Theoretische Informatik I

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Wintersemester 2010/11
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Theoretische Informatik I
Die Bedingungen für die Erbringung einer Prüfungsvorleistung finden Sie
auf der Webseite zur Vorlesung. Abgabe bis Montag, 29.11.2010, 15:30
Uhr, im Briefkasten vor 1/266. Es sind nur Einzelabgaben erlaubt. Begründen Sie Ihre Antworten.
Bitte beachten: Abgaben heften und Name, Matrikelnummer sowie Studiengang in Druckschrift auf die Abgabe. Geben Sie außerdem die genaue
Übungsgruppe an, in der Sie sind.
7. Aufgabe
Aufgabe 7a [5 Punkte] Wir betrachten die Grundmenge X = {1, 2, 3}. Es gibt
genau ein Matroid (X, M∗ ) mit {1, 2, 3} ∈ M∗ . Welche Mengen genau sind in diesem
eindeutigen M∗ enthalten? Beweisen Sie, dass (X, M∗ ) tatsächlich ein Matroid ist.
Aufgabe 7b [5 Punkte] Wir betrachten die Grundmenge X = {1, . . . , 10}. Für
Grenzen l, r ∈ X sei I(l, r) = {x ∈ X | l ≤ x ≤ r}.
Sei nun M = {I(l, r) | l, r ∈ X} die Menge aller Intervalle aus X. Wir betrachten
das System (X, M). Überprüfen Sie für jede der drei Matroideigenschaften M1–M3,
ob sie gilt. Falls eine Eigenschaft gilt, beweisen Sie dies. Falls nicht, geben Sie ein
Gegenbeispiel an (d.h. für welche Mengen aus M die Eigenschaft verletzt ist).
Bitte wenden!
Aufgabe 7c [5 Punkte] Wie üblich sei ein Graph ein Baum falls er zusammenhängend
und kreisfrei ist, und ein Wald, falls alle Zusammenhangskomponenten Bäume sind.
Wir betrachten folgenden Graphen G = (V, E):
1
2
3
4
Sei X = E und enthalte M genau die Teilmengen E 0 ⊆ E, so dass G0 = (V, E 0 )
ein Wald ist, in dem genau eine Zusammenhangskomponente mehr als einen Knoten
enthält.
1. Welche Mengen sind in M enthalten?
2. Überprüfen Sie (inkl. Beweis oder Gegenbeispiel), ob die Matroideigenschaften
M1 und M2 gelten für das System (X, M).
Aufgabe 7d [5 Punkte] Es sei a1 , . . . , an eine Folge von paarweise verschiedenen
natürlichen Zahlen, die wir aufsteigend sortieren wollen. Ein Paar (i, j), 1 ≤ i < j ≤
n, ist ein Fehlstand falls ai > aj ist.
Wir betrachten folgenden Sortieralgorithmus: Solange es noch mindestens einen
Fehlstand (i, j) gibt, wähle einen solchen aus und vertausche ai und aj . Wenn kein
Fehlstand mehr existiert, wird a1 , . . . , an ausgegeben.
1. Wieviele Fehlstände kann es maximal in a1 , . . . , an geben?
2. Zeigen Sie: In jedem Schleifendurchlauf des Algorithmus, d.h. mit jeder Vertauschung, sinkt die Anzahl der Fehlstände um mindestens 1.
3. Wie groß ist also die Worst-Case-Laufzeit des Sortieralgorithmus?