Lösungen von Aufgaben 3

Budapester Wirtschaftshochschule
Fakultät für Handel, Gastronomie und Tourismus
Studiengang Tourismus und Hotel Management
STATISTIK 2 AUFGABEN 2012/ 3
1.) Zehn Firmen wurden über ihren Jahresgewinn des Jahres 2011 befragt:
(die Werte sind in T € angegeben)
18,2 30,4 24,4 22
6,6
24,7 27,9 21,1 24,6 29
a.) Geben Sie UND interpretieren Sie eine Schätzung für den Erwartungswert und die
Standardabweichung des Jahresgewinn!
x =22,89 T €
Der durchschnittliche Jahresgewinn der zehn Firmen in 2011 war 22,89 T €.
̂  6,82 T €
Die durchschnittliche Abweichung der Jahresgewinne von dem durchschnittlichen
Jahresgewinn der Firmen in 2011 war 6,82 T €.
b.) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Jahresgewinn mehr als 31 T € beträgt!
Benutzen Sie die originalen Daten sowie die angepasste Normalverteilung.
Sei X: das Jahresgewinn einer Firma in 2011 in T €
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit: P( X  31)  ?
Die Schätzung durch die originalen Daten ist 0.
Die Schätzung durch Normalverteilung:
Die geschätzte Parameter der Normalverteilung sind:
m=22,89 T €
  6,82 T €
 X  22,89 31  22,89 
P( X  31)  1  P( X  31)  1  P

  1  (1,19)  1  0,883  0,117
6,82 
 6,82
c.) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit mit der Tschebischev’sche Ungleichung, dass der
Jahresgewinn von dem durchschnittlichen Wert (in Absolutwert) mit mindestens 10 T €
abweicht!
P X  22,89  10 
6,82 2
 0,4651  46,51%
10 2
d.) Bestimmen Sie den Stichprobenumfang mit der Hilfe der Tschebischev’sche
Ungleichung und der Normalverteilung, wenn wir möchten, dass unsere Schätzung
(aufgrund der originalen Daten) mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 0,95 um
höchstens 0,1 (in Absolutwert) von der wahren Wahrscheinlichkeit abweicht.
Sei X1,X2,...Xn die Jahresgewinne der Firmen, das ist unsere Stichprobe.
Lasst uns mit Hn die relative Häufigkeit mit Stichprobenumfang n, und mit p die
ungekannte wahre Wahrscheinlichkeit zeichen.
Wir müssen n bestimmen, damit P H n  p  0,1  0,05 wahr wird.
Wir wissen, dass D 2 ( H n ) 
p (1  p )
n
Der Zähler kann geschätzt werden: p(1  p) 
  1 2 
So sei Hn~ N  p, 
 
  2 n  


1
p (1  p )
1

, deshalb
4
n
4n
Mit der Hilfe der Tschebischev’schen Ungleichung,
1
25
25
 0,05  500  n
und dafür
P H n  p  0,1  4n2 
n
n
0,1
Mit der Hilfe der Normalverteilung,
P H n  p  0,1  1  P H n  p  0,1  1  P 0,1  H n  p  0,1 


 0,1 H n  p
0,1
1  P


 1
1
1

2 n
2 n
2 n


  1   n     n  


 5 

  5 





 n

 n 
n
   
  2  1  

1  

 5 
 5    0,05

5







 n
 n
n
  0,025  0,975  
  1,96 
 96,04  n
 1  

 5 
5
5




es bedeutet praktisch, dass wir wenigstens 97 Beobachtungen brauchen.
2.) 10 Firmen wurden zu ihrem Jahresumsatz im Jahr 2011 befragt (die Werte sind in M Ft).
Wir interessieren uns für den Median und in das 85%-Quantil des Umsatzes.
60 72 84 88 89 93 103 103 120 126
a.) Geben Sie Schätzungen für den Median und das 85%-Quantil des Jahresumsatzes.
Median
Die Ordnungsnummer: o 
Me 
10  1
 5,5
2
x5  x6 89  93

 91 M Ft
2
2
85%-Quantil
Die Ordnungsnummer: o  10  0,85  8,5
und das ist gebrochen
x 0,85  x9  120 M Ft
b.) Wir haben nur diese 10 Beobachtungen, aber wir möchten etwas über die Streuung
unsere Schätzungen sagen, ohne die Verteilung der Beobachtungen zu bestimmen.
Deshalb führen wir die sogenannte Bootstrap Methode aus. Geben wir Schätzungen für
die Standardabweichung des Medians und des 85% Quantils mit der Hilfe der folgenden
bootstrap Stichproben.
1.
2.
3.
4.
5.
60
88
60
60
84
88
88
72
60
84
89
93
72
84
84
93
93
84
84
88
103
93
93
84
88
103
103
103
84
88
103
103
103
93
103
120
120
120
103
126
120
126
126
120
126
120
126
126
126
126
6.
7.
8.
9.
10.
60
60
72
84
60
60
84
84
84
84
72
84
84
84
84
88
88
93
88
84
89
89
103
88
89
103
93
103
88
89
103
103
103
103
89
120
103
120
103
93
120
103
126
120
103
126
120
126
126
126
Im weiteren müssen wir nun für jede Zeilen 1 bis 10 der Stichproben jeweils den
Median und das 85%-Ouantil bestimmen. So bekommen wir untenstehende Werte
Median
103 98
98 84
88 96
Standardabweichung für den Median:
91
103
88
89
(103  91) 2  (98  91) 2  ...(89  91) 2
 7,32 M Ft
9
85%-Quantile
120
126
126
120
126
120
Standardabweichung für das 85%-Quantil:
103
126
120
103
(120  120) 2  (126  120) 2  ...(103  120) 2
 8,96 M Ft
9
3.) Wir wissen wieviel Minuten die Leute in der U-Bahn Haltestelle gewartet haben:
Wartezeit ( Minuten )
8
7,5 2
3,5 1
4
4
7
6,5 6
Schätzen Sie, wie oft die U-Bahn kommt! (Wir nehmen an, dass die Leute nach einer
Gleichverteilung kommen.) Was sind die Eigenschaften der verschiedenen Schätzungen?
a.) X = 4,95 es ist erwartungstreu.
b.) max(X) = 8. Dieser Wert ist eine Unterschätzung. Er ist nicht erwartungstreu (aber es kann
verbessert werden mit ein Faktor von (n+1)/n und man kann zeigen z.B. durch Simulation,
das dieser Wert effektiver ist als die anderen)
In unsem Fall ergibt sich 8*11/10=8,8 Min