2. Der Standardfehler
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 2. Der Standardfehler Martin Hutzenthaler & Dirk Metzler http://www.zi.biologie.uni-muenchen.de/evol/StatGen.html 27. April 2010 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Inhalt 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Inhalt 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Bachstelzen fressen Dungfliegen Räuber Beute Bachstelze (White Wagtail) Motacilla alba alba Gelbe Dungfliege Scatophaga stercoraria image (c) by Artur Mikołajewski image (c) by Viatour Luc Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung 100 50 0 number 150 available dung flies 4 5 6 7 8 length [mm] 9 10 11 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung 50 100 mean= 7.99 0 number 150 available dung flies 4 5 6 7 8 length [mm] 9 10 11 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung 150 100 sd= 0.96 50 mean= 7.99 0 number available dung flies 4 5 6 7 8 length [mm] 9 10 11 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung 40 30 20 10 0 number 50 60 captured dung flies 4 5 6 7 8 length [mm] 9 10 11 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung captured dung flies 40 30 20 10 0 number 50 60 mean= 6.79 4 5 6 7 8 length [mm] 9 10 11 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung captured dung flies 10 20 30 40 sd= 0.69 0 number 50 60 mean= 6.79 4 5 6 7 8 length [mm] 9 10 11 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Beobachtung In der Biologie sind viele Datenverteilungen annähernd glockenförmig und können durch den Mittelwert und die Standardabweichung angemessen beschrieben werden. Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Beobachtung In der Biologie sind viele Datenverteilungen annähernd glockenförmig und können durch den Mittelwert und die Standardabweichung angemessen beschrieben werden. Es gibt aber auch Ausnahmen. Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Inhalt 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Kupfertolerantes Rotes Straußgras Rotes Straußgras Agrostis tenuis Kupfer Cuprum image (c) Kristian Peters Hendrick met de Bles Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung 40 Browntop Bent (n=50) m−s 10 20 30 meadow plants 0 density per cm m+s m 0 50 100 root length (cm) 150 200 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung 40 Browntop Bent (n=50) m−s 20 30 meadow plants 0 10 density per cm m+s m 0 50 100 150 200 root length (cm) In etwa 2/3 der Wurzellängen innerhalb [m-sd,m+sd]???? Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung 40 Browntop Bent (n=50) m−s 20 30 meadow plants 0 10 density per cm m+s m 0 50 100 150 200 root length (cm) In etwa 2/3 der Wurzellängen innerhalb [m-sd,m+sd]???? Nein! Deutlich mehr. Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Manche Verteilungen können nur mit mehr als zwei Variablen angemessen beschrieben werden. Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Manche Verteilungen können nur mit mehr als zwei Variablen angemessen beschrieben werden. z.B. mit den fünf Werten der Boxplots: min, Q1 , median, Q3 , max Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Browntop Bent n=50+50 copper mine plants ● ● meadow plants ● ● 0 ● ● ● ●● 50 ● ●● ● ●● ● 100 root length (cm) ● 150 ● 200 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Schlussfolgerung In der Biologie sind viele Datenverteilungen annähernd glockenförmig und können durch den Mittelwert und die Standardabweichung angemessen beschrieben werden. Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Schlussfolgerung In der Biologie sind viele Datenverteilungen annähernd glockenförmig und können durch den Mittelwert und die Standardabweichung angemessen beschrieben werden. Es gibt aber auch Ausnahmen. Also: Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen! Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Schlussfolgerung In der Biologie sind viele Datenverteilungen annähernd glockenförmig und können durch den Mittelwert und die Standardabweichung angemessen beschrieben werden. Es gibt aber auch Ausnahmen. Also: Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen! Verlassen sie sich niemals allein auf numerische Kenngrößen! Der Standardfehler Inhalt 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Inhalt 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Population (sämtliche Transpirationsraten) n= oo Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Population (sämtliche Transpirationsraten) n= oo Stichprobe n=14 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Population (sämtliche Transpirationsraten) µ Stichprobe x Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Wir schätzen den Populationsmittelwert µ durch den Stichprobenmittelwert x. Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x. Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x. x hängt vom Zufall ab: eine Zufallsgröße Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x. x hängt vom Zufall ab: eine Zufallsgröße FRAGE: Wie variabel ist x? Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x. x hängt vom Zufall ab: eine Zufallsgröße FRAGE: Wie variabel ist x? Genauer: Wie weit weicht x typischerweise von µ ab? Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen 10 20 30 40 50 60 Population 0 Dichte Hypothethische Transpirationsratenverteilung 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 Transpiration (ml/(Tag*cm^2)) Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen 10 20 30 40 50 60 Population Stichprobenmittel (n=16) 0 Dichte Hypothethische Transpirationsratenverteilung 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 Transpiration (ml/(Tag*cm^2)) Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Die allgemeine Regel Die Standardabweichung des Mittelwerts einer Stichprobe vom Umfang n Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Die allgemeine Regel Die Standardabweichung des Mittelwerts einer Stichprobe vom Umfang n ist √ 1/ n mal der Standardabweichung der Population. Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Die Standardabweichung der Population bezeichnet man mit σ (sigma). Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Die Standardabweichung der Population bezeichnet man mit σ (sigma). Die Regel schreibt man häufig so: 1 σ(x) = √ σ(X ) n Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen In der Praxis ist σ unbekannt. Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen In der Praxis ist σ unbekannt. Es wird durch die Stichproben-Standardabweichung s geschätzt: Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen In der Praxis ist σ unbekannt. Es wird durch die Stichproben-Standardabweichung s geschätzt: σ =?? Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen In der Praxis ist σ unbekannt. Es wird durch die Stichproben-Standardabweichung s geschätzt: σ≈s Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Die geschätzte Standardabweichung von x √ s/ n nennt man den Standardfehler. Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Die geschätzte Standardabweichung von x √ s/ n nennt man den Standardfehler. (Englisch: standard error of the mean, standard error, SEM) Der Standardfehler Zur Verteilung von x Inhalt 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung Der Standardfehler Zur Verteilung von x Wir haben gesehen: Auch wenn die Verteilung von x mehrgipfelig & asymmetrisch ist Der Standardfehler Zur Verteilung von x 10 20 30 40 50 60 Population 0 Dichte Hypothethische Transpirationsratenverteilung 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 Transpiration (ml/(Tag*cm^2)) Der Standardfehler Zur Verteilung von x ist die Verteilung von x trotzdem (annähernd) eingipfelig & symmetrisch (wenn der Stichprobenumfang n nur groß genug ist) Der Standardfehler Zur Verteilung von x 10 20 30 40 50 60 Population Stichprobenmittel (n=16) 0 Dichte Hypothethische Transpirationsratenverteilung 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 Transpiration (ml/(Tag*cm^2)) Der Standardfehler Zur Verteilung von x Die Verteilung von x hat annähernd eine ganz bestimmte Form: die Normalverteilung. Der Standardfehler Zur Verteilung von x Dichte der Normalverteilung µ 0.1 0.2 0.3 µ+σ 0.0 Normaldichte 0.4 µ−σ −1 0 1 2 3 4 5 Der Standardfehler Zur Verteilung von x Dichte der Normalverteilung µ 0.1 0.2 0.3 µ+σ 0.0 Normaldichte 0.4 µ−σ −1 0 1 2 3 4 Die Normalverteilungsdichte heisst auch Gauß’sche Glockenkurve 5 Der Standardfehler Zur Verteilung von x Dichte der Normalverteilung Die Normalverteilungsdichte heisst auch Gauß’sche Glockenkurve (nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855) Der Standardfehler Zur Verteilung von x Wichtige Folgerung Wir betrachten das Intervall √ x − s/ n √ x + s/ n x Der Standardfehler Zur Verteilung von x Wichtige Folgerung Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3 liegt µ innerhalb dieses Intervalls √ x − s/ n √ x + s/ n x Der Standardfehler Zur Verteilung von x Wichtige Folgerung Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3 liegt µ innerhalb dieses Intervalls √ x − s/ n √ x + s/ n x Mit Wahrscheinlichkeit ca. 1/3 liegt µ ausserhalb des Intervalls Der Standardfehler Zur Verteilung von x Demnach: Es kommt durchaus vor, dass x von µ um √ mehr als s/ n abweicht. Der Standardfehler Anwendungen Inhalt 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung Der Standardfehler Anwendungen ANWENDUNG 1: Welche Werte von µ sind plausibel? Der Standardfehler Anwendungen ANWENDUNG 1: Welche Werte von µ sind plausibel? x = 0,12 √ s/ n = 0,007 Der Standardfehler Anwendungen ANWENDUNG 1: Welche Werte von µ sind plausibel? x = 0,12 √ s/ n = 0,007 Frage: Könnte es sein, dass µ = 0,115? Der Standardfehler Anwendungen Antwort: Es ist gut möglich. Der Standardfehler Anwendungen Antwort: Es ist gut möglich. Abweichung x − µ = 0,120 − 0,115 = 0,005. Der Standardfehler Anwendungen Antwort: Es ist gut möglich. Abweichung x − µ = 0,120 − 0,115 = 0,005. Standardfehler √ s/ n = 0,007 Der Standardfehler Anwendungen Antwort: Es ist gut möglich. Abweichung x − µ = 0,120 − 0,115 = 0,005. Standardfehler √ s/ n = 0,007 Abweichungen dieser Größe kommen häufig vor. Der Standardfehler Anwendungen Antwort: Es ist gut möglich. Abweichung x − µ = 0,120 − 0,115 = 0,005. Standardfehler √ s/ n = 0,007 Abweichungen dieser Größe kommen häufig vor. (Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind, untersuchen wir später.) Der Standardfehler Anwendungen ANWENDUNG 2: Vergleich von Mittelwerten Der Standardfehler Anwendungen ANWENDUNG 2: Vergleich von Mittelwerten Beispiel: Springkrebs Galathea squamifera image (c) by Matthias Buschmann Der Standardfehler Anwendungen Vergleich der Carapaxlänge: (c): public domain Der Standardfehler Anwendungen Galathea: Carapaxlänge in einer Stichprobe Männchen: x 1 = 3,04 mm s1 = 0,9 mm n1 = 25 Weibchen: x 2 = 3,23 mm s2 = 0,9 mm n2 = 29 Der Standardfehler Anwendungen Die Weibchen scheinen größer zu sein. Der Standardfehler Anwendungen Die Weibchen scheinen größer zu sein. Ist das ernst zu nehmen? Der Standardfehler Anwendungen Die Weibchen scheinen größer zu sein. Ist das ernst zu nehmen? Oder könnte es nur Zufall sein? Der Standardfehler Anwendungen Wie genau sind die beiden Mittelwerte? Der Standardfehler Anwendungen Wie genau sind die beiden Mittelwerte? Männchen: x 1 = 3,04 mm s1 = 0,9 mm n1 = 25 √ s1 / n1 = 0,18 [mm] Der Standardfehler Anwendungen Wie genau sind die beiden Mittelwerte? Männchen: x 1 = 3,04 mm s1 = 0,9 mm n1 = 25 √ s1 / n1 = 0,18 [mm] Mit Schwankungen von ±0,18 (mm) in x 1 müssen wir rechnen. Der Standardfehler Anwendungen Wie genau sind die beiden Mittelwerte? Der Standardfehler Anwendungen Wie genau sind die beiden Mittelwerte? Weibchen: x 2 = 3,23 mm s2 = 0,9 mm n2 = 29 √ s2 / n2 = 0,17 [mm] Der Standardfehler Anwendungen Wie genau sind die beiden Mittelwerte? Weibchen: x 2 = 3,23 mm s2 = 0,9 mm n2 = 29 √ s2 / n2 = 0,17 [mm] Es ist nicht unwahrscheinlich, dass x 2 um mehr als ±0,17 (mm) vom wahren Mittelwert abweicht. Der Standardfehler Anwendungen Die Differenz der Mittelwerte 3,23 − 3,04 = 0,19 [mm] Der Standardfehler Anwendungen Die Differenz der Mittelwerte 3,23 − 3,04 = 0,19 [mm] ist kaum größer als die zu erwartenden Schwankungen. Der Standardfehler Anwendungen Die Differenz der Mittelwerte 3,23 − 3,04 = 0,19 [mm] ist kaum größer als die zu erwartenden Schwankungen. Es könnte also einfach Zufall sein, dass x2 > x1 Der Standardfehler Anwendungen GENAUER FORMULIERT: Wenn in Wirklichkeit die Populationsmittelwerte gleich sind, µWeibchen = µMännchen Der Standardfehler Anwendungen GENAUER FORMULIERT: Wenn in Wirklichkeit die Populationsmittelwerte gleich sind, µWeibchen = µMännchen kann es trotzdem leicht passieren, dass die Stichprobenmittelwerte x 2 und x 1 so weit auseinander liegen. Der Standardfehler Anwendungen Der Statistiker sagt: Die Differenz der Mittelwerte ist (statistisch) nicht signifikant. Der Standardfehler Anwendungen nicht signifikant = könnte Zufall sein Der Standardfehler Anwendungen ANWENDUNG 3: Wenn man Mittelwerte graphisch darstellt, sollte man auch ihre Genauigkeit √ (±s/ n) anzeigen. Der Standardfehler Anwendungen 3.2 ● 2.8 3.0 ● Männchen 2.6 Carapaxlänge [mm] 3.4 Also nicht so: Carapaxlängen: Mittelwerte nach Geschlecht Weibchen Der Standardfehler Anwendungen 3.2 ● 2.8 3.0 ● Männchen 2.6 Carapaxlänge [mm] 3.4 sondern so: Carapaxlängen: Mittelwerte ± Standardfehler nach Geschlecht Weibchen Der Standardfehler Anwendungen ANWENDUNG 4: Bei der Versuchsplanung: Der Standardfehler Anwendungen ANWENDUNG 4: Bei der Versuchsplanung: Wieviele Beobachtungen brauche ich? (Wie groß sollte die Stichprobenlänge n sein?) Der Standardfehler Anwendungen Wenn man weiß, welche Genauigkeit √ (Standardfehler s/ n) für x man erreichen will, Der Standardfehler Anwendungen Wenn man weiß, welche Genauigkeit √ (Standardfehler s/ n) für x man erreichen will, und wenn man (aus Erfahrung oder aus einem Vorversuch) s ungefähr kennt, Der Standardfehler Anwendungen Wenn man weiß, welche Genauigkeit √ (Standardfehler s/ n) für x man erreichen will, und wenn man (aus Erfahrung oder aus einem Vorversuch) s ungefähr kennt, dann kann man das notwendige n ungefähr abschätzen: √ s/ n = g (g = gewünschter Standardfehler) Der Standardfehler Anwendungen Beispiel: Gestresste Transpirationswerte bei einer anderen Hirse-Sorte: x = 0,18 s = 0,06 n = 13 Der Standardfehler Anwendungen Beispiel: Gestresste Transpirationswerte bei einer anderen Hirse-Sorte: x = 0,18 s = 0,06 n = 13 Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholt werden und man will Standardfehler ≈ 0,01 erreichen. Der Standardfehler Anwendungen Beispiel: Gestresste Transpirationswerte bei einer anderen Hirse-Sorte: x = 0,18 s = 0,06 n = 13 Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholt werden und man will Standardfehler ≈ 0,01 erreichen. Wie groß sollte n sein? Der Standardfehler Anwendungen Lösung: gew √ ünscht: s/ n ≈ 0,01 Der Standardfehler Anwendungen Lösung: gew √ ünscht: s/ n ≈ 0,01 aus dem Vorversuch wissen wir: s ≈ 0,06, Der Standardfehler Anwendungen Lösung: gew √ ünscht: s/ n ≈ 0,01 aus dem Vorversuch wissen wir: √ s ≈ 0,06, n≈ 0,06 0,01 =6 Der Standardfehler Anwendungen Lösung: gew √ ünscht: s/ n ≈ 0,01 aus dem Vorversuch wissen wir: √ s ≈ 0,06, n ≈ 0,06 0,01 = 6 n ≈ 36 Der Standardfehler Zusammenfassung Inhalt 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung Der Standardfehler Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Der Standardfehler Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. Der Standardfehler Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. x ist eine Zufallsgröße Der Standardfehler Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. x ist eine Zufallsgröße √ mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/ n. Der Standardfehler Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. x ist eine Zufallsgröße √ mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/ n. √ Man schätzt die Standardabweichung von x mit s/ n. Der Standardfehler Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. x ist eine Zufallsgröße √ mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/ n. √ Man schätzt die Standardabweichung von x mit s/ n. √ s/ n nennt man den Standardfehler. Der Standardfehler Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. x ist eine Zufallsgröße √ mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/ n. √ Man schätzt die Standardabweichung von x mit s/ n. √ s/ n nennt man den Standardfehler. √ Schwankungen in x von der Größe s/ n kommen häufig vor. Der Standardfehler Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. x ist eine Zufallsgröße √ mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/ n. √ Man schätzt die Standardabweichung von x mit s/ n. √ s/ n nennt man den Standardfehler. √ Schwankungen in x von der Größe s/ n kommen häufig vor. Solche Schwankungen sind nicht signifikant“: sie könnten ” Zufall sein.
