Folgen 2 - Calculemus

PLUS – Folgen
1.
2.*
Folgen fortsetzen
Folgen 1 – Lösungen & Tipps
Folgen fortsetzen!
a) ...
...
...
...
...
36
42
48
b) ...
...
...
...
...
27
32
37
c) ...
...
...
...
7,8
9
10,2
11,4
Folgen fortsetzen!
a) ...
...
...
...
...
853
876
899
b) ...
...
...
...
...
17,6
19,3
21
c) ...
...
...
...
...
...
13
0
15
-2
3.*
Überlege und erfinde... Natürlich weis ich nicht, was du dir überlegt und erfunden hast ...
4.
Fehlerhaft! In der Zahlenfolge hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Findest du ihn?
...
...
...
...
...
...
...
...
Verbessere!
5
9
13
17
21
25
29
33
Was vermutest du, wie es beim Rechnen zu dem Fehler kam? Notiere!
z.B. könnte ein (Flüchtigkeits-?)Fehler beim rechnerischen Überschreiten der 20 passiert sein.
5.
Bilder-Folge! Hier siehst du ihre ersten vier Bilder.
1
5
9
13
17
21
a) Zeichne das fünfte Bild.
b)* Beschreibe in Worten die Form (und Teilformen) der Bilder. Wie verändern sie sich?
z.B.





Es gibt ein zentrales Quadrat (-kästchen) in der Mitte
An jeder der vier (Quadrat-)Seiten setzt ein seitliches Rechteck an.
Im zweiten Bild ist dieses seitliche Rechteck 1 Kästchen lang.
Von Bild zu Bild wird jedes seitliche Rechteck um 1 Kästchen länger.
Im ersten Bild wären die seitlichen Rechtecke dann „0 Kästchen lang“
c) Aus wie vielen Kästchen bestehen die Bilder? Zähle nach und schreibe die Anzahl darunter.
d) Überlege aus wie vielen Kästchen vermutlich das sechste Bild besteht? Zeichne es zur Kontrolle!
1 zentrales Quadrat (Kästchen) + 4 seitlichen Rechtecken von 6 Kästchen Länge = 1 + 6*4 = 25
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
e)* Aus wie vielen Kästchen besteht vermutlich das hundertste Bild? Erläutere deine Antwort.
100. Bild
6.*
=>
1+ 99 × 4 = 397
Kästchen
Eine alte Geschichte! Auf einem Schachbrett liegen Reiskörner. Auf Feld Reis
dem 1. Feld liegt 1 Korn, auf dem 2. Feld liegen 2 Körner, auf dem 3. 1 1
2
2
Feld liegen 4 Körner usw. (= immer doppelt so viele Körner wie auf
3
4
dem vorherigen Feld). Lege eine übersichtliche Tabelle an. Wie viele
... ...
Reiskörner liegen auf dem letzten Feld? Wie schwer sind diese?
Feld
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
...
64
Reiskörner
1
2
4
8
16
32
64
128
256
...
263 = 9.223.372.036.864.775.808
So viele Reiskörner wären auf dem 64. d.h. dem letzten Feld
Wie schwer ist ein Reiskorn? Du kannst es nachwiegen mit einer Briefwage oder
im Internet nachschauen. Dort findest du Werte von 0,025g bis 0,03g pro Reiskorn.
9.223.372.036.864.775.808 * 0,03 g sind ca. 277 Mio. Tonnen
(277.000.000 Tonnen)
Zum Vergleich:
Ein afrikanischer Elefant(-enbulle) wiegt bis zu 5 Tonnen.
Die Jahreswelternte an Reis betrug 2011 ca. 429 Mio Tonnen)
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
Folgen 2 – Lösungen & Tipps
1.
Folgen fortsetzen!
a) ...
...
...
...
...
54
63
73
b) ...
...
...
...
...
49
58
67
c) ...
...
...
...
...
18,5
21
23,5
Wie lautet die 20igste Zahl?
180
(175)
2.*
(53,5)
Folgen fortsetzen!
a) ...
...
...
...
...
53
62
71
b) ...
...
...
65
129
257
...
...
Wie lautet die 20igste Zahl?
179
(1048577)
c) 256
128
...
...
...
...
4
2
1
1
2
1
4
æ 1 ö
ç
÷
è 2048 ø
3.*
Fehlerhaft! In der Zahlenfolge hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Findest du ihn?
...
...
...
...
...
...
...
...
Verbessere!
104 117 130 143 156 168 182 195
Was vermutest du, wie es beim Rechnen zu dem Fehler kam? Notiere!
z.B. „Zahlendreher“ – aus Versehen (?) die letzten beiden Ziffern vertauscht
4.
Bilder-Folge! Hier siehst du ihre ersten vier Bilder.
10
12
14
16
18
20
a) Zeichne das fünfte und sechste Bild dazu.
b)* Beschreibe in Worten die Form (und Teilformen) der Bilder. Wie verändern sie sich?
z.B.




Jeweils oben und unten ein liegendes Rechteck von der Länge 3 Kästchen.
Dazwischen jeweils links und recht ein stehendes Rechteck.
Die stehenden Rechtecke sind im ersten Bild ein Kästchen lang.
Sie werden von Bild zu Bild um jeweils ein Kästenchen länger.
c) Aus wie vielen Kästchen bestehen die Bilder? Zähle nach und schreibe die Anzahl darunter.
d) Überlege aus wie vielen Kästchen vermutlich das siebte Bild besteht? Zeichne es zur Kontrolle!
Die zwei 3er Rechtecke oben und unten + zwei stehen den Rechtecke mit 7 Kästchen Länge
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
= 2*3
+
2*7
=
20 Kästchen
e) * Aus wie vielen Kästchen besteht vermutlich das hundertste Bild? Erläutere deine Antwort.
100. Bild
1.
=>
2 ×3+ 2 ×100 = 206
Kästchen
Münzturm umsetzen! Zeichne auf einem Blatt Papier drei Punkte. Besorge dir fünf
verschieden großen Münzen. Baue einen - schmaler
Mün Züge
werdenden - Münzturm auf dem linken Punkt.
en
a) Versuche den Münzturm auf den rechten Punkt
1
umzusetzen. Du darfst aber...
2
3
... immer nur eine Münze gleichzeitig umsetzen und
4
... nie eine größere auf eine kleinere Münze setzen.
b)* Wie viele Züge brauchst du mindestens für das Umsetzen ...
von 1, 2, 3, 4, 5, 6... Münzen. Ergänze die Tabelle!
Münzen
1
2
3
4
5
6
7
8
Züge
1
3
7
15
31
63
127
255
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
Folgen formulieren
Folgen 3 – Lösungen & Tipps
1.
Folgen... fortsetzen und formulieren! Beschreibe jeweils Anfangszahl und Veränderung.
a) ...
...
...
...
...
24
28
32
Die Anfangszahl ist 4. Von Schritt zu Schritt vergrößern sich die Zahlen um 4.
b) ...
...
...
...
...
25
29
33
Die Anfangszahl ist 5. Von Schritt zu Schritt vergrößern sich die Zahlen um 4.
c) ...
...
...
...
...
799 793 787
Die Anfangszahl ist 829. Von Schritt zu Schritt vermindern sich die Zahlen um 6.
2.*
Folgen... fortsetzen und formulieren! Beschreibe jeweils Anfangszahl und Veränderung.
a) ...
...
...
...
...
1447 1474 1501
Die Anfangszahl ist 1312. Von Schritt zu Schritt verändern sich die Zahlen um +27
b) ...
...
...
...
...
35,7 23,4 11,1
Die Anfangszahl ist 97,2. Von Schritt zu Schritt verändern sich die Zahlen um -12,3
c) ...
...
121,5 180,75
271,125
...406,6875
(statt 120,5 Vorsicht - Angabefehler)
z.B.: Die Anfangszahl ist 24. Von Schritt zu Schritt kommt immer die Hälfte der vorherigen
Zahl / Schritt hinzu.
z.B.: Die Anfangszahl ist 24. Von Schritt zu Schritt vervielfacht sich die Zahl immer um das
1,5-fache
3.
...
...
Bilder-Folge! Hier siehst du die ersten drei Bilder.
10
14
18
26
a) Zeichne das vierte Bild dazu.
b)
c) Beschreibe in Worten die Form (und Teilformen) der Bilder. Wie verändern sie sich?
z.B.:

Die Figur hat eine T-Form.

Oben ein liegendes Rechteck, darunter ein stehendes Rechteck.

Beide Rechtecke sind jeweils gleichgroß

Die Rechtecke im ersten Bild sind drei Kästchen lang.

Von Bild zu Bild wachsen die Rechtecke jeweils um 2 Kästchen.
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
d) Aus wie vielen Kästchen bestehen die Bilder? Zähle nach und schreibe die Anzahl darunter.
e)* Überlege aus wie vielen Kästchen vermutlich das sechste Bild besteht? Zeichne es zur Kontrolle!
z.B.: Jedes der Rechtecke besteht aus 13 Rechtecken, weil ...
zweimal 4 Kästchen mehr als beim vor-vorherigen Bild (dort waren es 9 Kästchen) oder
die Anfangskästchen drei sind und bis zum 6. Bild 5mal vergrößert wurde um +2 d.h. 3 + 5*2 =
13
Es sind zwei gleichgroße Rechtecke 13 * 2 = 26
f) Aus wie vielen Kästchen besteht vermutlich das tausendste Bild? Erläutere deine Antwort!
100. Bild => zwei Rechtecke mit jeweils (Anfangszahl + 999mal um 2 Kästchen vergrößert)
2 * ( 3 + 999 * 2 ) = 4002 Kästchen
4.*
5.*
Erfinde... eine „schöne“ Bilder-Folge!
Zeichne die ersten Bilder (Extrablatt). Formuliere dazu interessante Aufgabenstellungen (vgl. Nr.
3). Lass dir ruhig was einfallen! Gib deine Bilder-Folge an deine KlassenkameradInnen weiter...
Zum Knobeln!1 Mit dem dunklen Dominostein kannst du genau zwei Felder des
Schachbretts abdecken.
a) Zeichne dir das Schachbrett auf ein kariertes Blatt. Bastle dir mit
kariertem Papier und einer Schere insgesamt 28 Dominosteine.
Beachte: Ein Dominostein soll genau zwei Felder abdecken.
b) Nimm deine 28 Dominosteine. Lege sie so auf das Schachbrett,
dass sich kein einziger Dominostein mehr verschieben lässt. Das
geht wirklich! Nur... wie?
Tipp 1: Die gleichmäßige Form des Schachbrette lässt eine sehr symmetrische Anordnung der
Dominosteine vermuten.
Tipp 2: Es gibt eine Lösung, bei der vier Dominosteine in der Mitte liegen, wie es
das Bild zeigt. Die vier Dominosteine bilden in diesem Sinne ein
Symmetriezentrum.
Tipp 3: Wieviel Schachfelder müssen eigentlich frei bleiben?
1
Diese wunderbare Knobelaufgabe habe ich bei Richard Mischak kennen gelernt (www.zahlenjagd.de).
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
Folgen 4 – Lösungen & Tipps
1.
Folgen... fortsetzen und formulieren! Beschreibe jeweils Anfangszahl und Veränderung.
a) ...
...
...
...
...
48
56
64
z.B.: 8er Reihe oder
z.B.: Die Anfangszahl ist 8. Von Schritt zu Schritt vergrößern sich die Zahlen um 8.
b) ...
...
...
...
...
43
51
59
z.B.: Die Anfangszahl ist 3. Von Schritt zu Schritt vergrößern sich die Zahlen um 8.
c) ...
...
...
...
...
70
64
58
z.B.: Die Anfangszahl ist 100. Von Schritt zu Schritt werden die Zahlen um 6 kleiner.
2.*
Folgen... fortsetzen und formulieren! Beschreibe jeweils Anfangszahl und Veränderung.
a) ...
...
...
...
...
243,5 250,2 256,9
z.B.: Die Anfangszahl ist 210. Von Schritt zu Schritt vergrößern sich die Zahlen um 6,7
b) ...
...
...
...
...
...
53
106
z.B. Die Anfangszahl ist 11. Von Schritt zu Schritt verändern sich die Zahlen erst um *2, bei
nächsten Mal um -5, dann wieder um *2, danach wieder um -5 usw.
c) ...
...
...
...
...
...
71,6 142
z.B.: Die Anfangszahl ist 2,3. Dann verändert sich die Zahl um +1,1. Danach verdoppelt sich die
Veränderung selber von Schritt zu Schritt.
3.*
Fehlerhaft? „Lehrer Bruch überlegt sich eine Zahlenfolge: Sie beginnt mit 1 und wird immer um
0,5 größer. Dann schreibt er die ersten fünf Zahlen an die Tafel.“ Das sieht so aus:
a) Wie hat Lehrer Bruch vermutlich gedacht? Worauf muss er
Lehrer Bruchs Folge:
nächstes Mal besonders achten? Wie lautet die verbesserte
1
2
3
4
5
Folge?
,
,
,
,
, ...
0, 5 =
1
Er hat vielleicht einfach so gedacht: Zähler +
2
Zähler (=neuer Zähler) und Nenner+ Nenner (=neuer
Nenner). Dabei muss er – wenn die Nenner gleich sind –
nur Zähler + Zähler (=neuer Zähler) rechnen. Die
verbesserte Folge lautet:
1 2
3
4
5
6
=
,
,
,
,
, ...
1 2
2
2
2
2
1
3
5
7
9
Deine verbesserte Folge:
1
,
1
,
,
, ...
b) „Dafür hat meine Folge aber ein „Ziel“!“ behauptet Lehrer Bruch. Setze einmal beide Folgen fort.
Fällt dir etwas auf? Was könnte Lehrer Bruch gemeint haben? Erläutere!
1
1
,
1
=1 ,
1
2
,
3
3
,
2
3
5
,
4
=2 ,
2
4
10
100
,...
= 0, 5263... ,...
= 0, 5025...
7
19
199
5
10
100
,...
=5
,...
= 50
2
2
2
In Lehrer Bruchs Folge nähern die Brüche sich anscheinend immer mehr dem Wert 0,5 an. Dann
könnte man 0,5 als das „Ziel der Folge“ betrachten. Die verbesserte Folge hat kein solches Ziel, da
die Brüche von ihrem Wert einfach immer größer werden.
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
4.
Gebäude-Folge! Hier siehst du ihre ersten vier Gebäude...
a) Zeichne das fünfte und
sechste Gebäude hinzu.
b) Beschreibe in Worten die
Form (und Teilformen) der
Gebäude. Wie verändern sie
sich?
z.B.:

zwei Säulen oder
Quader, die an einer
Seitenfläche
7
1
3
5
9
11
aneinandergrenzen

Die hintere Säule ist jeweils um 1 (Würfel-)“Kästchen“ höher als die vordere.

Beim zweiten Gebäude ist die vordere Säule 1 (Würfel-)“Kästchen“ hoch, die hintere
Säule genau 2 (Würfel-)“Kästchen“.

Von Schritt zu Schritt werden beide Säulen jeweils um 1 (Würfel-)“Kästchen“ höher.

Man könnte sagen: Beim ersten Gebäude ist die vordere Säule 0 (Würfel-)“Kästchen“
hoch, die hintere Säule genau 1 (Würfel-)“Kästchen“.
c) Aus wie vielen Bausteinen bestehen die Gebäude? Zähle nach und schreibe die Anzahl darunter.
Anm.: Manche SchülerInnen sehen aufgrund der Zeichendarstellung ein (Würfel-)“Kästchen“ als
zwei (Würfel-)“Kästchen“. Das ist durchaus o.k. Natürlich verdoppeln sich alle Anzahlen.
d) Überlege aus wie vielen Bausteinen vermutlich das siebte Gebäude besteht? Zeichne es zur
Kontrolle!
z.B.:
7. Gebäude =>
hintere Säule 7 (Würfel-)“Kästchen“ + vordere Säule 6 (Würfel-)“Kästchen = 13
e)* Aus wie vielen Bausteinen besteht vermutlich das hundertste Gebäude? Erläutere deine Antwort!
z.B.:
100. Gebäude =>
hintere Säule 100 (Würfel-)“Kästchen“ + vordere Säule 99 (Würfel-)“Kästchen = 199
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
5.
Papier falten! Besorge dir ein normales DinA 4 Papierblatt.
Wie oft
a) Versuche das Papier so oft wie möglich zu falten. Nimm nötigenfalls
gefaltet...
Werkzeug zur Hilfe. Wann wird es schwierig? Wie weit kommst du zu
0
guter Letzt?
1
b) Lege eine Tabelle an: „Wie oft gefaltet...“ und „Anzahl der Seiten“.
Ergänze die Tabelle anhand deines Papiers. Versuche die Tabelle
fortzusetzen.
Gefaltet
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Anzahl der „Seiten“
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
... immer das Vorherige *2
...
Anzahl der
„Seiten“
1
2
...
c)* Überlege erfinderisch! Wie oft müsstest du das Papierblatt falten, bis es so dick wäre, wie dein
Klassenzimmer hoch ist?
z.B.:
Ein Stapel Kopierpapier (=500 Blatt) ist ca. 5 cm dick => 1 Blatt ist 0,1 mm dick. Die Tabelle
sieht dann so aus
Gefaltet
Anzahl der „Seiten“ Dicke
0
1
0,1 mm = 0,01 cm
1
2
0,02 cm
2
4
0,04 cm
3
8
0,08 cm
4
16
0,16 cm
5
32
0,32 cm
6
64
0,64 cm
7
128
1,28 cm
8
256
2,56 cm
9
512
5,12 cm (500 Blatt waren ca. 5 cm)
10
1024
10,24 cm
11
2048
20,24 cm
12
4096
40,96 cm (fast schon ½ m)
13
8192
81,92 cm (fast schon 1 m)
14
16384
163,84 cm (Wer ist in der Klasse ungefähr so groß?)
15
32768
327,68 cm (Über 3 m, ist eure Klasse überhaupt so hoch?
Und es wurde nur 15 mal gefaltet!)
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
Folgen & Formeln
Folgen 5 – Lösungen & Tipps
1.
Folgen & Formeln!
Setze die Folge - nach unten - fort (...). Ergänze die Rechnungen (wie bei 13=...)
Notiere links unten: Wofür steht das Symbol a (...)? Notiere rechts unten: die Formel (Zahl=...)
a)
b)
c)
...
= 7
...
= 5
...
= 9,8
...
= 7 + 6 ×1
...
= 5 + 4 ×1
...
= 7+6×2
...
= 9,8 +11, 6 ×1
...
= 5+ 4×2
25
= 7+ 6×3
...
= 9,8 +11, 6 × 2
17
= 5+ 4×3
31
= 7+6×4
...
= 9,8 +11, 6 × 3
21
= 5+ 4× 4
37
= 7+6×5
56, 2 = 9,8 +11, 6 × 4
25
= 5+ 4×5
43
= 7+6×6
67,8 = 9,8 +11, 6 × 5
29
= 5+ 4×6
79, 4 = 9,8 +11, 6 × 6
a
Zahl = 7 + 6 × a
a
Zahl = 5 + 4 × a
a
Zahl = 9,8 +11, 6 × a
a bedeutet, wie
oft
der
a bedeutet, wie
a bedeutet, wie
Zuwachs 6
oft der
oft der
addiert wurde.
Zuwachs 4
Zuwachs 11,6
addiert wurde.
addiert wurde.
Ist 241,8 oder 240,8 die Zahl bei
welcher der Zuwachs 20mal addiert
wurde? Rechne nach!
9,8 + 11,6*20 = 241,8
2.*
Folgen! Setze fort und schreibe die Formel direkt dahinter.
a)
...
...
...
...
50,9 59,3 67,7 Zahl = 17,3 + 8,4 * a
b)
...
...
...
...
32
**c)
...
...
...
...
128,2 151
*
3.*
64
128
Zahl = 2 * a
oder genauer: Zahl = 2 + 2 * a
Bei der letzten Formel bedeutet a, wie
oft der Zuwachs 2 (=hintere 2) zur
Anfangszahl 2 (=vordere 2) addiert
wurde
Zahl = 32,2 + a * [ 16,8 + ( a – 1 ) * 1,2 ]
oder
Zahl = 32,2 + a * ( 15,6+ a * 1,2 )
Erfinde... drei Zahlenfolgen! Notiere von jeder Folge die ersten fünf Zahlen und die Formel!
a) z.B.
9
21
30
39
48
Zahl = 9 + 12 * a ; a bedeutet wie oft der Zuwachs 12 addiert wurde
b) z.B.
7,5
10
12,5
15
17,5
Zahl = 7,5 + 2,5 * a ; a bedeutet wie oft der Zuwachs 2,5 addiert wurde
c) Eine Eigene... Spannende... Die kenne ich natürlich nicht! Aber maile sie mir doch bitte!
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
4.
Bilder-Folge! Hier siehst du die ersten drei Bilder.
8
10
12
14
16
a) Zeichne das vierte und fünfte Bild dazu.
b) Beschreibe in Worten die Form (und Teilformen) der Bilder. Wie verändern sie sich?
z.B.:

hinten ist jeweils ein stehendes Rechteck ...

... mit der Länge 2 Kästchen und der Höhe 3 Kästchen

vorne ist jeweils ein „liegendes“ Rechteck ...

... mit der Höhe 2 Kästchen und ...

... einer Länge, die sich von Bild zu Bild um 1 Kästchen verlängert,

die Anfangslänge des liegenden Rechtecks im 1. Bild beträgt 1 Kästchen
c) Aus wie vielen Kästchen bestehen die Bilder? Zähle nach und schreibe die Anzahl darunter.
d) Aus wie vielen Kästchen besteht vermutlich das hundertste Bild?
hintere stehendes Rechteck
Länge * Höhe
2 Kästchen * 3 Kästchen
2
*
3
+
+
+
+
vorderes liegende Rechteck
Länge *
Höhe
Länge je nach Bild * 2 Kästchen
100
*2
=
206
(weil es das 100. Bild ist vgl. die Bilderfolge)
e) Suche eine Formel für die Anzahl der Kästchen dieser Bilder-Folge. Erläutere deine Antwort!
Anzahl der Kästchen im Bildes = 2 * 3 + a * 2
(a bedeutet die Länge des liegenden Rechteckes)
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
Folgen 6 – Lösungen & Tipps
1.
Formeln & Folgen!
a)
Formel
Wie oft der Zuw.
a
5 + 3 a = Zahl
...
...
...
...
...
5 + 3× 0 = 5
5 + 3×1 = 8
5 + 3× 2 = 11
5 + 3× 3 = 14
5 + 3× 4 = 17
...
5 + 3×10 = 35
b) Ergänze zuerst die Formel. Lass dir was einfallen!
Wie oft der Zuw.
Formel z.B.
a
5 + 10 a = Zahl
...
5 +10 × 0 = 5
...
5 +10 ×1 = 15
...
5 +10 × 2 = 25
...
5 +10 × 3 = 35
...
5 +10 × 4 = 45
...
5 +10 × 20 = 205
2.
Folgen & Formeln!
Fortsetzen, Rechnen,
Bei b) bis d) einfach Fortsetzen & Formel direkt anschreiben!
*
Formel!
a)
b)
c)
d) VORSICHT!
...
...
= 3+ 9 × 0
...
...
...
...
= 3+ 9 ×1
...
...
...
...
= 3+ 9 × 2
...
...
...
= 3+ 9 × 3
...
...
Re chenfehler!
20
39
= 3+ 9 × 4
34
63
20
statt
20, 2
48
= 3+ 9 × 5
41
77
23, 6
48
91
57
= 3+ 9 × 6
27, 2
a Zahl 6 + 7 × a a Zahl = 7 +14 × a
a Zahl = 3+ 9 × a
30, 8
a Zahl = 9, 2 + 3, 6 × a
3.
Bilder-Folge! Hier siehst du die Anzahl der Kästchen für jedes Bild...
5
11
17
23
a) Überlege dir ein passendes (regelmäßiges) Muster. Skizziere! Achte auf die Kästchen!
b) Wie sähe dein zehntes Bild aus?

das obere 1er Kästchen

darunter das 4er Kästchen

und rechts ein stehendes Rechteck mit 9 *6er Kästchen
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
c) Suche eine Formel für die Anzahl der Kästchen deiner Bilder-Folge.
Zahl = 5 + 6 * a
oder
Zahl = 1 + 4 + 6 * a
a steht dafür, wie oft der Zuwachs 6 addiert wurde
4.*
Knobeln! Skizziere c)! Zähle jeweils die Kacheln! Formel? Erläutere deinen Lösungsweg
Kreismuster auf dem Parkettboden...
a)... nur mit 3-Eck b) ... mit 4-Eck und... c)... mit 5-Eck und... ...
o) ... mit 17-Eck und...
3
Kacheln:
1
2
4
4
...
Tipp 1:
Von Bild zu Bild sind es so viele Kacheln wie zuvor. Dann kommen noch welche (von dem neuen
Vielecke und dessen Umkreis dazu)
Tipp 2:
Beim Drei – Eck sind es
a)
außen bis zu seinem Umkreis 3 Kacheln
b)
innen 1 Kachel (=3-2)
Beim Vier – Eck sind es
a)
außen bis zu seinem Umkreis 4 Kacheln
b)
innen auch 4 Kachel (bis zum vorherigen Umkreis)
Beim Fünf – Eck sind es
a)
außen bis zu seinem Umkreis 5 Kacheln
b)
innen auch 5 Kachel (bis zum vorherigen Umkreis)
usw.
Beim Siebzehn – Eck sind es
a)
außen bis zu seinem Umkreis ... Kacheln
b)
innen auch ... Kachel (bis zum vorherigen Umkreis)
Eine Formel für die Gesamtanzahl aller Kachel im Muster wäre:
Gesamtanzahl = ( 3 + a ) * ( a – 2 ) – 2
Hierbei steht a für das letzte Vielecke
z.B.: Gesamtanzahl der Kacheln beim 17-Eck = ( 3 + 17 ) * ( 17 – 2 ) – 2
= 20
* 15
- 2
= 298
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
Folgen im Alltag
Folgen 7 – Lösungen & Tipps
Telefonangebot „Rothe“!
a) s. Tabelle rechts
b) Formel: Gesamtkosten =12 +3× a
a bedeutet die Gesamtanzahl der „Stunden im Internet“
1.
2.
GesamtStunden kosten
0
1
2
3
4
...
11
Telefonangebot NEU!
a) s. Tabelle rechts
b) Formel: Gesamtkosten = 8+ 4,10× a
a bedeutet die Gesamtanzahl der „Stunden im Internet“
0
1
2
3
4
...
11
12
15
18
21
24
...
45
8
12,10
16,20
20,30
24,40
...
49,00
3.
Überlege und entscheide!

vgl. die Tabellen

Für Viel-Surfer ist das erste Angebot besser – Warum?

Für Wenig-Surfer ist das zweite Angebot besser – Warum?

Interessante Frage: Ab wie viel „Stunden im Internet“ ist das
erste Angebot günstiger?
4.*
Überlege wie du die jährlichen Gesamtkosten (für das Telefon) von Familie Rothe berechnen
könntest? Tabelle? Formel?
z.B.:



Jahreskosten bestehen aus den monatlichen Grundgebühren und den jeweiligen
Verbindungsgebühren
Jährliche Grundgebühren = 12 * monatliche Grundgebühr
Jährliche Verbindungsgebühren = alle zwölf monatlichen Verbindungsgebühren addieren
5.
a)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
14
77
b)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
15
78
c)
...
...
...
...
...
...
d)* Vorsicht!
...
...
...
...
8
1120
1
3
10
7
2
100
9,1
27, 3
91
63, 7
18, 2
91
e)* Erfinde!
1
z.B.
10
5
6
-5
100
3
12
7
8
-3
102
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
6. *
Weihnachtskekse!
a) s. Tabelle links
= Anzahl
der „untersten
Kekse“
kleine3
4
5
6
7
8
...
100
6
10
15
21
28
36
...
5050
b) z.B.:






Wenn das Blech doppelt belegt ist (=beide Schwestern backen gleichzeitig),
dann ...
... liegen in der untersten Reihe 100 Kekse von der jüngeren Schwester und ein Feld bliebe
frei, damit kein Streit entsteht.
In der vorletzten Reihe / Zeile liegen 99 Kekse von der jüngeren Schwester, eine Feld
bliebe frei um Ärger zu vermeiden und zum Schluss läge ganz rechts 1 Keks der älteren
Schwester.
In jeder Reihe / Zeile liegen insgesamt 100 Kekse (beider Schwestern zusammen) mit
einem freiem Feld dazwischen.
Überlege: Wie viele Reihen / Zeilen müsste so ein (quadratisches!) Blech haben? ...
100Kekse × (101Reihen)
= Kekse der jüngeren Schwester (geteilt wird, beide Schwestern
2
ihre Kekse auf diesem Backblech hatten

Als Formel Keksanzahl =
a × ( a +1)
2
Hierbei steht a für die Anzahl der Kekse in der untersten Reihe.
Kannst du alle Teile der Formel erklären?
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
Folgen 8 – Lösungen & Tipps
1.
2.*
Telefonangebot „Fa. Maier“!
a) s. Tabelle rechts
b) Formel: Gesamtkosten = 9 + 2,10× a
a bedeutet dabei die angefallenen Stunden (im Internet)
GesamtStunden kosten
Überlege!
a) s. Tabelle rechts
Jahresgesamtstunden
Jahresgesamtkosten = 9 ×12 + 2,10 × a
b) Formel: oder
Jahresgesamtkosten = 108 + 2,10 × a
Dabei steht a immer für die Jahresgesamtstunden im Internet
3.
Telefonangebot „Besser“!
a) s. Tabelle rechts
b) Formel: Gesamtkosten = 29 + 0, 5× a
a bedeutet dabei die Anzahl der (mtl.) Stunden im Internet
0
1
2
3
4
...
7
0
10
20
30
40
...
100
0
1
2
3
4
...
10
9
11,10
13,20
15,30
17,40
...
23,70
Jahresgesamtkosten
108
129
150
171
192
...
318
29
29,50
30
30,50
31
...
34
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
4.*
Telefonangebot „Nochbesser“!
a) s. Tabelle rechts
b) Manchmal lässt sich für einen Zusammenhang eine Formel „nicht
komplett für alles aufschreiben“. Dann muss man halt genauer werden:
Formel:
für a = 0 Gesamtkosten = 29
für a = 1 Gesamtkosten = 29
für a = 2 Gesamtkosten = 29
0
1
2
3
4
...
10
29
29
29
29,50
30
...
33
für a ³ 3 Gesamtkosten = 29 + 0, 5× ( a - 2)
Dabei steht a wieder für die Stundenanzahl im Internet.
Interessante Frage: Kannst du erklären, warum hinter dem a (in der Klammer) „-2“ steht?
5.
Unsortiertes! Beachte die Reihenfolge! Setze fort und ergänze die Formel!
a)
b)
...
...
...
...
...
...
a
...
...
...
...
16
96
z.B. :
8× a
Formel
a steht hier dafür, die wievielte
Zahl es (bei der richtigen
Reihenfolge) ist
c) Vorsicht!
9
1
3
13
5
2
11
a
27
Ziffern _ vertauscht
117
45
18
99
9×a
Formel
a steht hier dafür, die wievielte Zahl
es (bei der richtigen Reihenfolge) ist
...
...
...
...
18
98
10 + 8× a
Formel
a steht hier dafür, wie oft der
Zuwachs 8 addiert wurde
...
...
...
...
...
...
a
d) Erfinde... z.B.:
0, 5
1
3
6
4
8
2
4
3, 5
7
51
25, 5
a
a:2
Formel
a steht hier dafür, die
wievielte Zahl es (bei
der richtigen
Reihenfolge) ist
e) ... anders! Z.B.:
-3
1
6
10
8
4
0
4
50
46
47
51
a-4
a
Formel
a steht hier dafür, die
wievielte Zahl es (bei
der richtigen
Reihenfolge) ist
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at
6. *
Ausprobieren und überlegen!
Miss mit einem Lineal die Länge (in cm) deiner Schuhe/Füße ab.
Wie groß bis du selber (in cm)?
a) Wie lang waren deine Schuhe/Füße wohl, als du selber 50 cm kleiner warst?
b) Suche nach einer Formel, mit der du die Länge deiner Schuhe/Füße berechnen
kannst. Und was ist dabei alles zu beachten?
Anmerkung: Diese Aufgabe lässt sich sicherlich nicht eindeutig für jeden in der
gleichen Art bearbeiten oder lösen. Aber es ist interessant, was es alles zu
bedenken gibt.
Anregung: Wie können Ärzte und Mediziner dieses Frage lösen?
© 2014 Frank Rothe, Salzburg, Lösungen zu den PLUS-Aufgaben aus „Algebra I“, www.calculemus.at