Temperatur
in °C, die Temperaturdifferenzen jedoch in K (Kelvin) an.
Wärmeentnahme
-2000J
System
Die Wärmemenge ist etwas anderes: eine Prozessgrösse. In einem Prozess werden
z.B. 2000J zugeführt. Es können aber auch 2000J entzogen werden.
Die Wärmemenge ist in der Regel nicht direkt messbar. Sie ist abhängig von Masse,
der Temperaturdifferenz und der spezifischen Wärmekapazität ∆Q = m ⋅ c ⋅ ∆T
13. Isoliergefässe und das Kalorimeter
Wärmezufuhr
+2000J
Isoliergefäss: Ein Mischgefäss (Kalorimeter) ist gut isoliert, nimmt aber trotzdem
Wärme auf. Üblicherweise wird anstatt eine Wärmekapazität in J·kg-1·K-1, eine Angabe in J/K für das ganze Gefäss gemacht. Die Masse ist für uns nicht interessant,
sondern nur die Wärmemenge, welche das Gefäss pro K speichert oder abgegeben
kann.
Beispiel: Ein Kalorimeter wird von 20°C auf 80°C erwärmt und nimmt leer 150 J/K auf.
Wie gross ist die Wärmeaufnahme des leeren Kalorimeters?
Fehlt hier die Angabe der Masse m? Nein, aus dem Produkt m ⋅ c ⋅ ∆T ist der Teil
150 J/K = m ⋅ c = C bekannt. Wir benötigen nur die Multiplikation mit der entsprechenden Temperaturdifferenz DT .
Foto eines Kalorimeters
14. Reflexion
▶▶ Was ist der Unterschied zwischen Wärme und Temperatur?
▶▶ Was für Fehler haben Sie in den Übungen gemacht? Wie können Sie diese vermeiden ? FoSA aktualisieren!
▶▶ Welche weitere Fragen / Ergänzungen haben Sie, aus dem Unterricht, dem Alltag
oder dem Beruf?
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15. Energie und Leistung
Eine vierköpfige Familie braucht täglich ca. 160 bis 200 Liter Warmwasser von 55°C.
Wir wissen: Um 200 kg Wasser von 12 auf 55°C zu erwärmen benötigen wir eine
Energiemenge: Q = m ⋅ c ⋅ ∆T = 200 kg ⋅ 4.182 kJ/(kg K) ⋅ 43 K ≈ 35′970 kJ
• Ist das eine grosse Energiemenge, was kostet diese?
• Sie kennen die Situation aus einer Sportwoche... Wie lange dauert es, bis der Boiler wieder warmes Wasser liefern kann?
Um dies zu beantworten benötigen wir den Zusammenhang zwischen Energie und
Leistung: Leistung ist Energie (Wärmemenge) pro Zeit.
Symbol und Grösse
P =
∆Q
∆t
P
Leistung
Q
Energie
(Wärmemenge)
t
Zeit
Einheitenzeichen
1 W = 1 J/s
1J = 1Ws = 1W ⋅ 1s
1kWh = 1kW ⋅ 1h = 3.6MJ
s
Oft sind die Leistungen angegeben. Die Energiemenge wird deshalb meistens aus
der Leistung und der Zeit berechnet. Im Alltag ist die kWh eine gebräuchliche Energieeinheit.
Beispiel:
Eine Sparlampe 11W leuchte 24h, welcher Energiemenge entspricht das? Wie viel
muss man dafür bezahlen? (1kWh = 22 Rp)
Typische Leistungen
LED
3mW
Taschenlampe
(Glühbirne
3W
Sparlampe
11W
Dauerleistung
Mensch
60W
Kühlschrank
200W
PKW
60kW
ICE 3
16MW
Kohlkrafrwerk
750MW
Bei 11 W Leistung werden jede Sekunde 11 Joule (elektrische) Energie umgesetzt.
In 24 Stunden gibt das eine Energiemenge von
Eel = P ⋅ t = 11W ⋅ 24 ⋅ 3600s = 950 kJ oder in Stunden gerechnet:
Kernkraftwerk
Mühleberg
380MW
11W ⋅ 24h = 264Wh = 0.26kWh = 950kJ = 0.95MJ .
Sonne
3.8 1026W
Bei einem Preis von 20 – 25 Rappen/kWh ist das ein kleiner Betrag: < 6.5Rappen
Merke: ▶▶ Geben Sie acht mit Einheiten und Zehnerpotenzen, dies sind die grössten Fehlerquellen!
▶▶ Leistung: 1 W = 1 J/s
▶▶ Energie: 1kWh = 1kW ⋅ 1h = 3.6MJ
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16. Wirkungsgrad
Jede Maschine oder Gerät nimmt eine grössere Leistung auf, als sie abgibt, weil in
ihr Verluste (Reibung, Luftwiderstand, Erwärmung usw.) auftreten. Der Wirkungsgrad gibt uns an wie das Verhältnis zwischen der nutzbaren und der aufgewendeten
Leistung ist.
Symbol und Grösse
Nutzen
h=
Aufwand
Maschine oder Prozess
Wirkungsgrad in %
Dampfmaschine
3–44
Dieselmotor
bis zu 50
Elektroherd
50–60
Elektrolyse von
Wasser
70-80
Elektromotor
90–99,5
Gasheizung
80–90
Generator
95–99,3
Glühlampe
3–5
Kernkraftwerk
33
Lautsprecher
0,1–40
LED
5–25
Mensch (Skelettmuskulatur)
0–30
Photosynthese-Reaktion
35
Solarzelle
5–27
Sonnenkollektor
< 85
Tauchsieder
>98
Transformator
50–99,7
Turbinentriebwerk
40
Wärmekraftwerk
(Kohle)
25–50
Wasserkraftwerk
80–90
Wechselrichter
93–98
Windkraftanlage
bis 50
η (Eta)
Wirkungsgrad
keine Einheit, %
Nutzen
Leistung
oder
Energie
J, kWh, Wh, W...
Aufwand
Beispiel:
Einheitenzeichen
Zurück zum Warmwasserbeispiel: Eine vierköpfige Familie benötige täglich
200 kg warmes Wasser, welches von 12 auf 55°C erwärmt wird. Die benötigte
tägliche Wärmemenge ist:
Q = m ⋅ c ⋅ ∆T = 200 kg ⋅ 4.182 kJ/(kg K) ⋅ 43 K ≈ 36 MJ
36 MJ entspricht 10 kWh, die genutzt wurden um das Wasser zu erwärmen.
Weil immerVerluste vorhanden sind, muss die aufgewendete elektrische Energie
höher sein. Für einen Wirkungsgrad von η = 0.9 = 90% gilt:
0.90 =
Nutzen
Wärmemenge
=
Aufwand
elektrische Energie
Eel. =
Q
≈ 11 kWh
0.90
Das kostet nachts ca. 11 kWh ⋅ 15 Rp./kWh ≈ 1.65 Fr.
Neue Frage:
In welcher Zeit kann das Wasser erwärmt werden, wenn der Elektroeinsatz 4.0
kW leistet? Nur 90% der Heizleistung wird in Nutzwärme umgesetzt.
10 kWh
Q
nach der Zeit aufgelöst: ∆t = 0.90 ⋅ 4.0 kW ≈ 2.8 h
∆t
35′970 kJ
Analog die Rechnung mit SI-Einheiten: ∆t =
≈ 9′990 s ≈ 2.8 h
0.90 ⋅ 4.0 kW
P ⋅ 0.90 =
Gesamtwirkungsgrad
Der Gesamtwirkungsgrad einer Anlage errechnet sich als Produkt aller einzelnen
Wirkungsgrade.
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17. Phasenübergänge
Zwischen den drei Aggregatszuständen fest, flüssig und gasförmig sind folgende
drei Übergänge möglich: schmelzen / erwärmen, verdampfen / kondensieren, sublimieren / verfestigen. Dazwischen findet keine Änderung des Aggregatszustand statt,
es wird nur erwärmt oder abgekühlt.
Bei den Phasenübergängen muss Energie zugeführt werden bzw. wird Energie frei.
Dabei ändert sich die Temperatur nicht! Für 1 kg Wasser sind in dem folgenden
Diagramm die wichtigen Energiemengen angegeben.
Wasser
dampf
wärmer
als 100°C
erwärmen
abkühlen
∆Q= m ⋅ cgasförmig ⋅ ∆T
5
Wasser
dampf
100°C
kondensieren ∆Q= m ⋅ LV
verdampfen
Wasser: 2256 kJ/kg
verfestigen
sublimieren
Wasser
100°C
erwärmen
abkühlen
Wasser 0°C
schmelzen
4
erstarren
∆Q= m ⋅ c flüssig ⋅ ∆T
3
Wasser: 4.18 kJ/(kg K)
∆Q= m ⋅ L f
2
Wasser: 334 kJ/kg
Eis 0°C
erwärmen
abkühlen
∆Q= m ⋅ c fest ⋅ ∆T
Wasser: 2.1 kJ/(kg K)
Eis kälter
als 0°C
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1
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18. Temperatur-Zeit Diagramm
Das Temperatur-Zeit Diagramm stellt den Temperaturverlauf gegenüber der Zeit
dar. Wenn mit einer konstanten Wärmequelle erhitzt wird, darf die Zeitachse auch
als eine Zufuhr von Wärmemenge Q interpretieren werden. Folgendes Beispiel verdeutlicht den Temperatur-Zeitverlauf resp. Temperaur-Energieverlauf.
Es wird ein Eiswürfel von 100g und –20°C (cEis = 2.1 kJ/(kg K)) geschmolzen und
das entstehende Wasser schliesslich verdampft. Die Wärmequelle liefert pro Minute
20 kJ, die Leistung ist konstant mit P = 20kJ / 60s ≈ 333W . Wie sieht das Temperatur-Zeit-Diagramm für den Temperaturbereich -20°C < θ < 100°C aus?
1. Erwärmen des Eis auf 0°C
kJ
∆Q1 = 0.1kg ⋅ 2.1
⋅ 20K = 4.2kJ
kg ⋅ K
Zeit: ∆t1 =
Zeit / s
0.0
200.0
400.0
600.0
800.0
120
Temperatur / °C
100
80
60
20
0

0.0
120 derung)
100 ∆Q2 = 0.1kg ⋅ 333.8
∆Q
kJ
≈ 33.4kJ
kg
33.4kJ
2
80 Zeit: ∆t2 = P = 333W = 100s
60
3. Erwärmen des Wassers von 0°C auf 100°C:
kJ
⋅ 100K = 41.8kJ
40 ∆Q3 = 0.1kg ⋅ 4.18
kg ⋅ K

40
-20
2. Schmelzen des Eis (Aggregatszustandsän-


∆Q1 4.2kJ
=
= 12.6s
P
333W
20 Zeit: ∆t3 =

∆Q3 41.8kJ
=
= 125s
P
333W
0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
Energiemenge / kJ
300.0
4. Verdampfen des Wassers (Aggregatszustandsänderung):
-20
kJ
∆Q4 = 0.1kg ⋅ 2256
= 225.6kJ
kg
Zeit: ∆t4 = ∆Q4 = 225.6kJ = 677s ≈ 11.3min
P
333W
5. Die Dampftemperatur kann auf über
100°C ansteigen. Beispiel ist der geschlossene
Dampfkochtopf.
Merke: ▶▶ Zwei Formeln reichen aus, um die Energiemengen zu berechnen:
∆Q = m ⋅ c ⋅ ∆T und ∆Q = m ⋅ L .
Je nach Aggregatszustand wird cfest oder cflüssig oder je nach Aggregatszuständsänderung Lf = Schmelzwärme, Lv = Verdampfungswärme eingesetzt.
▶▶ Weil sich die Stoffwerte ändern, muss jeder Kurvenabschnitt separat berechnet
werden.
▶▶ Die Zeit t4 ist mehr als 5 Mal so gross wie t3. Hingegen t3 und t2 haben dieselbe
Grössenordnung. D.h. es braucht viel mehr Energie um Wasser zu verdampfen, im
Vergleich zum Erwärmen (0-100°C) und schmelzen.
▶▶ Ist das Diagramm gegeben, können sechs Werte abgelesen werden:
Die Schmelz- und die Siedetemperatur, die spezifische Schmelz- und die Verdampfungswärme sowie (mit etwas rechnen) zwei spezifische Wärmekapazitäten für
den festen und den flüssigen Zustand.
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19. Exkurs: Aggregatszustände im Teilchenmodell
«Einsichtig ist, wer sich nicht
grämt über das, was er nicht hat,
sondern sich freut über das, was
er hat.»
Demokrit 460v. Chr.
Vor ca. 2400 Jahren entwickelte der Grieche Demokrit die Vorstellung, dass es
kleinste unteilbare Teilchen, die Atome gibt. Die Vielfalt der Dinge ist nach Demokrit durch die Gestalt, die Lage und die Anordnung der Atome bestimmt. Die Vorstellungen Demokrits gerieten in Vergessenheit und erst im 19. Jahrhundert mit den
Anfängen der Chemie bediente man sich wieder der Atomvorstellung.
Der amerikanische Nobelpreisträger R.P. Feynman schrieb: Angenommen es würde
durch eine Katastrophe alle wissenschaftliche Erfahrung verloren gehen und man
könnte nur einen Satz der Nachwelt übermitteln, so müsste dieser lauten: Alle Körper sind aus Atomen aufgebaut - kleinen Teilchen, die in ständiger Bewegung sind,
die sich bei geringem Abstand gegenseitig anziehen, sich aber abstoßen, wenn sie
aufeinandergedrückt werden.
Festkörper
Flüssigkeit
Gas
Festkörper behält Form unabhängig vom Gefäß bei.
Flüssigkeit passt sich jeder
Gefäßform an.
Gas nimmt den ganzen angebotenen Raum ein.
Körper behält bei nicht zu
großer Kraft Volumen bei
Körper behält Volumen bei
(Inkompressibilität)
Volumen verändert sich
(Gase sind kompressibel)
Form
Volumen
Die Atome üben relativ große
Kräfte zwischen den Anziehungskräfte aufeinander Kleinere Kräfte zwischen den Nahezu keine Kräfte zwiTeilchen
aus.
Atomen als beim Festkörper.
schen den Atomen.
Teilchenanordnung
(beobachtet unter
einem „Supermikroskop“)
geringer Teilchenabstand;
geringer Teilchenabstand;
relativ großer Teilchenabdie ortsfesten Teilchen schwin- die Teilchen sind gegeneinan- stand; die Teilchen bewegen
gen um die Ruhelage
der verschiebbar
sich völlig frei und regellos
im Raum
Interpretation mit dem Teilchenmodell: Schmelzen und Verdampfen brauchen sehr
grosse Energiemengen, weil die Bindungen zwischen den Teilchen gelockert oder
praktisch ganz gelöst werden.
Anwendungen:
Getränke mit Eis kühlen, Milch mit Dampf erhitzen (Espressomaschine). Kondensationswärmenutzung bei Gasheizkesseln: Der Nutzungsgrad kann gegen 10% verbessert werden!
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Beispiel:
Kühlen mit Eis
Wie viel Eis von -18°C wird benötigt, um 0.3 kg Saft (wie Wasser) von 25 auf 10°C
zu kühlen?
Wärmeaufnahme:
Qauf = meis ⋅ ceis ⋅ (0 − (−18)K + mEis ⋅ Lf + mEis ⋅ cWasser ⋅ (10 − 0)K
Das Eis wird zuerst auf 0°C erwärmt, dann geschmolzen und anschliessend als
Wasser auf die Endtemperatur erwärmt. Wir müssen also drei Summanden berechnen! ww
Wärmeabgabe
Saft: Qab = 0.3kg ⋅ cSaft ⋅ ( 25 − 10) K
Gleich setzen und nach der Eismenge auflösen: ca. 22 g Eis.
Tipp: Die spezifische Schmelzwärme ist mit 333.8 kJ/kg angegeben, darum ist es angebracht, die spez. Wärmekapazitäten mit 2.1 bzw. 4.18 kJ/(kg K) einzusetzen, alle
Angaben in kJ, kann Fehler verhindern.
20. Boyle, Mariotte und Gay-Lussac
Boyle und Mariotte hatten um ca. 1670 unabhängig von einander entdeckt, dass der
Druck von Gasen bei gleichbleibender Temperatur (gleiche Stoffmenge) umgekehrt
proportional zum Volumen ist.
1787 entdeckte Gay-Lussac, dass das Volumen von Gasen bei gleichbleibendem
Druck (gleiche Stoffmenge) direkt proportional zur Temperatur ist.
Gesetz von Boyle Mariotte
Gesetz von Gay Lussac
konstante Temperatur
V∝
1
p
konstanter Druck
V
V ∝T
oder
= konstant
T
oder V ⋅ p = konstant
V1 V2
=
T1 T2
V1 ⋅ p1 = V2 ⋅ p2
Volumen
in dm3
Volumen
in dm3
Druck in bar
Temperatur in K
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21. Das allgemeine Gasgesetz
Meist ändern sich bei den Vorgängen in der Natur alle drei Zustandsgrössen:
Der Druck: p, das Volumen: V und die Temperatur: T
Die „Superformel“, welche auch eine solche Zustandsänderung beschreibt, ist das
allgemeine Gasgesetz. Es lässt sich durch Zusammenfassung der beiden Proportionalitäten herleiten:
V
= konstant folgt:
Aus V ⋅ p = konstant und
T
sich:
V⋅p
= konstant somit ergibt
T
Das allgemeine Gasgesetz für ideale Gase lautet:
Symbol und Grösse
V1 ⋅ p1 V2 ⋅ p2
=
T1
T2
Merke:
Einheitenzeichen
V
Volumen
p
Druck
N/m2 = Pa, oder bar
T
Temperatur
K
m3
1bar=105Pa=105N/m2
▶▶ unbedingt absolute Temperaturen, d.h. Kelvin, verwenden
▶▶ unbedingt absolute Drücke einsetzen. Sie können, da es Proportionen sind auch
mit nicht SI Einheiten rechnen (bar).
▶▶ Die Gasmenge darf sich nicht verändern!
Beispiel:
Absolute Drücke
Ein Autoreifen ist bei 20°C mit 2.2 bar gepumpt.
Für das Gasgesetz müssen 293 K und 3.2 bar eingesetzt werden, weil der Luftdruck
von ca. 1 bar dazu addiert werden muss.
Beispiele:
Fragen zum Gerätetauchen:
1. Ein Gerätetaucher taucht im Roten Meer (Dichte des Salzwassers 1.05 g/cm3)
in eine Tiefe von 30 m. Die Wassertemperatur an der Oberfläche ist 27°C, in 30
m Tiefe noch 10°C. Wie gross ist der Druck in 30m?
Der Gesamtdruck nimmt mit der Tiefe zu und berechnet sich als Luftdruck pL =
970 hPa (0.97 bar) plus Schweredruck ps = ρ ⋅ g ⋅ h in 30 m Tiefe.
ps = ρ ⋅ g ⋅ h ≈ 1050kg/m3 ⋅ 9.81N/kg ⋅ 30kg ≈ 309kPa
pabsolut ≈ (0.97 + 3.09) ≈ 4.06bar
2. Warum soll die Luft, die er über den Lungenautomaten einatmet, den Umgebungsdruck besitzen?
Wenn die eingeatmete Pressluft den gleichen Druck hat wie die Umgebung, so
ist das Atmen ähnlich problemlos und kräfteschonend wie oberhalb des Wassers
ohne Lungenautomat. Hätte die Pressluft z.B. den Normaldruck, so könnte die
Brustmuskulatur die notwendige Kraft nicht aufbringen, um den Druckunterschied zu überwinden.
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3. Eine Luftblase, die in 30m Tiefe ausgeatmet hat dort das Volumen von 50 cm3.
Welches Volumen hat diese Blase kurz vor der Oberfläche?
V1 ⋅ p1 V2 ⋅ p2
=
T1
T2
V2 =
V1 ⋅ p1 ⋅ T2
T1 ⋅ p2
V2 =
50cm3 ⋅ 4.06bar ⋅ 300K
= 222cm3
283K ⋅ 0.97bar
Das Volumen wird also ca. vier Mal so gross!
Foto eines Lungenautomaten
4. Der Taucher verliert seinen Lungenautomaten. Er hat Angst vor dem Ersticken, deshalb hält er die eingeatmete Luft an und taucht ganz schnell auf. Er begibt sich damit in Lebensgefahr. Warum?
Beim Aufsteigen sinkt der Aussendruck. Deshalb dehnt sich die in der Luge gespeicherte Luft aus und bewirkt grosse Kräfte. Es kann zu Rissen in der Lunge
kommen. (evtl. auch Stickstoffbläschen im Blut)
Merke:
Die Normbedingungen, auch als
Normalbedingungen oder STP
(vom englischen Begriff Standard Temperature and Pressure)
bezeichnet, sind nach DIN 1343:
▶▶ Die Dichte von Gasen sind in der Formelsammlung bei Normbedingungen notiert:
1.013 bar und 0°C = 273 K
Temperatur:
273,15 K entsprechend 0 °C
▶▶ Die Dichte von Gasen verändern sich mit Temperatur und Druckänderungen,
weil sich das Volumen verändert. Im Gasgesetz kommt die Dichte nicht vor und
wir wenden wieder den bekannten Trick an, dass wir das Volumen (bei bekannten
Normbedingungen) mit 1.0 m3 annehmen. Dann rechnen wir mit konstanter Masse weiter.
Druck:
101325 Pa oder N/m²
= 1013,25 hPa
= 101,325 kPa
= 1,01325 bar
= 0,101325 MPa ( = 1 atm)
▶▶ Falls sich die Gasmengen verändern – z.B. wenn der Taucher Luft zum Atmen
verbraucht und die Vorratsmenge an Pressluft abnimmt – kann das Gasgesetz
nicht direkt angewendet werden. Oft ist es sinnvoll, Anfangs und Endwerte je auf
Normbedingungen umzurechnen.
Dann können Gasmengen in kg verglichen werden (über die Normdichten, siehe
Tabelle).
Anfangsbedingungen
z.B. vor dem Tauchgang
Endbedingungen
z.B. nach dem Tauchgang
V1 , p1 , T1 ,
V2 , p2 , T2 ,
mittels Gasgesetz
V1 bei Normbedingung
mittels Gasgesetz
V2 bei Normbedingung
Dichte bei
Normbedingungen
Dichte bei
Normbedingungen
Masse 1
Masse 2
Menge 3
z.B. ausgeatmete
Luft
Erhaltungssatz für Stoffmengen: m1 = m2 + m3
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Beispiel:
Mengenänderung O2während eines Tauchgangs (Gasflasche-Problem)
Eine Sauerstoffflasche (O2) hat 50 Liter Inhalt. Neu ist sie mit 200 bar bei 10°C gefüllt. Nach einer gewissen Zeit sind noch 150 bar bei 20°C in der Flasche. Welche
Sauerstoffmenge wurde entnommen?
Wir rechnen zuerst auf die Normbedingungen um, beachten aber, dass der absolute Druck ist um ca. 1 bar höher ist (Luftdruck), also 201bar und 151 bar.
Anfangsbedingungen
z.B. vor dem Tauchgang
Endbedingungen
z.B. nach dem Tauchgang
V1 , p1 , T1 ,
V2 , p2 , T2 ,
mittels Gasgesetz
V1 bei Normbedingung
Dichte bei
Normbedingungen
Masse 1
Anfang
Ende
50l ⋅ 201bar Vbei Normbedingungen Anfang ⋅ 1.013bar
=
283K
273K
50l ⋅ 151bar Vbei Normbedingungen Ende ⋅ 1.013bar
=
293K
273K
Vbei Normbedingungen = 9570l
Vbei Normbedingungen Ende = 6944l
mAnfang = ρO2 bei Normbedingungen ⋅ Vbei Normbedingungen Anfang
mEnde = ρO2 bei Normbedingungen ⋅ Vbei Normbedingungen Ende
mAnfang = 1.429
mittels Gasgesetz
kg
⋅ 9.57m3 = 13.68kg
m3
mEnde = 1.429
kg
⋅ 6.944m3 = 9.92kg
m3
V2 bei Normbedingung
Dichte bei
Normbedingungen
Masse 2
Menge 3
z.B. ausgeatmete
Luft
Erhaltungssatz für Stoffmengen: m1 = m2 + m3
mentnommen = mAnfang − mEnde = 3.75kg
Alternative Variante:
Volumendifferenz bei Normbedingung: 9570 l - 6944 l = 2‘626 l mit einer Normdichte von 1.429 kg/m3 = 1.429 g/dm3 ergibt das eine entnommene Luftmenge von
3.75kg.
22. Reflexion
▶▶ Wie berechnen Sie die Mengen, wenn die Bedingungen (p,V oder T) unterschiedlich sind?
▶▶ Welche Experimente wurden im Unterricht gezeigt, was war deren zentrale Aussage?
▶▶ Was für Fehler haben Sie in den Übungen gemacht? Wie können Sie diese vermeiden ? FoSA aktualisieren!
▶▶ Welche weitere Fragen / Ergänzungen haben Sie, aus dem Unterricht, dem Alltag oder dem Beruf?
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