Grundlagen - Beispiele

Logik – Grundlagen - Beispiele
1
Der Marmeladendieb
Drei Verdächtige werden verhört. Einer davon hat sich an Großmutters Marmeladeglas zu schaffen gemacht.
Ihre Aussagen:
Peter: „Ich war es nicht!”
[#1]
Robert: „Ich war es nicht!”
[#2]
Thomas: „Peter war es!”
[#3]
Wenn nur genau eine der Aussagen wahr ist – wer ist der Schuldige?
Lösung:
Falls es Peter war:
[#1] falsch, [#2] richtig , [#3] richtig.
Falls es Robert war:
[#1] richtig, [#2] falsch, [#3] falsch.
Falls es Thomas war:
[#1] richtig, [#2] richtig, [#3] falsch.
Nur die zweite Möglichkeit enthält genau eine wahre Antwort – Robert war der Täter!
Welcher Wochentag ist heute?
Folgende Aussagen wurden gemacht:
A: „Heute ist Montag.”
B: „Heute ist Mittwoch.”
C: „Heute ist Dienstag.”
D: „Heute ist Donnerstag, Freitag, Samstag oder Sonntag.”
E: „Heute ist Freitag.”
F: „Heute ist Samstag.”
G: „Gestern war nicht Samstag.”
Es ist nur eine einzige Aussage wahr. Welcher Wochentag ist heute?
Lösung:
Entweder wir probieren alles durch: Falls heute Montag ist: Die Aussagen A und G sind richtig.
Falls heute Dienstag ist: Die Aussagen C und G sind richtig
… usw.
Falls heute Sonntag ist: Nur die Aussage D stimmt, also ist das die Lösung.
ODER wir schließen: falls nur eine Aussage richtig sein darf, müssen fast alle falsch sein. Das sind wohl die
speziellen Aussagen, wahrend eine allgemeine richtig sein kann. Das ist nur D. Nur der Sonntag kommt sonst
nirgends vor, also ist heute Sonntag.
Vampire und Menschen
In einem Dorf wohnen 100 Personen. Es sind Menschen, die immer die Wahrheit sagen und Vampire, die
immer lügen. Wir sprechen mit allen Einwohnern.
a) Der erste sagt: „Bei uns gibt es genau einen Vampir”. Der zweite sagt: „Bei uns gibt es genau zwei
Vampire”. Der dritte sagt: „Bei uns gibt es genau drei Vampire”. Und so weiter. Der hundertste sagt: „Bei uns
gibt es genau hundert Vampire”. Wie viele Vampire sind im Dorf?
a) Der erste sagt: „Bei uns gibt es mindestens einen Vampir”. Der zweite sagt: „Bei uns gibt es mindestens
zwei Vampire”. Der dritte sagt: „Bei uns gibt es mindestens drei Vampire”. Und so weiter. Der hundertste
sagt: „Bei uns gibt es mindestens hundert Vampire”. Wie viele Vampire sind im Dorf?
Lösung:
a) Da alle Aussagen einander widersprechen, kann (wenn überhaupt) nur eine einzige richtig sein.
Da 100-1=99, kann genau eine Aussage richtig sein, nämlich dass es genau 99 Vampire gibt. Diese Aussage ist wahr, alle anderen
sind gelogen. Es gibt demnach 99 Vampire und einen Menschen im Dorf.
b) Angenommen, es gibt V Vampire. Dann sind V Antworten richtig, diese wurden aber von den 100-V Menschen gemacht. Also
ist V = 100-V, es gibt 50 Vampire und 50 Menschen.
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hib-wien 2010
Logik – Grundlagen - Beispiele
2
Die drei Wächter
Du hast eine Abenteuerreise durch Mittelamerika gemacht, eine bisher unbekannte verborgene Pyramide
entdeckt und erkundet. Als Du die Pyramide wieder verlassen willst, versperren Dir drei furchterregende
Wächter – ein dicker, ein kleiner und ein großer – den Weg. Es handelt sich dabei um den Wächter des
Lebens, der immer die Wahrheit sagt, den Wächter des Todes, der immer lügt und den Wächter der
Pyramide, von Du nichts näheres weißt. Du darfst jedem Wächter eine Frage stellen. Danach musst Du
wissen, wer der Wächter des Lebens ist – sonst darfst Du die Pyramide nie mehr verlassen.
Du fragst den dicken Wächter: „Wie lautet der Name des großen Wächters?” und erhältst die Antwort „Er ist
der Wächter des Lebens.”
Du fragst den kleinen Wächter: „Wie lautet der Name des großen Wächters?” und erhältst die Antwort „Er
ist der Wächter des Todes.”
Du fragst den großen Wächter: „Wer bist du?” und erhältst die Antwort „Ich bin der Wächter der Pyramide.”
Wer ist wer?
Der dicke Wächter kann nicht der Wächter des Lebens sein, denn dieser könnte nicht lügen und jemanden anderen als Wächter
des Lebens bezeichnen.
Auch der große Wächter kann nicht der Wächter des Lebens sein, auch diese Aussage wäre gelogen.
Somit kann nur der kleine Wächter der Wächter des Lebens sein. Er bezeichnet den großen wahrheitsgemäß als Wächter des
Todes, der in seiner Aussage gelogen hat.
Der dicke Wächter ist der Wächter der Pyramide, er hat gelogen.
(Glücklicherweise hat der Pyramidendächer gelogen. Seine wahre Aussage „Er ist der Wächter des Todes” hätte uns nicht
weitergebracht. Forschungsprojekt: gibt es bessere Fragen, die auf jeden Fall funktionieren würden?)
Alte Mädchen
Anna, Betty, Carla, Carla und Eva haben herausgefunden, dass sie alle am selben Tag, doch in
unterschiedlichen Jahren, Geburtstag haben. Als sie wieder einmal darüber diskutieren, hörst Du folgende
Gesprächsteile.
[#1] Carla sagt zu Betty: „Ich bin neun Jahre älter als Eva.”
[#2] Eva sagt zu Betty: „Ich bin sieben Jahre älter als Anna.”
[#3] Anna sagt zu Betty: „Du bist um 70% älter als ich.”
[#4] Betty sagt zu Carla: „Eva ist jünger als du.”
[#5] Carla sagt zu Anna: „Ich bin zehn Jahre älter als du.”
[#6] Carla sagt zu Carla: „Unsere Altersdifferenz beträgt sechs Jahre.”
[#7] Carla sagt zu Anna: „Betty ist jünger als Carla.”
[#8] Betty sagt zu Carla: „Der Altersunterschied zwischen dir und Carla ist genauso groß wie der
zwischen Carla und Eva.”
Übrigens haben alle Damen eine merkwürdige Eigenheit: sprechen sie mit einer Älteren, dann sagen sie
immer die Wahrheit. Gegenüber einer Jüngeren lügen sie immer.
Wer ist wie alt?
Vielversprechend ist die Aussage 5: zwei Personen unterhalten sich über sich selbst. Keine weiteren Personen, über die wir nichts
wissen, sind involviert. Angenommen, Carla wäre, wie sie sagt, älter als Anna. Dann hätte sie im Gespräch mit einer Jüngeren die
Wahrheit gesagt. Das ist ein Widerspruch zur Angabe. Ist Carla jünger als Anna? Dann müsste sie die Wahrheit sagen, doch ist
ihre Aussage dann sicher falsch. Völlig unmöglich.
Was haben wir übersehen? Kann die Aussage vielleicht auch dann falsch sein, wenn Carla tatsächlich älter ist als Anna? Ja das ist
möglich – dann sind die 10 Jahre gelogen.
Folgerung: A<C , Unterschied nicht 10 Jahre.
#7 hier sprechen die selben Personen. Wir wissen, dass die Aussage falsch sein muss. Deshalb ist Betty nicht jünger als Carla.
Folgerung: D<B
In [#1] sprechen nun genau diese Damen Carla und Betty. Carla spricht zur Älteren, die Aussage ist wahr.
Folgerung: E<D , D=E+9
insgesamt A<C und E<D<B
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hib-wien 2010
Logik – Grundlagen - Beispiele
3
[#2] Eva spricht mit einer Ältere, sagt daher die Wahrheit.
Folgerung: A<E, E=A+7
insgesamt A<C und A<E<D<B
aus E=A+7 und D=E+9 folgt D=A+16
[#4] B sagt zu C : 'E<C'.
Wäre die Aussage gelogen, also für die Sprecherin B>C, so wäre in Wirklichkeit E>C. Dann lautete die Kette der Alter
A<C<E<D<B. Dann wäre [#6] wahr. Der Altersunterschied muss also C=D-6 bedeuten. Nun ist aber, wie wir bereits wissen,
E=D-9, es wäre E<C und das ist ein Widerspruch. Die Aussage [#4] muss wahr sein. B<C und E<C.
Folgerung: A<E<D<B<C
[#3] Anna behautet, dass Betty 70% älter sei als sie. Da wir A<B bereits wissen, ist die Aussage wahr.
Folgerung: B=1,7A
[#8] Betty erzählt Carla gegenüber die Wahrheit. |C-D|=|E-D|. Aus [#1] kennen wir den Unterschied, er beträgt 9. Wir rechnen
los: weil D<C ist C=D+9. Weil D=A+16, ist C=A+25.
Jetzt wird es mathematisch:
Aus D<B<C wird nun A+16<1,7A<A+25 oder 16<7/10A<25 oder 160<7A<250, wobei A durch 10 teilbar sein muss. Nur A=30
kommt hier in Frage.
Nun kennen wir alle Alter:
A=30, B=51, C=55, D=46, E=37.
Die fünf Häuser und ihre Bewohner (das Ur-Logical)
In fünf Häusern unterschiedlicher Farbe wohnen fünf Personen unterschiedlicher Nationalität. Sie alle
bevorzugen unterschiedliche Getränke, spielen unterschiedliche Instrumente und haben unterschiedliche
Haustiere.
[#1]
[#2]
[#3]
[#4]
[#5]
[#6]
[#7]
[#8]
[#9]
[#10]
[#11]
[#12]
[#13]
[#14]
[#15]
Der Engländer wohnt im roten Haus.
Der Schwede hat einen Hund.
Der Däne trinkt Tee.
Das grüne Haus steht links neben dem weißen.
Der Besitzer des grünen Hauses trinkt Kaffee.
Der Posaunenspieler züchtet Vögel.
Der Besitzer des gelben Hauses spielt Didgeridoo.
Der Mann im mittleren Haus trinkt Milch.
Der Norweger wohnt im Haus ganz links.
Der Gitarrist wohnt neben dem Katzenfreund.
Neben dem Didgeridoospieler wohnt der Pferdebesitzer.
Der Bratschist trinkt Bier.
Der Deutsche besitzt ein Piano.
Der Norweger wohnt neben dem blauen Haus.
Der Mann neben dem Gitarristen trinkt Wasser.
Wem gehört der Fisch?
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hib-wien 2010
Logik – Grundlagen - Beispiele
4
Zuerst die Aussagen die wir sofort eintragen können. Weil wir #9 kennen, können wir für #14 die Hausnummer eintragen.
Hinweis
#1
#2
#3
#5
#6
#7
#8
#9
#12
#13
Haus
3
1
Farbe
rot
grün
gelb
Nation
England Schweden Däne
Norwegen
Deutsch
Instrum.
Posaune
Didg
Bratsche
Piano
Getränk
Tee
Kaffee
Milch
Bier
Tier
Hund
Vögel
#14
2
blau
Die Nummern 4, 10, 11, 15 haben keinen absoluten Bezug.
Wir können jedoch sofort nach den Häusern sortieren. Von 1, 2 und 3 ist etwas bekannt.
Das grüne Haus aus [#4] kann nicht 1 sein, und 2 ist blau. Der grüne Besitzer trinkt nach [#5] Kaffee, er ist also nicht in Haus 3. Es
verbleiben die Möglichkeiten 4 und 5. Wenn aber laut [#4] das grüne Haus links von einem anderen steht, muss das die Hausnummer
4 sein. Für das weiße Haus bleibt dann 5. Dass der grüne Bewohner Kaffee trinkt, trage ich auch gleich ein.
Haus
1
2
3
4
5
Farbe
blau
grün
weiß
Nation Norwegen
Instrum.
Getränk
Milch
Kaffee
Tier
Der Engländer wohnt im roten Haus. Die einzige Nummer, wo beide entsprechenden Einträge fehlen, ist Haus 3. Damit muss Haus 1
das gelbe sein und sein Besitzer spielt Didgeridoo.
Haus
1
2
3
4
5
Farbe
gelb
blau
rot
grün
weiß
Nation Norwegen
England
Instrum.
Didg
Getränk
Milch
Kaffee
Tier
[#11] zeigt den Pferdebesitzer neben dem Didgeridoospieler. Er ist folglich in Haus 2.
Der Norweger trinkt keinen Tee (der Däne [#3] tut das) und kein Bier (Bratschist [#12]). Für ihn bleibt nur das Wasser.
Neben dem Wassertrinker, also in Haus 2, wird Gitarre gespielt (#15).
Der Bratschist trinkt Bier [#12]. Diese zwei Felder sind nur in Haus 5 noch frei.
Haus
1
2
3
4
5
Farbe
gelb
blau
rot
grün
weiß
Nation Norwegen
England
Instrum.
Didg
Gitarre
Bratsche
Getränk Wasser
Milch
Kaffee
Bier
Tier
Pferd
Die übrigen Informationen finden nun leicht Platz. Das fehlende Getränk ist der Tee, der vom Dänen [#3] getrunken wird: Haus 2.
Der Deutsche spielt Klavier [#13], das passt nur noch in Haus 4.
Wir können die fehlende Posaune und den fehlenden Schweden ergänzen.
Haus
1
2
3
4
5
Farbe
gelb
blau
rot
grün
weiß
Nation Norwegen Däne
England Deutsch Schwede
Instrum.
Didg
Gitarre Posaune Klavier Bratsche
Getränk Wasser
Tee
Milch
Kaffee
Bier
Tier
Pferd
Zuletzt zu den Tieren. Vogel zur Posaune [#6], Hund zum Schweden [#2], Die Katze neben dem Gitarristen [#10] findet in 1 den
Platz.
Haus
1
2
3
4
5
Farbe
gelb
blau
rot
grün
weiß
Nation Norwegen Däne
England Deutsch Schwede
Instrum.
Didg
Gitarre Posaune Klavier Bratsche
Getränk Wasser
Tee
Milch
Kaffee
Bier
Tier
Katze
Pferd
Vogel
Hund
Ein einziges Feld ist noch frei: Dem Deutschen gehört der Fisch.
[email protected]
hib-wien 2010