Lineare Algebra I - Mathematik, TU Dortmund

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Detlev Hoffmann
Stefan Höppner / Sven Wagner
Wintersemester 2011/2012
Übungsblatt 1
11.10.2011
Lineare Algebra I
Aufgabe 1.1:
(a) Negieren Sie die folgenden Aussagen:
(i) Alle Studenten der TU Dortmund wohnen in Dortmund.
(ii) Studiert ein Student im Hauptfach Mathematik, dann studiert er im Nebenfach
Physik.
(iii) Das Essen in der Mensa ist nahrhaft und lecker.
(b) Geben Sie die Kontraposition der folgenden Aussagen an:
(i) Studiert ein Student im Hauptfach Mathematik, dann studiert er im Nebenfach
Physik.
(ii) Kommt die S-Bahn zu spät, dann wartet der Dozent mit der Vorlesung.
(iii) Wird ein Minitest geschrieben, dann lernen alle Studenten fleißig.
Aufgabe 1.2:
Betrachten Sie die folgende Menge von Paaren ganzer Zahlen.
M = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), . . .}
Sind die folgenden Aussagen für alle ganzen Zahlen n und m mit n ≥ 1 und m ≥ 1 wahr?
Begründen Sie Ihre Antworten.
(a) Es gibt eine ganze Zahl k mit n < k < m oder (n, m) ∈
/ M.
(b) Für das Paar (n, m) gilt: Ist n gerade, dann ist m ungerade.
(c) Ist (n, n) ∈ M , dann ist auch (n, n + 1) ∈ M .
(d) Ist (n, m) ∈ M , dann ist auch (n + 1, m + 1) ∈ M .
(e) Ist (n, m) ∈ M , dann ist auch (n − 1, m − 1) ∈ M .
Aufgabe 1.3:
Zu zwei Mengen A und B sei die symmetrische Differenz folgendermaßen definiert:
A 4 B := (A \ B) ∪ (B \ A).
Überprüfen Sie die Wahrheit der folgenden Aussagen für beliebige Mengen A, B, C, indem
Sie jeweils beide Inklusionen überprüfen. Geben Sie ein Gegenbeispiel an, wenn eine der
Aussagen nicht für alle Mengen A, B, C wahr ist.
(a) A 4 ∅ = A
(b) A 4 A = ∅
(c) A 4 B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
(d) A 4 B = B 4 A
(e) (A 4 B) ∪ C = (A ∪ C) 4 (B ∪ C)
(f) (A 4 B) ∩ C = (A ∩ C) 4 (B ∩ C)
Aufgabe 1.4:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Zuordnungsvorschriften eine Abbildung M → N definieren. Wenn ja, geben Sie außerdem an, ob die jeweilige Abbildung injektiv oder surjektiv
ist. Beweisen Sie Ihre Aussagen.
(a) M = {a, b, c, d, e}, N = {1, 2, 3, 4, 7}, a 7→ 4, b 7→ 1, c 7→ 7, d 7→ 1, e 7→ 2
(a, b, c, d, e sind Buchstaben)
(b) M = {A, B, C}, N = {A, 2, 4}, A 7→ 4, B 7→ A, C 7→ 2
(c) M =
{ 11 , 25 , 32 , 13 , 22 }
(A, B, C sind Buchstaben)
⊆ Q, N = {(1, 1), (2, 5), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)},
x
y
7→ (x, y)
(d) M = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, N = {∅, {∅}}, X 7→ X \ {∅}
(e) M = {0, 1}3 = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1} = N , (x, y, z) 7→ (x2 , y 3 , z 4 )
(f) M = {0, 1}3 = N , (x, y, z) 7→ (yz, xz, xy)
Aufgabe 1.5:
Untersuchen Sie die folgende Abbildungen.
(a) f : R3 → R2 , (x, y, z) 7→ (x + 2y, 2y + 3z).
Zeigen Sie, dass
f ((x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 )) = f (x, y, z) + f (x0 , y 0 , z 0 )
für alle (x, y, z), (x0 , y 0 , z 0 ) ∈ R3 gilt.
(b) g : {C | C ⊆ A} → {D | D ⊆ B}, C 7→ C ∩ B, wobei A eine Menge und B eine
Teilmenge von A sei.
Zeigen Sie, dass
g(C1 4 C2 ) = g(C1 ) 4 g(C2 )
für alle C1 , C2 ⊆ A gilt.
Abgabe bis Mittwoch, den 19. Oktober, 12 Uhr in die Briefkästen im Eingangsbereich.