Vorkurs Mathematik Intensiv Mengen, Teilmengen

Prof. Dr. J. Dorfmeister
und Tutoren
Vorkurs Mathematik Intensiv
TU München
WS 06/07
Mengen, Teilmengen – Musterlösung
1. Gegeben sind die Teilmengen A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10} und D = {5, 6, 7, 8, 9, 10} in der
Obermenge M = {1, . . . , 15}. CΩ X bezeichne das Komplement der Menge X ⊆ Ω in der Menge Ω.
(a) Geben Sie die Mengen A ∪ B, A \ D, D \ B, D \ (A ∪ B), CA∪B D, A ∩ (CM B) an.
(b) Geben Sie eine Grundmenge G ⊂ M an, so dass für das Komplement von A ∪ B ∪ D in G gilt:
CG (A ∪ B ∪ D) = {11, 12}
Lösung:
(a)
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A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A \ D = {1, 3}
D \ B = {5, 7, 9}
D \ (A ∪ B) = ∅
CA∪B D = {1, 2, 3, 4}
A ∩ (CM B) = A
(b) G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
2. Seien M,N Teilmengen der Menge X
Zeigen sie:
(M ⊆ N ) ⇔ X \ N ⊆ X \ M
Lösung:
(M ⊆ N ) ⇔ (x ∈ M → x ∈ N ) ⇔ (x ∈
/N →x∈
/ M) ⇔ X \ N ⊆ X \ M
3. Zeichnen Sie Punktmengen A,B und C, die die folgenden vier Bedingungen zugleich erfüllen:
(a) A ∩ B ∩ C = ∅
(b) A ∩ B 6= ∅
(c) B ∩ C 6= ∅
(d) A ∩ C 6= ∅
Geben Sie daraufhin Zahlenmengen möglichst kleiner Mächtigkeit an, die diese Bedingungen erfüllen.
Lösung:
A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {2, 3}
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4. Gegeben seien die Mengen A = {x; x ∈ 2N}; B = {y; y ∈ (2Z + 1)}; C = {u; u ∈ 3N}; D = Z.
(a) Bestimme eine mögliche Teilmenge T1 ⊆ {D \ {A ∪ B}}.
Lösung:
T1 = {z; z ∈ 2Z− }
(b) Gib T2 = B ∩ C an!
Lösung:
T2 = {v; v ∈ 3(2N0 + 1)}
(c) Gib T3 = C \ B an!
Lösung:
T3 = {w; w ∈ 6N}
5. Es sei R die Menge der reellen Zahlen. Bestimmen Sie für die beiden Mengen
A = {x ∈ R|x ≤ 2 ∨ x > 3}
und
B = {x ∈ R|x ≥ 1 ∧ x < 3}
jeweils das Komplement CR A und CR B sowie A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
Veranschaulichen Sie sich die entstehenden Mengen an einem Zahlenstrahl.
Lösung:
• CR A = (2, 3]
• CR B = (∞, 1) ∪ [3, ∞)
• A ∪ B = R \ {3}
• A ∩ B = [1, 2]
• A \ B = (∞, 1) ∪ (3, ∞)
• B \ A = (2, 3)
6. A, B und C seien Teilmengen einer Grundmenge G. Die folgenden Aussagen sind entweder wahr
oder falsch. Geben Sie einen Beweis an für die wahren bzw. ein Gegenbeispiel für die falschen
Aussagen an.
(a) Wenn A ∪ B = A ∪ C ist, dann ist B = C.
(b) Wenn A \ B = A ist, dann ist B = ∅.
Lösung:
(a) Gegenbeispiel: A = {1, 2} , A = {1} , B = {2}
(b) Gegenbeispiel: A = {1} , B = {2}
7. Es gibt drei Verdächtige für einen Mord: a, b oder c. Genau einer von ihnen hat den Mord begangen.
Beim Verhör sagen sie folgendes aus:
a: Ich war es nicht. Außerdem war ich gar nicht am Tatort.
b: Ich war es nicht. Außer mir war auch noch c am Tatort.
c: Ich war es nicht. Der Mörder ist a. b war nicht am Tatort.
Unter der Annahme, dass die Unschuldigen die Wahrheit gesagt haben, finde man den Täter.
Lösung:
Es sei M die Menge der Verdächtigen am Tatort:
1. Fall: a ist der Täter ⇒ (b ∈ M ∧ c ∈ M ) ∧ b ∈
/ M ⇒b∈M ∧b∈
/ M Widerspruch!
2. Fall: b ist der Täter ⇒ a ∈
/ M ∧ (a ∈ M ∧ b ∈
/ M) ⇒ a ∈ M ∧ a ∈
/ M Widerspruch!
√
3. Fall: c ist der Täter ⇒ a ∈
/ M ∧ (b ∈ M ∧ c ∈ M )
Also ist c der Täter.
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8. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
(a) (A ∪ B) ∪ (A \ B)
(b) (A ∪ B) \ (B \ A)
(c) (A ∪ B) ∩ (A \ B)
Lösung:
(a) A ∪ B
(b) A
(c) A \ B
9. Gegeben sei eine Menge M von Studenten. 70 % der Menge kennen Prof. S, 50 % der Menge kennen
Prof. C. 40 % kennen Prof. S und Prof. C, 30 % kennen Prof. C und Prof. R, 30 % kennen Prof. S
und Prof. R. 20 % der Studenten kennen alle drei Professoren. 10 % kennen keinen der Professoren.
Gesucht ist der Prozentsatz der Studenten, die Professor R kennen.
Lösung:
Also kennen 50 % Professor R.
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