Lösungen von Aufgaben 2

Budapester Wirtschaftshochschule
Fakultät für Handel, Gastronomie und Tourismus
Studiengang Tourismus und Hotel Management
STATISTIK AUFGABEN 2010/2 LÖSUNGEN
1.) Wir haben die Einkommen von 10 kleinen Firmen (aus insgesamt 1500) (in T €) und 10
große Firmen (aus insgesamt 50) (in M €).
Werte der kleinen Firmen 20 15 30 41 21 52 31 27 10 12
Werte der großen Firmen 57 69 111 87 659 87 94 651 117 250
a.) Geben Sie Schätzungen für die Erwartungswerte des Einkommens in den Gruppen und
für den Erwartungswert der ganzen Grundgesamtheit.
Die Schätzung für den Erwartungswert ist das arithmetische Mittel:
20  15  ...  12
 25,9 T €
für kleine Firmen: x 
10
57  69  ...  250
 218,2 M €
für große Firmen x 
10
1500
50
 25,9 
 218200  7063,77 T €
für die gesamte Stichprobe:
1550
1550
Das Einkommen einer kleinen Firme ist durchschnittlich 25,9 T €, während das Einkommen einer
Grosse ist 218,2 M €.
b.) Setzen wir voraus, daß die Daten der kleinen / großen Firmen (getrennt) je einer
Normalverteilung folgen, deren Standardabweichung für kleine Firmen 25 T € und für
große Firmen 250 M € beträgt. Schätzen Sie deren Parameter und schätzen Sie daraus
die Wahrscheinlichkeit, dass
b1.) eine zufällig ausgewählte Firma ein Einkommen unter 10 Tausend Euro hat
Sei Z: Einkommen einer zufällig ausgewählten Firma
Sei X: Einkommen der kleinen Firmen, so X~N(25,9 ; 252)
Sei Y: Einkommen der grossen Firmen, so X~N(218,2 ; 2502)
Sei B1: eine zufällig ausgewählte Firma ist klein
Sei B2: eine zufällig ausgewählte Firma ist gross
 X  25,9 10  25,9 
 10  25,9 
P( Z  10 | B1 )  P

  
   0,64  1  0,64  0,2611
25 
 25
 25 
P(Z  10 | B2 )  0
1500
P( B1 ) 
1550
50
P( B2 ) 
1550
Mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
1500
P( Z  10)  P( Z  10 | B1 ) P( B1 )  P( Z  10 | B2 ) P( B2 )  0,2611 
 0  0,253
1550
b2.) eine zufällig ausgewählte Firma ein Einkommen über 100 Millionen Euro hat
P(Z  100 | B1 )  0
 Y  218,2 100  218,2 
 100  218,2 
P( Z  100 | B2 )  P

  1  
  1   0,47   0,47   0,6808
250
250
 250



Mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
50
P( Z  100)  P( Z  100 | B1 ) P( B1 )  P( Z  100 | B2 ) P( B2 )  0  0,6808 
 0,022
1550
c.) Berechnen Sie die Streuung von unseren Schätzungen für die Erwartungswerte des
Einkommens in den Gruppen.
Sei X das Einkommen der Firmen
Die Standardabweichung des Erwartungswerts ist D( X ) 
für kleine Firmen:
25
10
250

n
.
 7,906 T €
 79,06 M €
10
Die korrigierte Standardabweichung mit der Hilfe der Größe der Grundgesamtheit ist
 N n
.
D( X ) 
n N 1
25  1500  10
für kleine Firmen:
 7.882 T €
10  1500  1
250  50  10
für grosse Firmen:
 71.429 M €
10  50  1
für grosse Firmen:
2.) Wir haben die Ergebnisse (Punkte) von fünf Studenten in einer Klausur: 80, 47, 73, 58,
67.
a.) Schätzen Sie das durchschnittliche Ergebnis in der Klasse!
X 
80  ...  67
 65 P
5
b.) Geben Sie eine Schätzung für die Streuung der erreichten Punktzahl!
ˆ 
(80  65) 2  ...  (67  65) 2
 12,9 P
4
c.) Berechnen Sie den Standardfehler unseres Schätzers aus Punkt a.)!
65
5
 5,77 P
d.) Wie verändert sich die Antwort in c.), wenn
Standardabweichung der Ergebnisse 15 Punkte ist?
wir
wissen,
dass
die
15
5
 6,71 P
3.) Welche Daten/Verteilungen sind linkssteil, rechtssteil oder symmetrisch?
a.) Monatseinkommen in einer Firma b.) Durchschnittstemperaturen in Budapest am 17.
September
c.) Die größte Zahl aus eine Lottoziehung
d.) Normalverteilung e.) Chi-Quadrat Verteilung
f.) Binomialverteilung (Anzahl der Ereignisse aus n Versuche, n=20, p=0,25, p=0,5, p=0,75)
Linkssteil: a.); e.); f.) mit p=0,25
Rechtssteil: c.); f.) mit p=0,5
Symmetrisch: b.); d.); f.) mit p=0,75
4.) Betrachten wir 2 Länder, in denen 2008 der Markt der Lebensmittelgroßhändler wie
folgt verteilt war. Untersuchen Sie die Konzentration des Marktes für beide Länder, durch
den Herfindahl-Index.
Land A
Land B
Handelfirma
Verkaufte Wert (MFt)
Handelfirma
Verkaufte Wert (MFt)
X
100
Q
200
Y
100
R
200
Z
300
S
300
W
500
T
300
Land A:
H=0,12+0,12+0,32+0,52=0,36
Land B:
H=0,22+0,22+0,32+0,32=0,26
In Land A ist der Markt stärker konzentriert.
Welche zwei Firmen sollen fusionieren um die größte Konzentration zu erreichen?
In beiden Ländern sollen die zwei größten Firmen fusionieren.
Land A:
H=0,12+0,12+0,82=0,66
Land B:
H=0,22+0,22+0,62=0,44
5.) Wir haben die folgende Punktverteilung der Statistikklausur in 2008:
Punkten
20- b.u. 30
30-b.u. 40
40-b.u. 50
50-60
Anzahl
12
17
10
4
a.) Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung für die Punkte
der Klausur!
X 
ˆ 
12  25  17  35  10  45  4  55
 36,4 P
12  17  10  4
12  (25  36,4) 2  17  (35  36,4) 2  10  (45  36,4) 2  4  (55  36,4) 2
 9,41P
12  17  10  4  1
b.) Berechnen Sie die 10%, 25%, 50%, 75% und 90% Quantile für die Punkte (mit
Hilfe der originalen Daten und der Normalverteilung)!
Mit der Hilfe der originalen Daten:
10 % Ordnungsnummer: o=0,1(43+1)=4,4 das ist gebrochen
x0.1=x(5)=25
(oder genauer: 20+(5-1)*10/11=23.6)
25 %
Ordnungsnummer: o=0,25(43+1)=11 das ist ganz
x0, 25 
50 %
 25 P
(oder genauer: 20+(11-1)*10/11=29.1)
x( 22)  x( 23)
2
 35 P
(oder genauer: 30+(10-1)*10/16=35.6)
Ordnungsnummer: o=0,75(43+1)=33 das ist ganz
x0,75 
90 %
2
Ordnungsnummer: o=0,5(43+1)=22 das ist ganz
x0,5 
75 %
x(11)  x(12)
x(33)  x(34)
2
 45 P
(oder genauer: 40+(6-1)*10/9=45.6)
Ordnungsnummer: o=0,9(43+1)=39,6 das ist gebrochen
x0.9=x(40)=45
(oder genauer: 40+(10-1)*10/9=50)
Mit der Hilfe der Normalverteilung:
Sei X die Punkte der Kausur, dann X~N(36,4 ; 9,412)
 X  36,4 x  36,4 
 x  36,4 

   

9,41 
 9,41
 9,41 
  P X  x   P
So x  9,41   1 ( )  36,4
10 %
 1 (0,1)   1 (1  0,1)   1 (0,9)  1,28
x0,1  9,41  (1,28)  36,4  24,36
25 %
 1 (0,25)   1 (1  0,25)   1 (0,75)  0,675
x0,1  9,41  (0,675)  36,4  30,05
50 %
 1 (0,5)  0
x0,1  9,41  0  36,4  36,4
75 %
 1 (0,75)  0,675
x0,1  9,41  0,675  36,4  42,75
90 %
 1 (0,9)  1,28
x0,1  9,41  1,28  36,4  48,44