Übungen Stoch 13 - kepler

Übungen Stoch 13
1.) Ein Würfelspieler bietet Dir folgende Wette an:
Gewürfelt wird aus einem Becher mit drei Würfeln. Dein Spieleinsatz beträgt 50 Cent.
Bei drei Einsen erhältst Du 20.-€, bei einem anderweitigen Dreierpasch 5.-€ und bei
einer „Straße“ ( drei aufeinanderfolgende Zahlen wie 1 2 3 ; 2 3 4………..) erhältst
Du 2.- €. (Dein Einsatz wird nicht mit ausgezahlt)
a.) Berechne den unterschiedlichen Gewinn/Verlust pro Spiel, den Du als Spieler zu
erwarten hast.
b.) Die Zufallsvariable X gibt Dir die Anzahl der auftretenden Einsen an.
Begründe, dass P(X=k) eine Binomialverteilung ist und erläutere die Lösung für
k=2. an einem Pfaddiagramm.
2.) Aufgaben rund um die Firma „Flachdumpf-KG“ , weit jenseits des Teuto:
a.) Im Bürocenter des Unternehmens arbeiten 40 Leute, von denen jeder 40% seiner
Arbeitszeit am Telefon verbringt.
(i)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt genau
20 Mitarbeiter ( mindestens 10 Mitarbeiter) telefonieren?
(ii)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen die 25 bestehenden Leitungen der Firma
aus?
b.) Das Fußballteam der Betriebssportmannschaft besteht aus 14 Feldspielern und zwei
Torwarten. Wie viele Möglichkeiten gibt es zur Aufstellung einer Mannschaft (Die
Kicker des Teams sind so gut bzw. schlecht, dass es gar keinen Sinn macht, einen
Feldspieler auf einer bestimmten Position spielen zu lassen, da eh alle immer
durcheinanderlaufen, man kann sie auch auf keinen Fall ins Tor stellen, die Torwarte
sind jedoch nicht als Feldspieler zu gebrauchen.)
c.) Der Firmenparkplatz hat 200 Plätze. 100 Mitarbeiter kommen immer mit dem Auto,
180 Mitarbeiter mit jeweils 50%iger Wahrscheinlichkeit.
(i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man mehr als 30 freie Parkplätze
(ii) Muss der Parkplatz erweitert werden, wenn er mit 99%iger Sicherheit groß genug
sein soll? ( Wenn ja, um wie viele Plätze? )
3.) Beim Aldi-Roulette, das gerne in Studenten-WGs gespielt wird, werden aus Dosen
mit abgeweichten Etiketten abstruse Eintöpfe gemischt. In unser Ersti-WG sieht es
so aus: Sascha hat aus der WG-Kasse drei Büchsen Erbsen, zwei Bohnen, eine Büchse
Pfirsich, eine Tomaten, eine Birnen und eine Ananas gekauft. Geöffnet werden drei
Dosen, die zu einem Eintopf zusammengekippt werden.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für:
a.) einen reinen Erbseneintopf
b.) einen Eintopf aus Erbsen und Bohnen
c.) einen Eintopf aus drei verschiedenen Zutaten
d.)Jetzt hat doch jemand vor dem Roulette-Abend Appetit auf Ananas bekommen,
dummerweise waren die Etiketten schon abgeweicht. Beim Öffnen der wievielten
Dose ist mit Ananas zu rechnen?
Lösungen zum Übungsblatt Stoch 13
Aufgabe 1:
Ereignis
Wahrscheinlichkeit
P
Gewinn G
P*G
111
1/216
Sonstiger Pasch
5/216
Straße
24/216
Alles andere
186/216
19,50
0,090
4,50
0,104
1,50
0,167
- 0,50
-0,431
Die Summe der letzten Zeile ergibt dann den durchschnittlichen Gewinn, von – 0,0693, der
Spieler macht also pro Spiel 7 Ct Verlust ( = Erwartungswert)
2.) a.) (i) Binomialverteilung mit n = 40, p = 0,4 X sei die Anzahl der Leute, die zu einem
bestimmten aber beliebigen Zeitpunkt telefonieren.
Genau 20: P ( X = 20 ) = binpdf ( 40, 0.4 , 20 ) = 5,5%
Mindestens 10: P ( X > oder = 10) = 1 - P ( X < oder = 9 ) = 1 – bincdf (40,0.4,9) = 84,4%
(ii)
P ( X < oder = 25 ) = bincdf (40,0.4,25) = 99,87 %
2b.) Es geht nur um 100 Plätze, der Rest ist sowieso belegt, X sei die Anzahl der
„Gelegenheitsparker“, die parken.
(i)
n = 180 , p = 0.5. Mehr als 30 freie Plätze = höchstens 69 belegte Plätze
also P ( X <oder = 69 ) = bincdf (180,0.5,69) = 0,17%
(ii)
n * p = 90 freie Plätze erwartet man, oberhalb der 2,33 Sigma –Umgebung des
Erwartungswerts liegen nur 1% der Fälle.
Also: Erwartungswert + 2,33 Sigma-Umgebung = benötigte Plätze.
Ergebnis: man braucht theoretisch 105,6 Plätze, also muss der Parkplatz um 6 Plätze
erweitert werden. ( Lösung über Listenfunktion des TR ebenfalls möglich)
3.) a.) P ( EEE ) = 3/9 * 2/8 * 1/7 = 6/504
b.) Es gibt hier die Pfade EEB und BBE mit je drei Anordnungsmöglichkeiten
also: P ( EEB und Permutationen) = 3/9 * 2/8 * 2/ 7 * 3 = 36/504
entsprechend P ( BBE und Permutationen) = ( 2 * 1 *3 * 3)/504 = 18/504
also gesamt:
P( Gemisch aus Bohnen und Erbsen) = 54/504
c.) am besten über Gegenwahrscheinlichkeit: Gegenereignisse EEE ( s.o) sowie EEN
und BBN mit je drei Permutationen. N bezeichnet dabei einmal „Nichterbse“, dann
„Nichtbohne“ P(EEE) = 6/504 P( EEN und Permutationen) = ( 3 * 2 * 6 * 3 )/504=
108/504 P ( BBN und Permutationen) = ( 2 * 1 * 7 * 3 ) / 504 = 42/504.
Gesamt P = 1 - ( 6 + 108 + 42 ) / 504 = 348/504 = 69 % ( Auch andere Wege möglich)
d.) Man rechnet zunächst die Wahrscheinlichkeiten für Ananas in der 1. Dose ( = 1/9), in
der 2. Dose ( 8/9 *1/8) der 3.Dose ( 8/9*7/8*1/7) usw aus. Die Wahrscheinlichkeit
beträgt gekürzt immer 1/9. Für den Erwartungswert rechnet man also 1 (für Ananas in
erster Dose) * 1/9 + 2 (für Ananas in zweiter Dose*1/9 .+ ……+ 9*1/9 = 5. Also Kann
man im Schnitt bei der fünften Dose mit einer Ananas rechnen.