Zufallsgrößen und ihre

Übungsmaterial
8
1
Zufallsgröÿen und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungen
8.1
Zufallsgröÿen
Denition
X : Ω → R, ω 7→ X(ω)
Eine Abbildung
Die
Wahrscheinlichkeitsverteilung
P (x)
heiÿt
Zufallsgröÿe
auf
Ω.
einer Zufallsgröÿe X ordnet jedem
x∈X
die Wahrscheinlichkeit
zu.
Beispiel
Eine Laplace-Münze wird zweimal geworfen. Man erhält einen Euro pro erschienener Zahl. Bei zwei
gefallenen Wappen muss man zwei Euro bezahlen.
ω
ZZ
ZW
WZ
WW
X(ω)
2
1
1
-2
Die Zufallsgröÿe X gebe den Gewinn in Euro an. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ist P(X).
X
-2
1
2
P(X)
0,25
0,5
0,25
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist Null an den Stellen, wo X keinen Wert annimmt, z.B.
P (X =
−1) = 0.
Weitere Beispiele
1) Ein Spieler zahlt einen Euro Einsatz, wählt dann eine Glückszahl zwischen 1 und 6 und würfelt
dreimal. Er gewinnt einen Euro pro geworfener und bekommt auch den Einsatz zurück.
Der Ergebnisraum besteht aus 3er-Tupeln:
aus
Ω = {(abc) | a, b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. Jedem Element
Ω wird eine Auszahlung zugeordnet, so zum Beispiel bei der Glückszahl 3 dem Würfelergebnis
(1,4,3) die Auszahlung 2 Euro (Gewinn plus Einsatz).
2) Ein Glücksrad hat drei Sektoren: Die eine Hälfte des Glücksrades ist gelb, die andere Hälfte ist
unterteilt in eine rote und eine blaue Hälfte. Es besteht die Zuordnung
gelb
rot
blau
7 10
→
7→ 30
7→ 40.
Hierbei handelt es sich um eine Zufallsgröÿe, wir nennen sie X. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung
ist gegeben durch
Übungsmaterial
X
10
30
40
P(X)
0,5
0,25
0,25
2
3) Ein Würfel wird solange geworfen, bis die Augenzahl 6 erscheint, höchstens jedoch viermal. Die
Zufallsgröÿe X gebe die Anzahl der Würfe an. P(X) ist ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung.
X
1
2
3
4
P(X)
1
6
5
36
25
216
125
216
Die letzte Wahrscheinlichkeit (dreimal keine 6 und dann eine 6 oder viermal keine 6) ergibt sich
hierbei aus
P (X = 4) = 1 −
3
X
P (X = i) = 1 −
1
8.2
5
25
1
+
+
6 36 216
=
125
.
216
Graphische Darstellung
Wahrscheinlichkeitsverteilungen lassen sich graphisch darstellen, beispielweise die des Beispiels mit der
Münze (s.o.):
X
-2
1
2
P(X)
0,25
0,5
0,25
Es gibt zwei Arten der graphischen Darstellung:
P(x)
P(x)
0,5
0,5
0,25
0,25
x
-2
-1
1
2
Abbildung 1: Stabdiagramm
x
-2
-1
1
2
Abbildung 2: Histogramm
Bei einem Stabdiagramm kennzeichnet die Höhe der Stäbe die Wahrscheinlichkeit, bei einem Histogramm macht dies die Rechtecksäche.
Übungsmaterial
8.3
3
Die kumulative Verteilungsfunktion
F (x) := P (X ≤ x)
X
F (x) =
P (xi )
Die Funktion
heiÿt
kumulative Verteilungsfunktion
der Zufallsgröÿe X.
xi ≤x
Die Verteilungsfunktion F einer diskreten Zufallsgröÿe X ist eine Treppenfunktion mit Sprüngen der
Höhe
hi = P (X = xi )
an den Stellen
x = xi .
Die Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig und monoton wachsend.
Für das Münzbeispiel sieht die kumulative Verteilungsfunktion folgendermaÿen aus:



0
x < −2




0, 25 −2 ≤ x < 1
F (x) =


0, 75 1 ≤ x < 2




1
x≥2
Auch sie lässt sich graphisch darstellen:
P(x)
0,5
0,25
x
-2
-1
1
2
Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mit mindestens, weniger als, höchstens und mehr als lassen
sich mit der Verteilungsfunktion sehr leicht bestimmen:
Die Wahrscheinlichkeit, mehr als zwei Euro zu verlieren ist 0, die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen
Euro zu gewinnen, ist
F (X = 1) = 0, 75.
Eigenschaften der kumulativen Verteilungsfunktion
1)
P (X ≤ k) = F (k)
2)
P (X > k) = 1 − P (X ≤ k) = 1 − F (k)
3)
F (k < X ≤ l) = F (l) − F (k)
Übungsmaterial
8.4
4
Aufgabe 1
1) Gegeben sei die Zufallsgröÿe X mit folgender Wahrscheinlichkeitverteilung:
x
-2
-1
0
2
3
P (X = x)
0,1
0,4
0,2
?
0,1
Berechne P(X = 2) und stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung in einem Stabdigramm dar.
2) In einer Urne benden sich sieben rote und drei grüne Kugeln. Es wird ohne Zurücklegen solange
gezogen, bis eine grüne Kugel erscheint, höchstens jedoch fünf mal. Die Zufallsgröÿe X sei die
Anzahl der insgesamt gezogenen Kugeln.
Gib die Wahrscheinlichkeitverteilung und die kumulative Verteilungsfunktion der Zufallsgröÿe X
an.
Wie wahrscheinlich ist es, dass weniger als vier Kugeln gezogen werden?
Lösung
1)
P (X = 2) = 1 − (0, 1 + 0, 4 + 0, 2 + 0, 1) = 0, 2
Stabdiagramm:
P(x)
0,1
x
-2
-1
1
0
2
2) Wahrscheinlichkeitsverteilung:
x
1
2
3
4
5
P (X = x)
3
10
7
30
7
40
1
8
1
6
Kumulative Verteilungsfunktion:
F (x) =


0




3



 10
8
15



17



 24


1
x<1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
x≥4
P (X < 4) = P (X ≤ 3) = F (X = 3) =
17
24
≈ 70, 8%
3
Übungsmaterial
8.5
5
Aufgabe 2
1) Gegeben sei die Zufallsgröÿe X mit symmetrischer Wahrscheinlichkeitsverteilung:
x
-5
-1
1
5
P (X = x)
?
0,35
?
0,15
Berechne die fehlenden Wahrscheinlichkeiten und gib die kumulative Verteilungsfunktion an.
2) Ein Würfel werde dreimal geworfen. Die Zufallsgröÿe X gibt die Anzahl der geworfenen Fünfer
an.
Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröÿe an und berechne die Wahrscheinlichkeiten
folgender Ereignisse:
a) Höchstens zwei Fünfer
b) Weniger als zwei Fünfer
c) Mehr als ein, aber weniger als drei Fünfer
Lösung
1)
P (X = −5) = P (X = 5) = 0, 15
P (X = 1) = P (X = −1) = 0, 35


0
x < −5





0, 15 −5 ≤ x < −1


F (x) = 0, 5 −1 ≤ x < 1





0, 85 1 ≤ x < 5




1
x≥5
2) Wahrscheinlichkeitsverteilung:
x
0
1
2
3
P (X = x)
125
216
25
72
5
72
1
216
125
216
25
72
5
72
=
215
216
125
216
+
P (2 ≤ x < 3) = P (X = 2) =
5
72
a)
P (X ≤ 2) =
b)
P (X < 2) = P (X ≤ 1) =
c)
+
+
25
72
=
25
27