Die Bewegungen der Planeten – Grundlagen

Die Bewegungen der Planeten – Grundlagen
Die Epizykeltheorie des Ptolemäus – der Planet (gelb) kreist nicht nur auf seiner Sphäre um die Erde,
sondern auch noch um seinen „Aufhängepunkt“
In der Antike hatten die Menschen viel Zeit und Ruhe, den Sternhimmel zu beobachten.
Anfangs geschah dies wohl aus Faszination, bald aber wohl auch aus dem Glauben, daraus
ließen sich Hinweise für Geschehnisse und politische Entscheidungen ableiten. Damals
waren Astronomie und Astrologie noch verquickt.
Jedenfalls fiel den Menschen schnell auf, dass sich zwischen den „normalen“ Sternen, die
(scheinbar) unveränderlich fest am Himmel stehen (den „Fixsternen“), noch andere Sterne
befinden, die ständig auf Wanderschaft sind. Schon nach wenigen Wochen oder gar Tagen
stehen sie an einer merklich anderen Stelle zwischen den anderen Sternen und machen
dabei eigenartige Bewegungen. Dabei sind sie, wie gesagt, auch noch auffallend hell, so daß
man sie schlecht übersehen kann. Das heizte die Astrologie natürlich noch zusätzlich an:
Könnten diese eigenartigen Himmelskörper irdische Ereignisse beeinflussen? Oder sind es
gar Boten der Götter, die uns durch sie etwas mitteilen möchten?
Der Alexandriner Wissenschaftler Ptolemäus war der erste, der diese „Wandelsterne“ (das
deutsche Wort gibt es!) als „Planeten“ bezeichnete, was in seiner Sprache so viel wie
„Wanderer“ oder gar „Herumtreiber“ bedeutet, und so nennen wir sie heute noch.
Ptolemäus konstruierte auch eine Welten-Theorie, die bis in die Neuzeit hinein allgemein
anerkannt war. Darin sind die Planeten auf Kristall-Hohlkugeln, den sogenannten
Sphären, befestigt, die um die Erde rotieren. Dagegen sprach allerdings die Beobachtung,
daß die Bewegung der Planeten nicht gleichmäßig ist: mal werden sie schneller, dann
wieder langsamer, ab und zu gehen sie sogar rückwärts, drehen also Schleifen und
Zickzacklinien am Himmel. Wie kommt das – eiern die Sphären etwa?
Ptolemäus fand auch dafür eine mögliche Erklärung: Die Planeten seien an den Sphären
nicht fest angebracht, sondern machten zusätzlich zu ihrem Umlauf um die Erde noch
einen weiteren, kleinen Umlauf um den Befestigungspunkt an der Sphäre. Diesen
kleineren Umlauf nannte er Epizykel . Um die Beobachtungen erklären zu können, mußte
er sehr viele dieser Epizykel einführen, und so ganz das Wahre schien das immer noch
nicht zu sein.
Alles dreht sich um die Sonne
Erst der polnische Astronom Nikolaus Kopernik (1473–1543), auch Kopernikus genannt,
erkannte nach intensiven Beobachtungen eine Tatsache, die heute jedes Kind weiß: Nicht
die Planeten samt Sonne kreisen um die Erde, sondern die Erde und alle Planeten kreisen
um die Sonne.
Das war ein Schock für die damalige Weltanschauung, denn es bedeutete, dass die Erde
nicht, wie man selbstverständlich angenommen hatte, der Mittelpunkt der Welt war,
sondern nur ein Planet unter anderen Planeten. Verständlich, dass die Kirche als
Beherrscherin der Weltanschauung sich damit schwer tat; viele hervorragende
Wissenschaftler wie zum Beispiel Galileo Galilei mussten ihre richtigen Beobachtungen
und Schlussfolgerungen unter Zwang verleugnen oder dafür büßen.
Doch Wahrheit setzt sich gewöhnlich durch. Der Schwabe Johannes Kepler (1571–1630),
seinerzeit kaiserlicher Hofastronom zu Prag, vervollständigte die Gedanken Kopernikus’,
indem er erkannte, dass die Planeten die Sonne nicht auf kreisförmigen, sondern auf
elliptischen Bahnen umrunden („umkreisen“ kann man nun nicht mehr sagen!) und dabei
je nach momentaner Sonnenentfernung schneller bzw. langsamer werden. Und, o Wunder:
diese Erkenntnis erklärte auf einen Schlag all die komplizierten Bewegungen der Planeten,
die man zuvor mit zahlreichen Epizykeln und ähnlichen Spezialitäten vergeblich zu
erklären versucht hatte.
Ellipsen
Eine Ellipse mit den Brennpunkten F1,F2 und drei beliebigen Punkten P1,P2,P3. Die roten, blauen und
grünen Gesamtlängen sind gleich groß und entsprechen genau der „Breite“ der Ellipse.
Eine Ellipse sieht aus wie ein plattgedrückter Kreis (siehe Bild). Statt eines Mittelpunktes
hat sie zwei sogenannte Brennpunkte, wobei die Summe der Abstände zu den beiden
Brennpunkten für jeden Punkt auf der Ellipse gleich ist und gleichzeitig der Großen Achse
entspricht, dem „breitesten Durchmesser“ der Ellipse.
Die Plattheit einer Ellipse drückt man in der Astronomie durch die numerische
Exzentrizität ε aus. Das ist der Abstand der Brennpunkte geteilt durch die Große Achse.
Wenn beide Brennpunkte zusammenfallen (Abstand Null), ist ε auch Null und man hat
einen Kreis. Ellipsen haben ε-Werte zwischen 0 und 1, danach kommen Parabeln und
Hyperbeln.
Die Ellipse im Bild ist mit ε = 0,6 schon sehr platt; einige Kleinplaneten und Kometen
haben solche Bahnen. Die Bahnen der Planeten sind viel näher an der Kreisform. Die
Brennpunkte der Erdbahn zum Beispiel (ε ≈ 0,0167) sind gerade mal fünf Millionen km
voneinander entfernt, das ist ein Sechzigstel der Großen Achse oder dreieinhalb
Sonnendurchmesser.
Die Keplerschen Gesetze
Kepler stellte von 1609 bis 1619 drei Gesetze für die Bewegungen der Planeten auf, die
grundsätzlich1 heute noch gültig sind:
1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne
steht.
2. Die Verbindungslinie zwischen Sonne und Planet überstreicht in gleichen Zeiten
gleichgroße Flächen.
Die momentane Bahngeschwindigkeit eines Planeten ist also umgekehrt proportional zu
seiner momentanen Sonnen-Entfernung.
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten stehen im selben Verhältnis wie die
dritten Potenzen ihrer mittleren Sonnen-Entfernungen.
Beispiel: Ein Planet, der im Durchschnitt drei Mal so weit von der Sonne entfernt ist wie
ein anderer, benötigt für einen Umlauf die 5,2-fache Zeit (33 = 5,22 )
Kepler hatte noch keine Ahnung vom Gravitationsgesetz, das erst 1687 von Newton
formuliert wurde. Er hatte also noch keine exakte Vorstellung davon, was die Anziehung
zwischen Sonne und Planeten beeinflusst. Seine erstaunlich präzisen Gesetze beruhen nur
auf der Überzeugung, die Natur müsse mit ganz einfachen Regeln erfassbar sein, und auf
genauen Beobachtungen und Messungen, wobei ihm zustatten kam, dass sein Mentor und
Amtsvorgänger, der Däne Tycho Brahe (1546–1601) , den Lauf der Planeten, vor allem des
Mars, bereits sehr exakt beobachtet und dokumentiert hatte; Brahes Verdienst an Keplers
Entdeckungen darf nicht vergessen werden.
Übungsaufgaben
1. Mars ist im Mittel 227,9 Millionen km von der Sonne entfernt, die Erde 149,6
Millionen km. Wie viele Erdenjahre braucht Mars für einen Umlauf um die Sonne?
2. Uranus benötigt für einen Sonnenumlauf 84 Erdenjahre. Wie weit ist er im Mittel
von der Sonne entfernt?
3. Der Mond ist durchschnittlich 384 400 km vom Erdmittelpunkt entfernt und
umrundet die Erde in 27,3 Tagen. TV-Satelliten sind geostationär, d.h. ihre
Umlaufzeit beträgt genau 1 Tag, damit sie bei der Erdrotation immer an derselben
Stelle des Himmels stehen. Wie weit sind sie vom Erdmittelpunkt entfernt?
1 In der Nähe großer Massen, etwa der Sonne, treten zusätzlich noch relativistische Effekte
auf, die wir erst seit Einstein kennen. Das betrifft eigentlich nur den Planeten Merkur
merklich und ist auch so unbedeutend, dass Kepler nichts davon wissen konnte.
Das Gravitationsgesetz
Das Gravitationsgesetz als mathematische Formel (oben). FG ist die Gravitationskraft, γ ist die
Gravitationskonstante, r ist der Abstand der Schwerpunkte von m1 und m2
Der Engländer Isaac Newton (1643–1727) , seines Zeichens Mathematikprofessor zu
Cambridge, erkannte das einfache Prinzip, dass alle Massen einander mit einer
geheimnisvollen Kraft anziehen. Angeblich musste ihm beim Mittagsschlaf an der frischen
Luft ein Apfel auf den Kopf fallen, um den Gedanken zu wecken, ob denn die
Anziehungskraft nicht nur von der Erde auf den Apfel wirke, sondern umgekehrt auch vom
Apfel auf die Erde. Ob das stimmt oder nicht, ist jetzt egal, jedenfalls formulierte Newton
das Gravitationsgesetz, das da lautet: Die Anziehungskraft zwischen zwei Körpern steht im
Verhältnis zum Produkt ihrer Massen und im umgekehrten Verhältnis zum Quadrat ihres
Abstandes zueinander. Dazu kommt nur noch eine Konstante, und fertig.
Endlich konnte man berechnen, was die Planeten auf ihrer Bahn hält. Es ist schlicht und
einfach ein ständiges Gleichgewicht von Anziehungs- und „Fliehkraft“. Das
Gravitationsgesetz bestätigt grundsätzlich die Keplerschen Gesetze, verfeinert sie aber
noch, indem es verlangt, dass die Massen der Planeten ebenfalls berücksichtigt werden.
Die Gravitation und die Keplerschen Gesetze
Für das 1. Gesetz heißt das, dass nicht nur der Planet die Sonne, sondern auch die Sonne
(auf einer ganz kleinen Ellipse) den Planeten umrundet – im Brennpunkt der Ellipse
(genauer: beider Ellipsen) steht nicht die Sonne, sondern der Schwerpunkt des SonnePlanet-Systems (das natürlich mit dem Sonnenmittelpunkt fast zusammenfällt).
Das 2. Gesetz lässt sich direkt aus dem Gravitationsgesetz errechnen: Wenn der Planet in
doppelter Sonnenentfernung steht, sinkt die Gravitation auf ein Viertel. Um die Fliehkraft
auch auf ein Viertel zu senken, muss sich seine Bahngeschwindigkeit halbieren, sonst
würde er nach außen weg fliegen.
„Gesteuert“ wird die Geschwindigkeit ebenfalls von der Gravitation:
 Wenn der Planet sich von der Sonne entfernt, wirkt die Gravitation „nach hinten“
und bremst ihn.
 Wenn der Planet sich der Sonne nähert, zieht ihn die Gravitation „nach vorn“ und
beschleunigt ihn.
Das 3. Gesetz gilt in Keplers einfacher Form strenggenommen nur für zwei gleich
schwere Planeten. Wer es genau haben will, muss die Quadrate der Umlaufzeiten noch mit
der Summe aus Sonnen- und jeweiliger Planetenmasse multiplizieren. Das macht aber
kaum einen Unterschied aus.
Nah und fern
Die elliptischen Umlaufbahnen der Planeten bewirken natürlich auch, dass der Abstand
eines Planeten zur Sonne nicht konstant ist, sondern sich fortwährend ändert.
 Bei größter Sonnenferne bewegt sich der Planet nach dem 2. Keplerschen Gesetz am
langsamsten. Diesen Punkt nennt man Aphel (gesprochen ap-hel) vom
griechischen „ap-helion“ = sonnenfern.
 Bei größter Sonnennähe bewegt sich der Planet am schnellsten. Diesen Punkt nennt
man Perihel.
Die Erde erreicht ihr Perihel Anfang Januar und ist dann 147,1 Millionen km von der
Sonne entfernt. Im Aphel, Anfang Juli, sind es 152,1 Millionen km. Mit den Jahreszeiten
hat das allerdings überhaupt nichts zu tun.
Aber die Bahngeschwindigkeit der Erde ändert sich, und deshalb geht eine einfache
Sonnenuhr im Laufe eines Jahres bis zu 16 Minuten gegenüber der „Durchschnittszeit“
falsch (das nennt man die Zeitgleichung ). Mal geht sie vor, mal geht sie nach. Richtig
raffinierte Sonnenuhren haben daher gekrümmte Schattenwerfer, die über die
Sonnenhöhe die Zeitgleichung ausgleichen.
Lösungen ''Keplersche Gesetze''
1. Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die dritten Potenzen der
Entfernungen. x sei die Umlaufzeit des Mars in Jahren, 1 ist die Umlaufzeit der Erde in
Jahren. Gleiche Einheiten kürzen sich bei Verhältnissen raus, daher können wir gleich
ohne rechnen.
x2 : 12 = 227,93 : 149,63 ⇔
x2 = 3,5354
Diese Gleichung hat zwei Lösungen: 1,88 und −1,88. Negative Umlaufzeiten gibt’s nicht,
also benötigt Mars für einen Sonnenumlauf 1,88 Jahre.
2. Rechnen wir mit Sonnenentfernungen in Millionen km und Umlaufzeiten in Jahren,
dann gilt:
x3 : 149,63 = 842 : 12 ⇔
x3 = 842 · 149,63 ⇔
x3 = 2,3624 · 1010 ⇔
x = 2869,4
Uranus ist rund 2.870 Millionen km von der Sonne entfernt, fast 20mal so weit wie die
Erde.
3.
x3 : 384 4003 = 12 : 27,32 ⇔
x3 = 384 4003 : 27,32 ⇔
x3 = 7,6212 · 1013 ⇔
x = 42398.
Dabei ist die Differenz zwischen Satelliten- und Mondmasse noch nicht berücksichtigt: der
genaue Wert ist 42 245,7 km. Subtrahiert man davon den Erdradius (6378 km), dann steht
der Satellit knapp 36000 km über der Erdoberfläche. Hin und zurück ergibt das immerhin
eine Signallaufzeit von einer Viertelsekunde bei Lichtgeschwindigkeit!