Übungsaufgaben zur Stern- und Dreieckschaltung

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Einführung in das
Drehstromsystem
Carl-Engler-Schule
Karlsruhe
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Das Drehstromsystem
Inhaltsübersicht:
1. Versuche und Grundbegriffe ............................................................................................ 1
1.1
Versuche zum Drehstromsystem........................................................................... 1
1.2
Die Spannungen im Drehstromsystem .................................................................. 2
1.3. Erzeugerschaltungen - Verkettung ........................................................................ 3
2. Verbraucherschaltungen – Sternschaltung ...................................................................... 4
3. Verbraucherschaltungen - Dreieckschaltung ................................................................... 5
Vergleich: Leistungen bei Stern- und Dreieckschaltung: .................................................. 6
4. Übungsaufgaben zur Stern- und Dreieckschaltung (symmetrisch) .................................. 7
5. Unsymmetrische Last bei einer Sternschaltung ............................................................... 8
6. Übungsaufgaben zur Stern- und Dreieckschaltung (unsymm.) ........................................ 9
7. Die Ströme in der Dreieckschaltung (symmetrisch und unsymmetrisch) ...................... 10
8. Fehlerfälle bei Stern- und Dreieckschaltung .................................................................. 11
9. Übungsaufgaben zu komplexen Drehstromschaltungen (Dreieck) ................................ 12
1. Versuche und Grundbegriffe
1.1 Versuche zum Drehstromsystem
Versuch 1: Spannungsmessungen zwischen Außenleiter und Neutralleiter
Versuch 2: Spannungsmessungen zwischen den Außenleitern
Versuch 3: Messungen an Glühlampen
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1.2
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Die Spannungen im Drehstromsystem
Zur Erzeugung der drei Spannungen werden drei Spulen um 120° räumlich versetzt
angeordnet! Dadurch werden dann drei zeitlich (um 120° verschobene) Spannungen
u1(t), u2(t) und u3(t) erzeugt.
Skizze: Drei Spulen um 120° räumlich versetzt:
1
L1
2
2
1
L3
2
L2
1
Für die angegebenen Daten erhält man folgende Liniendiagramme:
Frequenz f in Hz:
50,00
Periodendauer T in msec:
20,00
Ueff in V:
230,00
Amplitude in V:
325,27
Liniendiagramme im Drehstromsystem
Die Zeiger und die Liniendiagramme im Drehstromsystem:
u1(t)
u2(t)
u3(t)
400
300
u(t) in V
200
100
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-100
-200
-300
-400
t in msec
Die Gleichungen der Spannungen:
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Daraus ergibt sich folgendes Zeigerbild:
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1.3.
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Erzeugerschaltungen - Verkettung
Bei der Erzeugung der drei Spannungen im Drehstromsystem haben wir gesehen, dass
eine räumliche Versetzung der drei Erzeugerspulen zu einer zeitlichen Verschiebung der
drei Spannungen führt. Zur Weiterleitung der drei Spannungen wären aber immer noch
sechs Leitungen nötig. Dies widerspricht aber unseren Beobachtungen:


Beim Herdanschlusskabel haben wir nur vier Leiter (L1, L2, L3, N) und den Schutzleiter PE!?
An Hochspannungsfreileitungen auf der 230 kV-Ebene sieht man nur drei Leiter!?
Wie schafft man es, aus sechs Leitungen vier bzw. nur drei zu machen?
Das Zauberwort heißt hier VERKETTUNG!
Betrachten wir zunächst das in Mittel- und Niederspannungsnetzen ausschließlich
verwendete Vierleitersystem, die Strangenden (2) werden miteinander verbunden.
Skizze der Erzeugerspulen:
Das Spannungsdreieck:
1
L1
2
2
L3
2
1
L2
1
Sternspannungen,
im Niederspannungsnetz 230 V:
NENNSPANNUNG ist immer die
Außenleiterspannung, hier U = 400 V!
U1N, U2N, U3N
U12, U13, U23
Behauptung: U12 = 3 *U1N
Nachweis über Zeigerbild
und Cosinus-Satz!
In Hoch- und Höchstspannungsnetzen wird dagegen fast immer das Dreileitersystem
verwendet. Dabei werden die drei Spulen praktisch hintereinander geschaltet (2 auf 1).
Skizze der Erzeugerspulen:
Das Spannungsdreieck:
1
L1
2
2
1
L3
2
L2
1
NENNSPANNUNG ist immer die Außenleiterspannung, es gibt hier keine Sternspannung!
Dreileitersystem:
Ui  0 ,  Ii  0 , kein Rückleiter vorhanden, nur eine Spannung
Vierleitersystem:
zur Verfügung, nur in Hoch- und Höchstspannungsnetzen verwendet!
Bei symmetrischer Belastung: Ui  0 ,  Ii  0 , hier wäre kein
Rückleiter N nötig, bei unsymmetrischer Belastung wird N gebraucht!
Zwei Spannungen verfügbar (400 V / 230 V), universell verwendbar;
Einsatz nur in (Mittel-) Niederspannungsnetzen ( < 1000 V)
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2. Verbraucherschaltungen – Sternschaltung
Wenn auf Erzeugerseite ein Vierleitersystem (L1, L2, L2, N mit 400 V / 230 V) vorhanden
ist, können die Verbraucher im Stern oder im Dreieck angeschlossen werden.
Betrachten wir zunächst die sehr häufig verwendete Sternschaltung:
Falls R1 = R2 = R3 ist, spricht man von einer
symmetrischen, sonst von einer unsymmetrischen
Belastung.
Für die Orientierung der Spannungen gilt:
U1
U3
U2
Für die Spannungen gilt:
Die Spannung UR über einem Widerstand ist gleich der Spannung zwischen Außenleiter
und Neutralleiter (Sternspannung):
UR1 = U1N = 230 V, UR2 = U2N = 230 V, UR3 = U3N = 230 V
Die Spannungen über einem Strangwiderstand nennt man Strangspannung!
Für die Ströme gilt:
Der Strom, der in einem Außenleiter fließt (I), fließt auch durch den Strangwiderstand!
IR1 = IL1, IR2 = IL2, IR3 = IL3
Bei symmetrischer Belastung gilt: IR1 = IR2 = IR3 !
Da die drei Ströme um jeweils 120° gegeneinander
verschoben sind, ergänzen sich die drei Zeiger zu Null! Dies
bedeutet, dass der Strom IN im Neutralleiter Null wird.
Wie wir im Versuch gesehen haben, könnte man den
Neutralleiter somit weglassen.
Da man in der Praxis jedoch häufig unsysmmetrische
Belastungen hat, macht man das natürlich nicht!
Zusammenfassung Sternschaltung:
Strangstrom = Außenleiterstrom
UStr 
U
3
Strangspannung = Sternspannung
Strangwide rstand 
Strangspan nung
Strangstro m
IStr  I
UStr 
U
3
RStr 
UStr
IStr
IStr  I
Für die Leistungen gilt:
Pges = 3 * PStr
Pges = 3 *
U
*I =
3
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PStr = UStr * IStr
3 *U*I
PStr =
Pges =
U
*I
3
3 *U*I
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3. Verbraucherschaltungen - Dreieckschaltung
Bei einer Dreieckschaltung werden drei Verbraucher wie folgt angeschlossen:
Man sieht sofort:
 Ustr = U (400 V)
(Strangspannung =
Außenleiterspannung)
 Die Summe der
Außenleiterspannungen ist Null!
 Die Strangströme sind kleiner als
die Außenleiterströme!
 Die Summe der Außenleiterströme
MUSS Null sein (Es ist ja kein
„Rückleiter“ vorhanden)
Bezeichnungen:
Für die Ströme gilt:
Außenleiterströme: I1, I2, I3
Strangströme:
IR1 = I12, IR2 = I23, IR3 = I31
Für die Spannungen (Nennspannung) gilt:
U31 = U12 = U23 = U = 400 V
Für die Spannungen erhalten
wir folgendes „Spannungsdreieck“:
In den drei „Knoten“ gilt nach
der Kirchhoff’schen Knotenregel:
Bei symmetrischer Last sind alle Strangströme gleich groß: I31 = I12 = I23 = IStr !
Die Strangströme sind immer kleiner als die Leiterströme!
Für den Zusammenhang zwischen Strang- und Leiterströmen ist folgendes von
Bedeutung:
 Die Summe der Außenleiterströme MUSS Null sein
(Es ist ja kein „Rückleiter“ vorhanden)!
 Die Außenleiterströme sind gleich: I1 = I2 = I3 !
 Die Außenleiterströme setzen sich aus den Strangströmen gem. Kirchhoff-Regel
zusammen!
Im Zeigerbild sieht es wie folgt aus:
Formeln für die Dreieckschaltung:
IStr 
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I
3
UStr  U
Zum Vergleich: Sternschaltung:
UStr 
U
3
IStr  I
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Vergleich: Leistungen bei Stern- und Dreieckschaltung:
Generell berechnet man die Gesamtleistung in einer Drehstromschaltung immer mit:
Pges = 3 * PStr
mit
PStr = UStr * IStr
Für die Stranggrößen muss man jetzt nur noch die Größen der jeweiligen Schaltung
einsetzen:
Formeln für die Dreieckschaltung:
IStr 
I
3
UStr  U
Formeln für die Sternschaltung:
UStr 
Dies führte bei der Sternschaltung zu folgender Formel: Pges =
U
3
IStr  I
3 *U*I
Berechnen wir nun die Gesamtleistung in der Dreieckschaltung:
Erstaunt stellen wir fest, dass genau die gleiche Formel rauskommt!?
Bedeutet dies, dass beide Schaltung identisch sind?
Wozu bräuchte man dann zwei Schaltungen?
Behauptung:
Bei gleicher Spannung nimmt ein Drehstromverbraucher in Dreieckschaltung dreimal
soviel Leistung auf wie in Sternschaltung!
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4. Übungsaufgaben zur Stern- und Dreieckschaltung (symmetrisch)
Hinweise:
Die Nennspannung im Drehstromnetz ist 400 V /
230 V. Strom- und Spannungsangaben sind
üblicherweise Außenleitergrößen!
Formeln für die Dreieckschaltung:
IStr 
I
3
U1
Orientierung
der Spannungen:
U3
Formeln für die Sternschaltung:
UStr  U
UStr 
U
3
U2
IStr  I
1. Die Heizwiderstände eines Heißwasserspeichers sind im Stern geschaltet.
Beim Anschluß ans Drehstromnetz nimmt das Gerät einen Strom von I = 9,1 A auf.
a) Wie groß sind Strangstrom und Strangspannung?
b) Berechnen Sie die Strangleistung und die Gesamtleistung!
c) Welche Sicherung wäre nötig, wenn ein Heißwasserspeicher mit der gleichen
Leistung am Wechselspannungsnetz (230 V) betrieben werden sollte?
2. Ein Nachtspeicherofen nimmt in Sternschaltung einen Strom von 6 A auf.
a) Wie groß ist die Leistung eines Stranges?
b) Wie groß ist die Gesamtleistung des Ofens?
3. Ein Härteofen nimmt in Sternschaltung eine Leistung von 12 kW auf.
a) Wie groß sind: Außenleiterstrom und Strangspannung?
b) Berechnen Sie den Strangwiderstand und die Strangleistung!
4. Eine Fußbodenheizung ist im Dreieck angeschlossen.
Der Widerstand eines Stranges beträgt 50 .
a) Wie groß sind: Strangstrom und Außenleiterstrom?
b) Wie groß sind Strangleistung und die Gesamtleistung ?
c) Wie groß werden Strang- und Gesamtleistung, wenn die Heizung im Stern
angeschlossen wird?
5. Drei Heizwiderstände mit je 44  sind über einen Stern - Dreieckschalter ans
Drehstromnetz angeschlossen. Berechnen Sie für beide Schaltungen:
Strang- und Außenleiterspannung, Strang- und Außenleiterstrom, Strang- und
Gesamtleistung !
6. Die drei Widerstände eines Backofens haben je 32  und sind im Stern geschaltet.
a) Berechnen Sie alle Ströme, alle Spannungen und alle Leistungen!
b) Berechnen Sie alle Größen, wenn die Widerstände im Dreieck angeschlosssen
werden!
Lösungen (ohne Gewähr):
1. a) 9,1 A
230 V
2. a) 1,38 kW b) 4,1 kW
3. a) 17,4 A
230 V
4. a) 8 A
13,86 A
5. 230V/400V 5,2A / 5,2A
6. a)
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1 b) 2,1 kW
6,3 kW
>= 27,4 A
b) 13,3 
b) 3,2 kW
1,2 kW
4 kW
9,6 kW
400V/400V
c) 1066 W
9A / 15,6 A
3,2 kW
3,63 kW
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5. Unsymmetrische Last bei einer Sternschaltung
Gegeben ist ein Vierleitersystem mit ungleichen Verbrauchern in Sternschaltung.
Für die Ströme gilt:
IR1 = 10 A
IR2 = 6 A
IR3 = 2 A
Die Nennspannung ist 400 V / 230 V.
(Die Symbole in den Außenleitern sind
Sicherungen!)
U1
Orientierung
der Spannungen:
U3
U2
Aufgrund der unterschiedlichen Verbraucher wird hier die Summe der Ströme nicht Null
sein!
Es ist klar, daß der Neutralleiter dringend benötigt wird, da jetzt ein Strom IN fließt.
Zeigerdiagramm der Ströme und
Ermittlung des Stromes IN:
(Ergebnis: IN = 7 A)
Was würde denn passieren, wenn der Neutralleiter nicht vorhanden wäre?
Bei konstanter Außenleiterspannung würde man jetzt aufgrund der unterschiedlichen
Verbraucher auch unterschiedliche Verbraucherspannungen (d. h. Strangspannungen)
erhalten.
Man sagt: „Der Sternpunkt verschiebt sich!“ Unterschiedliche Verbraucherspannungen
sind in Niederspannungsnetzen natürlich nicht erwünscht. Niederspannungsnetze sind
somit immer als Vierleiternetze ausgelegt. (Forderung der EVU’s: UN <= 50 V!)
Rechenbeispiel: Unsymmetrische Last bei komplexen Verbrauchern
Es gilt:
I1 = 10 A
I2 = 7 A
I3 = 5 A
cos  = 1
cos  = 0,8 (induktiv)
cos  = 0,7 (kapazitiv)
Wie groß ist der Strom im Neutralleiter und welche Phasenlage hat er gegenüber I 1 ?
(Lösung: IN = 2 A, I1,IN = 130°, I1 eilt vor!)
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6. Übungsaufgaben zur Stern- und Dreieckschaltung (unsymm.)
Hinweise: Die Nennspannung im Drehstromnetz ist 400 V / 230 V.
Strom- und Spannungsangaben sind üblicherweise Außenleitergrößen!
1. Ein (unsymmetrischer) Drehstromverbraucher ist im Stern geschaltet.
In der Zuleitung fließen folgende Ströme:
I1 = 12 A
I2 = 8 A
I3 = 6 A
a) Wie groß ist der Strom im Neutralleiter ?
b) Berechnen Sie die Leistungen in den einzelnen Strängen!
c) Wie groß ist die Gesamtleistung?
2. Ein Drehstromverbraucher besteht aus Widerstand, Kondensator und realer Spule.
Die Betriebsmittel sind im Stern geschaltet und haben folgende Werte:
R = 500 
zwischen L1 und N
C = 6,4 µF
zwischen L2 und N
L = 1 H, Rv = 300 
zwischen L3 und N
a) Wie groß sind die Ströme in den Außenleitern?
b) Ermitteln Sie den Strom im Mittelleiter !
3. Die Installation eines Wohnhauses ist wie folgt auf das Drehstromnetz verteilt:
 zwischen L1 und N: Ein Lichtstromkreis mit insgesamt 690 W
 zwischen L2 und N: Ein Steckdosenkreis mit 3,22 kW
 zwischen L3 und N: Ein kombinierter Licht-Steckdosenkreis mit 2,3 kW
 ein Drehstrommotor in Sternschaltung mit 2,3 kW und einem cos von 0,83
 ein Elektroherd in Sternschaltung;
die Leistung von 7,5 kW verteilt sich gleichmäßig auf die Außenleiter
 ein Durchlauferhitzer in Dreieckschaltung mit 18 kW.
a) Ermitteln Sie die Ströme in den Außenleitern bei voller Belastung !
(Maßstab: 1 A = 2 mm)
b) Wie groß ist der Betrag des Stromes im Neutralleiter?
c) Wie groß ist die Phasenlage von IN gegenüber U1 ?
Lösungen (Abweichungen aufgrund von Rundungsfehlern oder zeichnerischer
Ungenauigkeit sind möglich):
1. a) 5,2 A
2. I1 = 0,46 A
1 = 0°
3. a) IL1 = 43,5 A
1 = 3° (ind.)
b) IN = 10 A
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b) P1 = 2,76 kW
I2 = 0,46 A
2 = 90°
IL2 = 54 A
2 = 2° (ind.)
c) IN, U1 = - 180°
P2 = 1,84 kW
I3 = 0,53 A
3 = 46,3°
IL3 = 51 A
3 = 2° (ind.)
b) P3 = 1,38 kW
IN = 1,05 A
 IN,U1N = + 15°
c) Pges = 5,98 kW
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7. Die Ströme in der Dreieckschaltung
(symmetrisch und unsymmetrisch)
Zunächst betrachten wir nochmal eine symmetrische Dreieckschaltung: (R1 = R2 = R3)
Man weiß und sieht sofort:
 Ustr = U (400 V)
(Strangspannung =
Außenleiterspannung)
 Die Summe der
Außenleiterspannungen ist Null!
 Die Strangströme sind kleiner als die
Außenleiterströme!
 Die Summe der Außenleiterströme
MUSS Null sein (Es ist ja kein
„Rückleiter“ vorhanden)
Was gilt für den Zusammenhang zwischen Strang- und Außenleiterströmen?
Wie sieht das Zeigerbild aus?
Wie lauten die Kirchhoffregeln in den Knoten 1, 2 und 3?
Wie siehts nun bei einer unsymmetrischen Dreieckschaltung (ungleiche Verbraucher)
aus?
Welche Regeln von der symmetrischen Schaltung sind weiterhin gültig?
 Ustr = U (400 V) (Strangspannung = Außenleiterspannung) (wie oben!)
 Die Summe der Außenleiterspannungen ist Null!
 Die Strangströme sind kleiner als die Außenleiterströme!
ABER: Die Strangströme sind natürlich nicht mehr gleich!
 Die Summe der Außenleiterströme MUSS weiterhin Null sein
(Es ist ja immer noch kein „Rückleiter“ vorhanden)
Die Außenleiterströme sind allerdings nicht mehr gleich!
Lösungsweg:
1. Die drei Strangströme berechnen mit IStr = UStr / RStr
2. Die drei Strangströme um 120° versetzt zeichnen!
3. Die Enden verbinden, man erhält ein schiefwinkliges Dreieck und kann die
unterschiedlich großen Außenleiterströme ablesen
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8. Fehlerfälle bei Stern- und Dreieckschaltung
Gegeben ist eine symmetrische
Sternschaltung:
Fall 1:
Die Sicherung im Außenleiter L1 brennt durch!
 Wie ändern sich die Ströme I2, I3 und IN ?
 Welche Wert nimmt die Gesamtleistung an?
Fall 2:
Die Sicherungen in den Außenleitern L2 und L3
brennen durch!
 Wie ändern sich die Ströme I1 und IN ?
 Welchen Wert nimmt die Gesamtleistung an?
Gegeben ist eine symmetrische
Dreieckschaltung:
Fall 3:
Die Sicherung im Außenleiter L1 brennt durch!
 Wie ändern sich die Außenleiterströme
I2 und I3 ?
 Welchen Wert nimmt die Gesamtleistung an?
Fall 4:
Der Widerstand R3 brennt durch!
 Wie ändern sich die Ströme ?
 Welchen Wert nimmt die
Gesamtleistung an?
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9. Übungsaufgaben zu komplexen Drehstromschaltungen (Dreieck)
Aufgabe 1
Gegeben ist eine unsymmetrisch belastete
Dreieckschaltung im Drehstromnetz 400V /
230V. Es gilt:
R1 = 10 
R2 = 20 
R3 = 40 
a) Berechnen Sie die Strangströme!
b) Berechnen Sie die Gesamtleistung!
c) Ermitteln Sie die Außenleiterströme!
Aufgabe 2
Gegeben ist eine unsymmetrisch belastete Dreieckschaltung im Drehstromnetz 400V /
230V.
Es gilt: R1 = 10  XL2 = 20  XC3 = 40 
a)
b)
Berechnen Sie die Strangströme und geben Sie die Winkel an!
Ermitteln Sie die Außenleiterströme!
Aufgabe 3
In einem Drehstromnetz verursacht ein Verbraucher Z12, der zwischen L1 und L2
angeschlossen ist, eine Phasenverschiebung von 6,6  kapazitiv. Die Stromstärke wird zu
10 A gemessen.
Durch den Verbraucher Z31 zwischen L3 und L1 wird bei 8 A eine Phasenverschiebung von
30  induktiv hervorgerufen.
Zwischen L2 und L3 liegt ein (zweipoliger) Motor (Z23). Es fließt ein Strom von 5,8 A bei
einem Winkel von 48  induktiv.
a) Skizzieren Sie die Schaltung und bezeichnen Sie alle Ströme und Spannungen!
Um welche Grundschaltung handelt es sich?
b) Zeichnen Sie das Zeigerbild der Ströme!
c)
Welchen Verbraucher muss man parallel zu Z31 schalten, damit die
Außenleiterströme gleich groß werden (gleich I3)? Geben Sie Stromstärke und
Phasenwinkel an!
Lösungen (Abweichungen aufgrund. unterschiedlicher Lösungswege sind möglich!):
1 a)
1 b)
1 c)
2 a)
2 b)
D:\579897662.doc
IStr1 = 40 A
PStr1 =
I1 =
IStr1 = 40 A
1 =
I1 = 49 A
IStr2 = 20 A
PStr2 =
I2 =
IStr2 = 20 A
2 =
I2 = 58 A
IStr3 = 10 A
PStr3 =
I3 =
IStr3 = 10 A
3 =
I3 = 17 A
Pges =
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