Himmelsmechanik / Gezeiten

Einführung in die
Astronomie und Astrophysik I
Teil 5
Jochen Liske
Hamburger Sternwarte
[email protected]
Themen
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Einstieg: Was ist Astrophysik?
Koordinatensysteme
Astronomische Zeitrechnung
Sonnensystem
Die Keplerschen Gesetze
Himmelsmechanik
Gezeiten und Finsternisse
Strahlung
Teleskope
Sternaufbau
Sternentstehung
Sternentwicklung
Sternhaufen
Interstellare Materie
Die Exoten: Neutronensterne und Schwarze Löcher
Die Newtonschen Gesetze
1. Trägheitsprinzip: Kräftefreie Bewegung  geradlinige
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
2. Bewegungsgleichung:
3. Actio = Reactio:
Das Newtonschen Gravitationsgesetz
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Die Kraft zwischen zwei punktförmigen Körpern der Mass
m1 und m2 ist gegeben durch:

r = Verbindungvektor zwischen m1 und m2
G = Gravitationskonstante = 6.67259 x 10-11 m3 / kg / s2

Die Keplerschen Gesetze
1. Die Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne ist eine
Ellipse mit der Sonne in einem der Brennpunkte.
2. Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in
gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3. P2 ~ a3
Die Keplerschen Gesetze
1. Die Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne ist eine
Ellipse mit der Sonne in einem der Brennpunkte.
2. Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in
gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3. P2 ~ a3
Ellipse
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Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe ihrer
Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten (F1, F2) gleich
einer gegebenen Konstante ist.
Ellipsengleichung:
a, b = große, kleine Halbachse
p = Halbparameter = b2 / a
F1, F2 = Brennpunkte
e = lineare Exzentrität = (a2 – b2)1/2
ε = numerische Exzentrizität = e / a
Periapsisdistanz = a (1 – ε)
 Polargleichung (bzgl. Brennpunkt):
Apoapsisdistanz = a (1 + ε)
ε
Ellipse
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Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe ihrer
Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten (F1, F2) gleich
einer gegebenen Konstante ist.
Ellipsengleichung:
a, b = große, kleine Halbachse
p = Halbparameter = b2 / a
F1, F2 = Brennpunkte
e = lineare Exzentrität = (a2 – b2)1/2
ε = numerische Exzentrizität = e / a
Periapsisdistanz = a (1 – ε)
 Polargleichung (bzgl. Brennpunkt):
Apoapsisdistanz = a (1 + ε)
ε
Bahnbestimmung
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6 Bahnelemente:
 Form der Ellipse
• a, ε
 Lage der Ellipse
• Inklination i, Länge des
aufsteigenden Knotens ,
Argument der Periapsis 
 Zeitbezug
• Zeitpunkt des
Periapsisdurchgangs t
Für eine vollständige
Bahnbestimmung warden 6
Datenpunkte benötigt, z.B. r, v
oder r1, r2
Kreisbahngeschwindigkeit
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ε = 0: 2. Kepler  konstante Umlaufgeschwindigkeit
3. Kepler:
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Für die Kreisbahn gilt:


Kreisbahngeschwindigkeit
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Rotation um Erde an der Oberfläche (1. kosmische
Geschwindigkeit):
v1 = 7.9 km/s
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Zum Vergleich: Erdrotation: 0.46 km/s

Mittlere Bahngeschwindigkeit der Erde:
vc= 29.8 km/s = 107 x 103 km/h
Fluchtgeschwindigkeit
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Aus Energieerhaltung: E(0) = E() = 0



= 21/2 v1
Erde: v2 = 11.2 km/s
Fluchtgeschwindigkeit
Fluchtgeschwindigkeit
Fluchtgeschwindigkeit
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Sonne:
Erde:
Mond:
Merkur:
Venus:

Wichtig für die Existenz von Atmosphären!
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618 km/s
11.2 km/s
2.4 km/s
4.2 km/s
10.3 km/s
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Mars:
Jupiter:
Saturn:
Uranus:
Neptun:
5 km/s
61 km/s
37 km/s
22 km/s
25 km/s
Bahnen der Planeten
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Abstände Sonne-Planet: Titus-Bode-Reihe (18. Jh.):
a = 0.4 + 0.3 x 2n AU

n = −  Merkur
0
 Venus
1
 Erde
2
 Mars
...
Keine physikalische Begründung!
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Gute Abschätzung, Fehler im %-Bereich
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Historische Bedeutung:
Entdeckung von Ceres (1801) und Pluto (1930)

Bahnen der Planeten
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Merkur:
Venus:
Erde:
Mars:
Ceres:
Jupiter:
Saturn:
Uranus:
Neptun:
Pluto:
0.4 AU
0.7 AU
1.0 AU
1.5 AU
2.7 AU
5.2 AU
9.6 AU
19.2 AU
30.0 AU
39.5 AU
Titus-Bode: 0.4 AU, n = −
0.7 AU, n = 0
1.0 AU, n = 1
1.6 AU, n = 2
2.8 AU, n = 3
5.2 AU, n = 4
10 AU, n = 5
19.6 AU, n = 6
?
38.8 AU, n = 7
Vielteilchensysteme
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Keplerbahnen (= analytische Lösung) nur möglich durch
Beschränkung auf Zweikörpersystem
Vielteilchensystem:
Keine allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung möglich
Allerdings:
 Numerische Integration
 Sonderfälle mit exakter Lösung (Dreikörpersysteme):
• m1, m2, m3 auf Gerade, Rotation um Schwerpunkt
• m1, m2, m3 = gleichseitiges Dreieck
• m1 << m2, m3


Störungsrechnung
Virialsatz
Sonderfall mit exakter Lösung

Dreikörpersystem, m3 << m1, m2 (zB Satellit)
Störung der Keplerbahnen
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Durch Einfluss der anderen Planeten
(Vielteilchensystem)
Klein, aber mit Störungsrechnung gut
berechenbar  Drehung der Bahn
innerhalb der Bahnebene
(Periheldrehung)
Unterschiedliche Vorhersagen:
Newton vs. Allgemeine
Relativitätstheorie
Periheldrehung des Merkus 
Bestätigung der ART
Virialsatz
Virialsatz
Virialsatz
Gezeiten
Gezeiten
Gezeiten
Gezeiten

Welcher Körper verursacht auf der Erde stärkere Gezeitenkräfte:
Sonne oder Mond?
Gezeiten
Credit: V. Froer