Das symmetrische Dreiphasensystem (Drehstromsystem)
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HTW Dresden FB Elektrotechnik Grundlagen der Elektrotechnik H. Neundorf \drephae1.doc //nd_98_01_30 Das symmetrische Dreiphasensystem (Drehstromsystem) 1. Spannungen Die in den drei räumlich gegenseitig um 120° versetzt angeordneten Strängen U, V, W eines Drehstromgenerators erzeugten Spannungen (”Strangspannungen”) (Bild 1a) u U = ϕ U1 − ϕ U 2 = u$ U ⋅ sin ωt 2π − ϕV 2 = u$V ⋅ sin ωt − (1) 3 4π uW = ϕ W1 − ϕW 2 = u$W ⋅ sin ωt − 3 bilden ein symmetrisches Dreiphasensystem, wenn ihre Amplituden gleich sind u$ u = u$ v = u$ w 2π und ihre gegenseitige Phasenverschiebung beträgt (Bild 1b). 3 Die Spannungszeiger u$ u , u$ v , u$ w bzw. Uu, Uv, Uw bilden dann einen symmetrischen Stern (Bild 1c). uV = ϕ V1 Prinzip des Dreiphasengenerators Liniendiagramm der Strangspannungen u uV uU π 0 2 − π 3 Zeigerdiagramm der Strangspannungen uW u$W 2π ωt 2π 3 u$ U 2π 3 u$V 4 − π 3 Bild 1 a) b) Entstehung des dreiphasigen Spannungssystems (Dreiphasensystem) 2π 3 hnd c) 2π versetzten Spulen mit diesem Spannungssystem ein 3 drehendes Magnetfeld (Drehfeld) erzeugt werden kann, ist auch die Bezeichnung: ”Drehstrom” gebräuchlich. Die Erzeugung eines rotierenden magnetischen Drehfeldes mit Hilfe eines dreiphasigen Spannungssystems ist die Funktionsgrundlage aller Drehfeldmaschinen (Motoren wie Generatoren). Wenn in einer Drehfeldmaschine p symmetrische dreiphasige Spulensysteme angeordnet sind, ergibt sich bei der Frequenz f des speisenden Dreiphasensystems 2π ⋅ f 60 ⋅ f die Winkelgeschwindigkeit Ω : Ω = und die Drehzahl n: n= in U/min. (2) p p Daraus folgen die gängigen Synchrondrehzahlen der Drehfeldmaschinen bei Speisung aus dem 50HzNetz: ”Polpaarzahl” p: 1 2 3 4 6 Synchrondrehzahl n: 3000 1500 1000 750 500 in U/min Weil bei der Speisung von drei räumlich um Die drei Stränge U, V, W können ”unverkettet” einzelne Verbraucher speisen: ”Offenes Dreiphasensystem” (Bild 2a) (ist von untergeordneter technischer Bedeutung) oder zwecks Einsparung von zwei bzw. drei Leitern miteinander verbunden (verkettet) sein : ”Verkettetes Dreiphasensystem”: Standard der öffentlichen Energieversorgungsnetze. -2- dbox2\drephae2.doc //nd 2. Das verkettete Dreiphasensystem Bezezeichnungen von Spulenanschlüssen, Leitern und Formelzeichen: DIN 40 108 Die drei Stränge können auf zwei prinzipielle Weisen miteinander verbunden (verkettet) werden: • Alle Strangenden (U2, V2, W2) zum „Sternpunkt N“ verbunden: Sternschaltung (Bild 2b) • oder im Phasenfolge-Sinn jeweils Strangende mit Stranganfang ( U2-V1, V2-W1, W2-U1) zur Ringschaltung verbunden: Dreieckschaltung (Bild 2c). U1 U V V2 U2 W2 L1 U1 U N V W2 U1 V1 L2 V1 U2 W1 W W W1 L2 V2 L3 V1 L3 W1 1 Bild 2 L1 N hnd 2a) unverkettetes Dreiphasensystem 2b) Stränge in Sternschaltung verkettet 2c) Dreickschaltung der Stränge mit Dreileiter-Netz 2.1.Sternschaltung An dem gemeinsamen Sternpunkt N kann ein für alle Stränge gemeinsamer Rückleiter (Neutraler Leiter N) angeschlossen werden (Bild 2b). Die Sternschaltung mit neutralem Leiter N bildet das universelle Vierleiternetz des öffentlichen Energieverteilungssystems mit den Leiterbezeichnungen der Außenleiter L1, L2, L3, N (Bild 3). Die Leiterbezeichnungen R, S, T, Mp sind nicht mehr gebräuchlich! o 30 L1 U12 U12 V1 L2 UUN UVN U1N U1 N U3N UWN (N) L1 (U1) U2N N U2N U1N U31 U31 o 120 U3N U23 U 23 L3 (W1) L3 W1 Bild 3 3a Spannungssysteme des Vierleiternetzes L2 (V1) Bild 3b Das Vierleiternetz (Bild 3a) bietet zwei Spannungssysteme mit insgesamt sechs in Betrag und Phase verschiedenen Spannungen (Bild 3b): 1. Das Dreiphasensystem der Sternspannungen (Außenleiterspnngn. gegen N) : U 1N , U 2 N , U 3 N Es ist jeweils eine Sternspannung UY gleich einer Strangspannung Ustr : U 1 = U 1N = U U N = U UN ∠0 ° U 2 = U 2 N = U VN = U UN ∠ − 120 ° U 3 = U 3 N = U WN = U UN ∠ − 240° Wenn Verwechslung ausgeschlossen ist, kann U 1 für U 1 N , U 2 für U 2 N , U 3 für U 3 N geschrieben werden. (3) -3- dbox3\drephae3.doc //nd 2. Das Dreiphasensystem der Außenleiterspannungen („verkettete Spannungen“,„Dreieckspannung) Die Spannung zwischen den Außenleitern L1-L2-L3 eines Dreiphasensystems wird Dreieckspannung genannt. Aus dem Zeigerbild (Bild 3b) ist die Bildung der drei Außenleiterspannungen zwischen jeweils zwei Strang-Anfängen ersichtlich. Wegen der Übereinstimmung der Sternspannungen mit den Strangspannungen ( Gl(3): U 1N = U UN ; U 2 N = U V N ; U 3 N = U WN ) folgt: U 12 = U UN − U V N U 23 = U VN − U WN U 31 = U WN − U UN (4) Für die Beträge der Dreickspannung U ∆ und der Sternspannung UY ergibt sich aus den Winkelbeziehungen U12 = 2 ⋅ UUN ⋅ cos 30 o = 3 ⋅ UUN (5) U ∆ = 3 ⋅ UStrang = 3 ⋅ UY (6) Allgemein gilt für jeden Strang: Wir werden fortan im Verbraucher-Netz die Sternspannungen oder die Leiterspannungen (Dreieckspannungen) verwenden. Als Nennspannung U des Dreiphasennetzes ist die Dreieckspannung vereinbart. („400V-Netz“ heißt: Dreieckspannung U∆ = 400 V, Sternspannung UY = 230 V ) In Bezug auf den hier gleich Null gewählten Nullphasenwinkel der Spannung U1 = U1N = UUN (Bild 3b) folgen aus der Verwendung der Nennspannung U die komplexen Stern- und Dreieckspannungen: Sternspannungen U U 1N = ∠ 0° 3 U U 2N = ∠ − 120° 3 U U 31 = ∠ − 240° 3 Dreieckspannungen U 12 = U ∠30 ° U 23 = U ∠ − 90 ° (7a) (7b) U 31 = U ∠ − 210 ° 2.2. Dreieckschaltung des Erzeugers Bei Dreieckschaltung der Erzeugerstränge steht nur ein symmetrisches Spannungssystem mit drei um ebenfalls 120° gegeneiander verschobenen Spannungen an den Außenleitern zur Verfügung. Dabei gilt: Außenleiterspannung = Strangspannung = Dreieckspannung L1 UU U1 U12 U2 W2 Legt man wieder die Strangspannung UU in die reelle Achse, ergibt sich das Spannungssystem der Dreieckspannungen: U31 L2 V1 UW UV W1 V2 U 12 = U U = U U ∠ 0 ° U12 U 23 = U V = U U ∠ − 120 ° U23 U31 U23 U 31 = U W = U U ∠ − 240° L3 (8) Bild 4a Bild 4 Erzeuger in Dreieckschaltung Bild 4b Nach dem Maschensatz muß die Summe der Strangspannungen und damit auch der Außenleiterspannungen gleich Null sein. Die Zeiger der Spannungen bilden ein symmetrisches Dreieck (Bild 4b). Im Gegensatz zur Sternschaltung des Erzeugers steht hier ein Sternpunkt für den Anschluß eines neutralen Leiters nicht zur Verfügung (Dreileiternetz). -4- dbox5\drephae4.doc //nd 3. Das Dreiphasensystem bei symmetrischer Belastung 3.1 Strangströme und Außenleiterströme bei Sternschaltung und bei Dreieckschaltung Die Relationen der Ströme in den Außenleitern und in den Strängen treten in Erzeuger und Verbraucher gleichermaßen auf. Eine Belastung heißt symmetrisch, wenn der komplexe Widerstand Z der drei Belastungsstränge gleich ist (Bild 5a auf Seite 5). Wir nehmen den Erzeuger als ideale, symmetrische dreiphasige Spannungsquelle an. Im Bild 5a sind zusammengefaßt die Anschlüsse eines symmetrischen Verbrauchers in Sternschaltung und daneben eines Verbrauchers in Dreieckschaltung an ein symmetrisches Vierleiternetz dargestellt. Darunter sind im Bild 5b jeweils die Zeigerdiagramme der Strangspannungen und der Strangströme bei symmetrischer Belastung gezeichnet. Die Zusammenhänge zwischen den Strangströmen und den (Außen-)Leiterströmen bei Sternschaltung und bei Dreieckschaltung sind aus den Zeigerdiagrammen im Bild 5c ersichtlich.. Hierzu die Erläuterung: 3.1.1 Sternschaltung des Verbrauchers An jedem Verbraucherstrang liegt die Sternspannung des Netzes (Bild 5a, links). Den Zeiger der Sternspannung U1 = U1N = UUN legen wir wieder in die reelle Achse (Bild 5b). Mit dem in allen Strängen gleichen komplexen Widerstand Z des symmetrischen Verbrauchers folgt gemäß Bild 5a und b unter Verwendung von Gln (8) für die Strangströme, die hier gleich den Außenleiterströmen sind: I1 = ⋅ U1 N Z I2 = U 2N I3 = U 3N Z Z = = = U 1N = U UN = 1 U ⋅ ∠ − ϕZ Z 3 U1 N ∠ − 120° = Z U1 N Z ∠ − 240 ° 1 U ⋅ ∠ ( −120 °−ϕ Z ) Z 3 = I1 ∠ − 240 ° I1 = ⋅ U U 3 ∠ 0° (9) ∠ − ϕZ I2 = 3⋅Z I1 ∠ − 120° I3 = I1 ∠ − 240 ° Bei symmetrischer Belastung bilden auch die Strangströme wegen der jeweils gleichen Phasenverschiebung von 120° ein symmetrisches Dreieck mit den Effektivwerten I1 = I2 = I3 = IY = UY = Z U∆ (10) 3⋅Z Infolgedessen ist der Summenstrom IN im neutralen Leiter Null (Bild 5c): I N = I1 + I 2 + I 3 = 0 (11) Demnach genügt es, den Strom nur für einen Strang zu berechnen. Die Ströme der beiden anderen Stränge ergeben sich durch Multiplikation des Zeigers des ersten Stromes mit dem „Drehoperator“ a =e −j 2π 3 = cos120°− j ⋅ sin120° = −0 ,5 − j ⋅ 0 .866 (12) Nur bei unsymmetrischer Belastung ergänzen sich die Strangströme nicht zu Null, und es fließt im neutralen Leiter ein Strom nd I N = I1 + I 2 + I 3 (13) Ströme im Dreiphasensystem bei symmetrischer Belastung S. 5 dbox5\drephae5.doc Vierleiternetz L1 L1 U1N V1 U12 U31 L2 UVN UUN L2 L3 N U1 U23 U2N L3 U3N N N UWN W1 I3 IN Erzeuger/ Transformator I2 I1 I1 I3 U1 U1 I31 U1N Z Verbraucher I2 U31 U12 Z Z Z I12 Z Z W1 U3N U2N N a) Anschluß und Schaltung der Verbraucher W1 Verbraucher in Sternschaltung I2 b) Strangspannungen und Strangströme V1 ϕZ I1 U 12 ϕZ ϕZ I3 V1 (U2) (V1) ϕZ I23 U3N I23 U23 Verbraucher in Dreiecksch. U2N U1N U2 (U1) (W2) I1 30 o U2N U1N I31 I 12 U 31 U3N U 23 I2 ϕZ (W1) hnd c) Strang- und Leiterströme (V2) -I23 I12 I2 I3 I1 I3 I31 I31 I23 120° I12 I2 Strangstrom = Leiterstrom Dreieck der Strangströme 120° I23 30° -I12 -I31 I1 Bild 5 hnd Strangströme und Leiterströme bei symmetrischer Belastung Bildung der Leiterströme I1, I2, I3 -6- dbox5\drephae6.doc //nd 3.1.2 Dreieckschaltung des Verbrauchers Bei der Dreieckschaltung liegen an den Strängen des Verbrauchers die Dreieckspannungen U12 , U23 , U31 des Drehstromnetzes (Bild 5a). Aus den Dreieckspannungen gemäß Gln (7b) folgen die Strangströme in Analogie zu Gln (9). I12 = Mit U 12 Z = U ∠ ( 30 °− ϕ Z ) = I12 ∠ ( 30 °− ϕ Z ) Z (14) bei symmetriebedingter Gleichheit der Effektivwerte der Strangströme I12 = I23 = I31 = I∆ = U∆ U = Z Z (15) I12 = I ∆ ∠ ( 30 °−ϕ Z ) folgt I23 = I ∆ ∠ ( − 90°−ϕ Z ) (16) I31 = I ∆ ∠ ( − 210 °− ϕ Z ) Diese im Bild 5b in Bezug zu den Strangspannungen eingetragenen Zeiger der Strangströme (I12,...) des Verbrauchers müssen sich wegen des fehlenden Sternpunktleiters in jedem Belastungsfall zu einem Dreieck schließen (Bild 5c Mitte). Die Außenleiterströme folgen aus dem Knotensatz an den Anschlußklemmen (Bild 5a): I1 = I12 - I31 I2 = I23 - I12 I3 = I31 - I23 (17) Aus den Winkelbeziehungen der Strang- und Außenleiterströme in Bild 5c folgt die Beziehung zwischen den Effektivwerten von Strang- und Außenleiterströmen bei Dreieckschaltung: I = 2 ⋅ I ∆ ⋅ cos 30 ° = 3 ⋅ I∆ (18) Die Außenleiterströme eines in Dreieck geschalteten Verbrauchers sind 3 mal so groß wie die Strangströme ! Wird derselbe symmetrische Verbraucher einmal in Sternschaltung und einmal in Dreieckschaltung seiner Stränge an das gleiche Drehstromnetz angeschlossen (wie z. B. in Bild 6), dann erhöht sich der Leiterstrom bei Dreieckschaltung gemäß den Gln. (19),(20) um den Faktor 3 ! Sternschaltung des Verbrauchers: U U (19) I = IY = Y = Z 3⋅Z Dreieckschaltung : I = 3 ⋅ I∆ = Das Verhältnis der Leiterströme: 3⋅ ILeiter U = Z ∆ ILeiter Y 3⋅ 3 ⋅ UY 3 ⋅ UY = = 3 ⋅ IY Z Z (20) = 3 (20a) Dieser Sachverhalt wird beim sogenannten Stern-Dreieck-Anlauf von Drehstrom-Asynchronmotoren zur Reduzierung der infolge der großen Anlaufströme (ca. 6∗INenn) bedingten Netzbelastung genutzt. nd W2 U2 V2 U1 V1 W1 L1 L2 L3 Lage der Anschlußlkemmen und Schaltbrücken im Klemmenkasten eines Drehstrommotors W2 U2 V2 U1 V1 W1 Bild 6 L1 L2 L3 -7- \dbox5\drephae7.doc //nd 3.2. Die Leistung im Dreiphasensystem Die Leistung in einem Dreiphasensystem ergibt sich aus der Summe der Leistungen in den Strängen (folgend Index Str für Stranggrößen). PStr = UStr ⋅ IStr ⋅ ⋅ cos ϕ Str Wirkleistung eines Stranges: Gesamtleistung der drei Stränge bei symmetrischer Belastung P = ∑ PStr (I1Str = I2Str = I3Str, ): P = 3 ⋅ PStr = 3 ⋅ U Str ⋅ I Str ⋅ cos ϕ (21) (22) Mit den abgeleiteten Beziehungen zwischen Strang- und Leitergrößen bei Stern- und bei Dreieckschaltung (Bild 5 b und c) Sternschaltung U = 3 ⋅ UStr Dreieckschaltung U = UStr I = IStr I = 3 ⋅ IStr nd (23) ergibt sich für die Berechnung der Gesamtleistung aus den meßbaren Leitergrößen U und I P = 3⋅ für die Sternschaltung für die Dreieckschaltung P = 3 ⋅ U ⋅ U 3 ⋅ I ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ (24) I ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ . 3 Diese Übereinstimmung der Leistungsberechnung für Stern- und Dreieckschaltung besteht auch für die Scheinleistung und für die Blindleistung im Dreiphasensystem: Wirkleistung: P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ (25) Blindleistung: Q = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin ϕ (26) Scheinleistung S = 3U ⋅ I S = P2 + Q2 (27) λ = cos ϕ = Leistungsfaktor P S (28) Berechnungshinweis für Stromaufnahme eines Drehstrommotors: Leistungsangabe (auch PN auf Typenschild) ist stets abgegebene (mechanische) Leistung. P Pel = ab Deshalb: (29) η daraus I= Pel 3 ⋅ U ⋅ cos ϕ Richtwerte: cos ϕ ≈ 0,7K0,9 ; Wirkungsgrade η ≈ 0,7...0,96 im Bereich der Nennleistung (kleine Werte für PN ≈ 0,5 kW, die großen Werte für PN ≈ 1000 kW). (30) -8- drephae8.doc //nd 3.3 Leistungsmessung im Drehstromsystem Gemessen wird in der Regel die Wirkleistung. Wirkleistungsmessung im Vierleiternetz Unabhängig davon, ob der Sternpunkt N des Verbrauchers mit dem Neutralen Leiter N verbunden ist oder nicht, ergibt sich die vom Verbraucher aufgenommene Wirkleistung aus der Summe der von den Wattmetern angezeigten Einzelleistungen: P = P1 +P2 +P3 P1 L1 I1 Verbraucher Z1 I2 Z2 W P2 L2 W P3 L3 I3 N (Sternpunkt) Z3 W U2N U1N U3N nd N Bild 7 Wirkleistungsmessung imVierleiternetz Wirkleistungsmessung im Dreileiternetz Wegen des nichtangeschlossenen Sternpunktes ist im Dreileiternetz zwangsweise I1 + I2 + I3 = 0 . Unter dieser Voraussetzung erhält man die vom Verbraucher aufgenommene gesamte Wirkleistung aus den in der „Aronschaltung“ (Bild 8) von den zwei Wattmetern angezeigten Leistungen P1 und P2: Verbraucher P1 I1 Z1 I2 Z2 (32) W L1 U 12 L2 N P2 L3 P = P1 + P2 U 32 Z3 I3 W Bild 8 Wirkleistungsmessung am Dreileiternetz Aronschaltung (Zweiwattmeter-Methode) 4. Anschluß von drei- und einphasigen Verbrauchern an das Vierleiternetz Im Bild 9 sind die gebräuchlichen Anschlußmöglichkeiten von einphasigen und dreiphasigen Verbrauchern an das Drehstrom-Vierleiternetz angegeben. Die Anschlußbilder sind ohne die erforderlichen Schalt- und Schutzeinrichtungen gezeichnet !! L1 L2 L3 PEN nd N PE Schutzleiter PE U1 V W1 M 3∼ Drehstrommotor 400 U2 U1 Dreileitersystem mit Schutzleiter für einphasige Verbraucher M 1∼ Einphasenmotor 230 Lampen 230 V Kleine Heizgeräte, Netzanschluß für Heimelektronik, PC und andere einphasige SchukoSteckdose Bild 9: Anschluß von dreiphasigen und einphasigen Verbrauchern an das Drehstromnetz
