Budapester Wirtschatfshochschule Fakultät für Handel, Gastronomie
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Budapester Wirtschatfshochschule Fakultät für Handel, Gastronomie und Tourismus Studiengang Tourismus und Hotel Management STATISTIK AUFGABEN 2009/2 LÖSUNGEN 1. Wir haben die Einkommen von 10 kleine Firmen (aus insgesamt 1500) (in TEu) und 10 große Firmen (aus insgesamt 50) (in MEu). Werte der 20 15 30 41 21 52 31 27 10 12 kleinen Firmen Werte der 57 69 111 87 659 87 94 651 117 250 großen Firmen a/ Geben Sie Schätzungen für die EinkommenErwartungswerte in der Gruppen und für die Erwartungswert der ganzen Grundgesamtheit. b/ Setzen wir es voraus, daß die Daten der kleinen / großen Firmen (getrennt) je einen Normalverteilung folgen, deren Standardabweichung beträgt 25 Tausend Eur für kleine Firmen, und 250 Millionen Eur für grosse Firmen. Schätzen Sie dessen Erwartungswert, und schätzen Sie daraus die Wahrscheinlichkeit, dass b1/ ein zufällig ausgewählte Firma ein Einkommen unter 10 Tausend Euro hat b2/ ein zufällig ausgewählte Firma ein Einkommen über 100 Millionen Euro hat. c/ Berechnen Sie Die Streuung von unser Schätzungen für die Einkommen-Erwartungswerte in der Gruppen. Lösung: a/ Die Schätzung für die Erwartungswert ist das arithmetisches Mittel. für kleine Firmen: x 20 15 30 41 21 52 31 27 10 12 25.9 (T€) 10 für große Firmen x 57 69 111 87 659 87 94 651 117 250 218.2 (M€) 10 für die einigte Stichprobe: 1500 50 25.9 218200 7063.77 1550 1550 (T€) b1/ Es kann nur eine kleine Firma sein. P=P(X<10)=P((X25.9)/25<(10-25.9)/25)= Ф(10-25.9)/25)=0,26 für kleine Firmen, also insgesamt P=0,262*1500/1550=0,254 b1/ Es kann nur eine grosse Firma sein. P=P(X>100)=1-P((X218.2)/250<(100-218.2)/250)= 1-Ф(100-218.2)/250)=0,682 für grosse Firmen, also insgesamt P=0,682*50/1550=0,022 c/ Die Standardabweichung die Erwartungswert ist D( x) / n . für kleine Firmen: D( xk ) 25 / 10 7.906 (T€) für große Firmen: D( x g ) 250 / 10 79.06 (M€) Die korrigierte Standardabweichung mit der Hilfe der Grösse der Grundgesamtheit ist D( x) für kleine Firmen: D( x k ) für große Firmen: D( x g ) N n n N 1 25 1500 10 10 1500 1 250 50 10 10 50 1 7.882 (T€) 71.429 (M€) 2. Wir haben die Ergebnisse (Punkte) von fünf Studenten in einer Klausur 80, 47, 73, 58, 67. a/ Schätzen Sie das durchschnittliche Ergebnis in der Klasse! b/ Geben Sie eine Schätzung für die Streuung der erreichten Punktenzahl! c/ Berechnen Sie die Standardfehler unser Schätzer von Punkt a/ d/ Wie verändert sich die Antwort in c/, wenn wir wissen, dass die Standardabweichung der Ergebnisse 15 Punkte ist? Lösung: a/ xbar=(80+47+73+58+67)/5=65 Punkte b/ Sigmadach=sqrt(((80-65)^2+ (47-65)^2+ (73-65)^2+ (5865)^2+ (67-65)^2)/4)=12,9 Punkte. c/ Standardfehler=Sigmadach/sqrt(5)=5,77 Punkte d/ Standardfehler=15/sqrt(5)=6,71 Punkte 3. Welche Daten/Verteilungen sind Linkssteil, Rechtssteil oder symmetrisch? Monatseinkommen in einer Firma: Linkssteil Durchschnittstemperaturen in Budapest am 17. September: symmetrisch Die grösste Zahl an einer Lottoziehung: rechtssteil Normalverteilung: symmetrisch Chi-Quadrat Verteilung : Linkssteil Binomialverteilung (Anzahl der Ereignisse aus n Versuche), n=20, p=0.25, p=0.5, p=0.75 linkssteil, symmetrisch, rechtssteil 4. Aufgabe Betrachten wir 2 Länder, wo im 2006 die Grosshandelmarkt von Lebensmittel wie folgendes verteilt war. Untersuchen Sie die Konzentration des Spielmarktes für beide Länder, durch den Herfindahl-Index. Land A Handelfirm Verkaufte Wert a (MFt) X 100 Y 100 Z 300 W 500 Land B Handelfir Verkaufte Wert ma (MFt) Q 200 R 200 S 300 T 300 Welche zwei Firmen sollen fusionieren um die grösste Konzentration zu erreichen? Lösung H = Σ pi2 Land A Verkaufte Wert pi (MFt) 100 0.1 100 0.1 300 0.3 500 0.5 Summe:1000 H=0.36 Land B Verkaufte Wert pi (MFt) 200 0.2 200 0.2 300 0.3 300 0.3 Summe:1000 H=0.26 In beiden Ländern sollen die zwei grössten Firmen fusionieren. 4. Aufgabe Wir haben die folgende Punktenverteilung der Statistikklausur in 2006: Punkten Anzahl 20- b.u. 30 12 30-b.u. 40 17 40-b.u. 50 10 50-60 4 a/ Berechnen Sie die arithmetisches Mittel und die Standardabweichung für die Punkten der Klausur! b/ Berechnen Sie die 10%, 25%, 50%, 75% und 90% Quantilen für die Punkten (mit der Hilfe der originalen Daten und der Normalverteilung)! Xbar=36.4 б=9.41 Normalverteilung: Punkten ~ N(36.4,9.4) Quantilen: Mit der Hilfe der originalen Daten: z0.1=x5=25 (oder genauer: 20+(5-1)*10/11=23.6) z0.25=x11=25 (oder genauer: 20+(11-1)*10/11=29.1) z0.5=x22=35 (oder genauer: 30+(10-1)*10/16=35.6) z0.75=x33=45 (oder genauer: 40+(6-1)*10/9=45.6) z0.9=x39=45 (oder genauer: 40+(10-1)*10/9=50) Mit der Hilfe der Normalverteilung: X 0.1 =Ф-1(0.1)*9.41+36.4=24.3 X 0.25 =Ф-1(0.25)*9.41+36.4=30.1 X 0.5 =Ф-1(0.5)*9.41+36.4=36.4 X 0.75 =Ф-1(0.75)*9.41+36.4=42.7 X 0.9 =Ф-1(0.9)*9.41+36.4=48.4
