Hans Walser, Studie [20040320a] Zerlegungen des Zwölfeckes

Hans Walser, Studie [20040320a]
Zerlegungen des Zwölfeckes / Dissections of the Dodekagon
1
Spielregeln
Regelmäßiges Zwölfeck
1.1
Gleichschenklige Dreiecke
Das regelmäßige Zwölfeck soll in gleichschenklige Dreiecke mit den Spitzenwinkeln
30°, 60° (gleichseitiges Dreieck), 90° (halbes Quadrat), 120° oder 150° zerlegt werden.
Die Größe der Dreiecke spielt keine Rolle.
Die Bauteile
Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes
1.2
2
Erweitertes Sortiment
Aus zwei kongruenten gleichschenkligen Dreiecken können wir einen Rhombus zusammensetzen. Es ist daher sinnvoll, auch diese Rhomben als direkte Bauteile zuzulassen. Wir haben dann Rhomben mit den spitzen Winkeln 30° und 60° sowie das Quadrat.
Dreiecke mit γ = 30° und γ = 150° ergeben Rhomben derselben Form, ebenso Dreiecke
mit γ = 60° und γ = 120°.
Rhomben
Aus sechs gleichseitigen Dreiecken lässt sich das regelmäßige Sechseck zusammensetzen. Auch dieses soll ein zulässiger Bauteil sein.
Sechseck
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Beispiele
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3
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Kommentierte Beispiele
3.1
3.1.1
Sonderformen
Spezielles Parallelogramm
Wie steht es mit den Parallelogrammen?
Wir erhalten Parallelogramme mit dem Seitenverhältnis 2 :1 und dem spitzen Winkel
75°. Ein solches Parallelogramm lässt sich aus unseren Bauteilen zusammensetzen.
Zusammensetzung des Parallelogramms
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3.1.2
Konkaves Viereck
Wie ist es mit den weißen konkaven Vierecken?
Das konkave Vierreck lässt sich aus unseren Bauteilen zusammensetzen.
Zusammensetzung des konkaven Viereckes
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3.1.3
29
45°-60°-75°-Dreieck
Zerlegung der weißen Dreiecke?
Die ausgesparten weißen Dreiecke haben Winkel von 45°, 60° und 75° und können
zerlegt werden:
Zerlegung eines 45°-60°-75°-Dreieckes
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3.1.4
30
30°-45°-105°-Dreieck
Zerlegung der weißen Dreiecke?
Die ausgesparten weißen Dreiecke haben Winkel von 30°, 45° und 105° und können
zerlegt werden:
Zerlegung eines 30°-45°-105°-Dreieckes
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3.2
31
Zwölfeck mit Diagonalen
Zwölfeck mit sämtlichen Diagonalen
Im regelmäßigen Zwölfeck zeichnen wir alle Diagonalen ein. Lassen sich alle Teile
durch unsere Bauteile zusammensetzen?
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3.3
32
Bild des 6D-Würfels
6-D-Würfel in isometrischer Darstellung
Der Umriss der isometrischen Darstellung des sechsdimensionalen Würfels ist ein regelmäßiges Zwölfeck. Lassen sich alle Teile durch unsere Bauteile zusammensetzen?
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3.4
3.4.1
33
Unendliche Folgen
Häufungspunkt bei 12 Uhr
Häufungspunkt im Uhrpunkt 12
In der oberen Hälfte lässt sich ein halb so großes regelmäßiges Zwölfeck aussparen und
mit einer farblich veränderten halb so großen Kopie des ursprünglichen Zwölfeckes
füllen. Der Prozess kann theoretisch ad infinitum iteriert werden. Wir erhalten eine Ausschöpfung des Zwölfeckes mit unendlich vielen Teilen.
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3.4.2
34
Häufungspunkt im Zentrum
3.4.2.1 Schönes Beispiel
Häufungspunkt im Zentrum
Hier genügt es, einen den äußersten Kranz mit zwölf Dreiecken zu zeichnen und dann
eine verkleinerte Kopie im Loch einzusetzen. Der Verkleinerungsfaktor c ist
c = 22 ≈ 0.70711. Die ausgesparten weißen Dreiecke sind gleichseitig. Die sichtbaren
Spiralen sind diskretisierte logarithmische Spiralen.
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3.4.2.2 Subtiles Beispiel
Wie steht es mit dem ausgesparten weißen Dreieck?
In diesem Beispiel ist das ausgesparte weiße Dreieck zu studieren. Es hat zunächst die
Seiten a = 1 und b = 2 sowie den Winkel γ = 15°. Mit Hilfe des Kosinussatzes erhalten wir c =
2
2
(
) (2 − 3) ≈ 0.5176 ; c ist die positive Lösung der quadrati-
3 −1 =
schen Gleichung c 2 + 2c −1 = 0 . Dies ist auch der Verkleinerungsfaktor von einem
Kranz zum nächst inneren Kranz. Für die Winkel erhalten wir, was die Zeichnung suggeriert, nämlich α = 30° und β = 145° . Dieses 30°-145°-15°-Dreieck lässt sich aus unseren Bauteilen zusammensetzen.
Zusammensetzung eines weißen Deieckes
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3.5
36
Fraktal
Beginn eines Fraktales
Wenn wir an mehreren Orten aussparen und verkleinerte Kopien einsetzen, entsteht ein
Fraktal. In der Praxis ergeben sich Speicherprobleme.
4
4.1
Das Zwölfeck
Einfache Konstruktion
In einem Karoraster zeichnen wir einen Kreis mit geradzahligem Radius. Damit erhalten
wir die Uhrpunkte 3, 6, 9 und 12. Der Schnitt des Kreises mit den Mittelsenkrechten der
waagerechten und senkrechten Radien liefert die restlichen Uhrpunkte 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10
und 11.
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37
Konstruktion
4.2
Flächeninhalt
Ein Zwölfeck mit dem Umkreisradius r hat den Flächeninhalt 3r 2 . Dies kann mit Zerlegungsgleichheit gezeigt werden.
Zerlegungsgleichheit
Bei dieser Zerlegung werden 30°-60°-90°-Dreiecke und 15°-75°-90°-Dreiecke verwendet. Diese können aber auch aus unseren Bauteilen zusammengesetzt werden.
Zusammensetzung aus Bauteilen
5
Zeichentechnik
Die Figuren können mit dynamischer Geometrie-Software gezeichnet werden. Mit
Vorteil generiert man für die Bauteile Makros in mehreren Farben.
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Inhalt
Zerlegungen des Zwölfeckes / Dissections of the Dodekagon ....................................... 1
1
Spielregeln............................................................................................................ 1
1.1
Gleichschenklige Dreiecke ............................................................................ 1
1.2
Erweitertes Sortiment .................................................................................... 2
2
Beispiele ............................................................................................................... 3
3
Kommentierte Beispiele...................................................................................... 27
3.1
Sonderformen.............................................................................................. 27
3.1.1
Spezielles Parallelogramm................................................................... 27
3.1.2
Konkaves Viereck ............................................................................... 28
3.1.3
45°-60°-75°-Dreieck............................................................................ 29
3.1.4
30°-45°-105°-Dreieck.......................................................................... 30
3.2
Zwölfeck mit Diagonalen ............................................................................ 31
3.3
Bild des 6D-Würfels.................................................................................... 32
3.4
Unendliche Folgen ...................................................................................... 33
3.4.1
Häufungspunkt bei 12 Uhr................................................................... 33
3.4.2
Häufungspunkt im Zentrum ................................................................. 34
3.5
Fraktal......................................................................................................... 36
4
Das Zwölfeck...................................................................................................... 36
4.1
Einfache Konstruktion................................................................................. 36
4.2
Flächeninhalt............................................................................................... 37
5
Zeichentechnik.................................................................................................... 37
Inhalt .......................................................................................................................... 38