Aufgabe 1 - Jens Münkers Homepage
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Seite 1 von 2 12.2 Leistungskurs Mathematik 1. Klausur Schuljahr 2004/2005 12.04.2005 Munk Thema: Analysis II – Integralrechnung:Rotationskörper Lineare Algebra – Lineare Gleichungssysteme, Anfänge der Vektorrechnung Name: _____________________________________ Aufgabe 1: Biodiesel besteht zum Großteil aus Rapsöl (C18H34O2) und steht seit einiger Zeit als Alternative zu Mineralölprodukten zur Diskussion. Bei der Verbrennung entstehen die gleichen Produkte wie bei „normalem“ Teibstoff. ___C18H34O2 + ___O2 → ___CO2 + ___H2O + ___CO + ___C a) Bestimme die stöchiometrischen Koeffizienten für den Fall, dass bei der Verbrennung weder Kohlenmonoxid (CO) noch Ruß (C) entstehen. b) 1. Stelle das Gleichungssystem für den allgemeinen Fall auf. Schreibe auch als Matrix. (Lösung des LGS nur als freiwillige Zusatzaufgabe!) d 3d e 2 f 18 d 17 (e f ) IL d e f d , e, f IN 0 . 2 17 17 2. Überprüfe zunächst die Richtigkeit deiner Ergebnisse aus Aufgabe a). 3. Bestimme die stöchiometrischen Koeffizienten für den Fall, dass alle Substanzen bei der Verbrennung entstehen. c) Wie in den Aufgabenteilen a) und b) untersucht, entstehen auch bei „Bio-Diesel“ schädliche Abgase wie bei normalem Benzin. Mithilfe von 3-Wege-Katalysatoren werden giftige Stoffe in ungiftige (trotzdem umweltschädliche!) umgewandelt. Bestimme jeweils die stöchiometrischen Koeffizienten. 1. ___CO + ___O2 → ___CO2 (Kohlenstoffmonoxid + Sauerstoff = Kohlendioxid) 2. ___NO + ___CO → ___N2 + ___CO2 (Stickstoffmonoxid + Kohlenstoffmonoxid = Stickstoff + Kohlendioxid) Aufgabe 2: Gegeben ist ein Gleichstromkreis (vgl. Abb.) mit drei Widerständen R1 15 , R2 10 und R3 5 sowie der anliegenden Spannung U = 24 V. Berechne den Gesamtstrom I und die Teilströme I 1 und I2 . Gute Konzentration und viel Erfolg! Seite 2 von 2 12.2 Leistungskurs Mathematik 1. Klausur Schuljahr 2004/2005 12.04.2005 Munk Thema: Analysis II – Integralrechnung:Rotationskörper Lineare Algebra – Lineare Gleichungssysteme, Anfänge der Vektorrechnung Name: _____________________________________ Aufgabe 3: Gegeben sind die Punkte A 1 2 5 , B 11 2 10 , C 2 10 9 , D ? ? ? , E ? ? ? . a) Zeige, dass es sich bei ABC um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, indem du die Seitenlängen und Innenwinkelmaße berechnest. Berechne auch den Flächeninhalt des Dreiecks. b) Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden in einem Dreieck ist der Schwerpunkt. Weise mittels geschlossenem Vektorzug nach, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1 schneiden. Berechne die Koordinaten des Schwerpunkts S. [ Zur Kontrolle und zum Weiterrechnen: S 4 2 8 ] 10 c) Zeige, dass der Vektor h 5,5 senkrecht auf dem Dreieck ABC steht. 24 d) Der Punkt D soll die Spitze einer Dreieckspyramide (= eines Tetraeders) sein, der Vektor h beschreibt die Höhe. D befindet sich exakt senkrecht (bezogen auf die Grundfläche) oberhalb des Schwerpunkts S. e) Berechne das Volumen der Pyramide ABCD. (Pyramidenvolumen = 1/3 * Grundfläche * Höhe) f) Berechne die Längen der Seitenkanten der Pyramide ABCD. g) Berechne die Maße der Innenwinkel der Seitendreiecke. h) Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide ABCD. i) Bestimme die Koordinaten des Punkts E so, dass eine zur Grundfläche ABC symmetrische Doppelpyramide (=Hexaeder) entsteht. Aufgabe 4: Die Berandung eines Kühlturms kann durch den Graphen der Funktion f ( x ) 1 2 1 x im Intervall [-0,5; 1] 3 3 beschrieben werden. Der Kühlturm entsteht dann durch Rotation des Funktionsgraphen um die x-Achse. Eine Längeneinheit entspricht dabei 100 m in der Realität. a) Skizziere die Berandung des Kühlturms. Wie hoch ist der Kühlturm? Wie groß sind die Radien der unteren und oberen Begrenzungsflächen? b) Berechne das Volumen des Kühlturms. Aufgabe 5: Beweise den Satz des Thales mithilfe des Skalarprodukts: Jedes Dreieck, dass dem über der Grundseite errichteten Halbkreis einbeschrieben wird, ist rechtwinklig. Vektor_e Vektor_a minus_Vektor_r Vektor_d Vektor_r Anleitung: Drücke d und e mit den anderen Vektoren aus. Beachte später, dass a r . Gute Konzentration und viel Erfolg!
