Übungsblatt 7 Geometrische und Technische Optik WS 2012/2013

Übungsblatt 7
Geometrische und Technische Optik WS 2012/2013
Astronomische Teleskope (Parabolspiegel, Kugelspiegel, Schmidt-Kamera)
Ein einfaches astronomisches Teleskop, das ein Bild auf einem photographischen Film
erzeugen soll, besteht aus einem einzigen Spiegel.
a) Betrachten Sie einen sphärischen Hohlspiegel mit Krümmungsradius R=1000 mm und
einem Durchmesser von 300 mm. Der Spiegel wird nun mit ebenen Wellen (unendlich
weit entfernten Objektpunkten, wie z.B. einem Stern) unter 0o, 0.25o, 0.5o, 1o und 2o
beleuchtet. Die Wellenlänge sei =500 nm. Setzen Sie eine kreisförmige Blende mit
einem Durchmesser von 200 mm zuerst kurz vor den Spiegel, dann in die Brennebene des
Spiegels und schließlich in die Ebene, in der sich der Krümmungsmittelpunkt des Spiegels
befindet. Setzen Sie sinnvollerweise gleich bei der Lichtquelle die Strahleintrittspupille
auf die Position der Blende, dann können Sie sich die physikalische Blende auch sparen.
Berechnen Sie die Positionen der Bildpunkte und betrachten Sie die Aberrationen
(Spotdiagramm, Wellenaberration, Zernike-Polynome). Welche Blendenposition ist die
sinnvollste und welche Aberrations-Typen gibt es bei dieser Blendenposition ?
b) Benutzen Sie nun anstatt des sphärischen Spiegels einen parabolischen Spiegel mit
gleichem Krümmungsradius und gleichem Durchmesser. Auch die Beleuchtungswellen
seien die gleichen und setzen Sie die Blende an die Position, die sie bei der Aufgabe a) als
sinnvollste herausgefunden haben.
Berechnen Sie wieder die Aberrationen und vergleichen Sie diese mit der Aufgabe a).
c) Wir wollen nun eine Schmidt-Kamera konstruieren. Dazu wird in die Ebene des
Krümmungsmittelpunktes des sphärischen Spiegels von a) eine sogenannte Schmidt-Platte
aus BK7 gestellt. Die Schmidt-Platte soll die sphärische Aberration korrigieren. Um diese
zu berechnen, setzen wir in den Brennpunkt des Spiegels eine Punktlichtquelle und
leuchten den Spiegel auf mindestens 200 mm Durchmesser (besser 220 mm) aus. In der
Ebene des Krümmungsmittelpunktes haben wir dann eine mit sphärischer Aberration
behaftete ebene Welle. Die Schmidt-Platte soll aber gerade diese Aberrationen
korrigieren. Deshalb fitten wir in dieser Ebene eine Phasenfunktion
(Rotationssymmetrisches Polynom, Grad 6, nur gerade Potenzen) an und berechnen uns
eine asphärische Oberfläche, die gerade diese Aberrationen kompensiert. Zur
Umrechnung der Phasenfehler in Oberflächenabweichungen verwenden wir die
Gleichung:
n  1d     d   
2
n  1 2
Die Größe /2 wird gerade vom Programm ausgerechnet (Phase in Vielfachen von 2
bzw. einer Wellenlänge). Die entsprechenden Koeffizienten des Phasen-Polynoms müssen
also nur noch mit /(n-1) multipliziert werden, um die Koeffizienten der asphärischen
Fläche zu erhalten.
Berechnen Sie nun die Aberrationen ? Welche treten noch auf ? Betrachten Sie nun
außerdem noch die chromatischen Aberrationen für 450 nm, 550 nm und 650 nm
Wellenlänge.
d) Geben Sie eine Plankonvex-Linse aus BK7 mit gleicher NA und gleicher Brennweite wie
bei dem Hohlspiegel aus a) ein und vergleichen Sie die sphärische Aberration mit der des
sphärischen Hohlspiegels.
Lösung:
Zu a)
Die Brennweite des Spiegels ist 500 mm. Liegt die Blende nahe am Spiegel oder in der
Brennebene, so gibt es für außeraxiale Punkte Koma und Astigmatismus (neben den
anderen Aberrationen, die auch bei der idealen Blendenlage auftreten). Liegt die Blende in
der Ebene des Krümmungsmittelpunktes, so ist das System vollkommen symmetrisch
bezüglich einer schiefen Beleuchtung und es gibt nur noch sphärische Aberration und
Bildfeldwölbung.
Die
Bildschale
ist
eine
Kugeloberfläche
um
den
Krümmungsmittelpunkt, hat also 500 mm Krümmungsradius.
Zu b)
Der parabolische Spiegel hat auf der Achse keine Aberrationen. Für außeraxiale Punkte
zeigt sich aber starke Koma und mit zunehmendem Feldwinkel auch Astigmatismus.
Zu c)
Die Phasenfunktionskoeffizienten betragen:
a2=-1.099e-6/mm2; a4=-4.996e-7/mm4, a6=-7.900e-13/mm6
Hinweis: Die exakten Werte insbesondere des parabolischen Terms hängen davon ab, wie
groß Sie den ausgeleuchteten Bereich bei der Berechnung wählen. Die oben genannten
Werte wurden bei einem Radius von 120 mm ermittelt. Allerdings ändert dies am
Ergebnis kaum etwas, da der parabolische Term nur zu einer minimalen Verschiebung des
Fokus längs der optischen Achse führt, so dass man ihn eigentlich auch gleich auf Null
setzen könnte. Wichtig sind dagegen der Term 4. Ordnung und, wenn auch schon deutlich
weniger wichtig, der Term 6. Ordnung.
Mit =0.0005 mm und n(500 nm)=1.521415 erhält man für die Asphären-Koeffizienten:
a2’=-1.054e-9/mm; a4’=-4.791e-10/mm3, a6’=-7.576e-16/mm5
Der Koeffizient a2’ kann auf zwei Weisen eingegeben werden. „Saubere Lösung“: K=-1
und C=2a2’ und a2=0 bei der asphärischen Fläche, da damit der konische Term zu einer
Parabel wird. „Intuitivere Lösung“: direkt bei a2 eingeben und den Krümmungsradius des
konischen Terms auf einen sehr großen Wert setzen. Diese Lösung wurde in der Übung
vorgeschlagen, ist aber nicht ganz sauber, da ein Restfehler im endlichen Wert des
Krümmungsradius bleibt.
Die sphärische Aberration tritt nun nicht mehr auf und die Punktbildaberrationen sind
praktisch alle Null. Nur die Bildfeldwölbung bleibt nach wie vor erhalten und die
Bildschale ist eine Kugel um den Krümmungsmittelpunkt des sphärischen Spiegels.
Außerdem führt die Schmidt-Platte chromatische Aberrationen ein.
Zu d)
Die Plankonvexlinse zeigt fast 10-fach höhere sphärische Aberration als der sphärische
Spiegel.
Zusatzanmerkung:
Die Schmidt-Platte zeigt gewisse chromatische Aberrationen. Diese können zum Teil
korrigiert werden, indem ähnlich wie bei einem Achromaten zwei verschiedene
Materialien genommen werden. Es sind zwar auf diese Weise zwei Asphären nötig, so
dass die Herstellung in der Praxis schwierig sein wird. Vom wissenschaftlichen
Standpunkt aus ist es aber interessant und mit neuen Herstellungsverfahren könnte auch
die Herstellung einfacher werden.
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Es bezeichne d1 die Dicke der ersten Platte mit Brechzahl n1 und d2 die Dicke der zweiten
Platte mit Brechzahl n2. Die zu korrigierende Wellenfront wird durch die Funktion f(r)
(optischer Gangunterschied in Luft) beschrieben, die nur vom Ort, nicht aber von der
Wellenlänge abhängt. Für den Gangunterschied sollte dann gelten:
r 
f r   
 n1 d1  d1  n2 d 2  d 2
2
Dabei ist  die Phasenfunktion und  die jeweilige Wellenlänge, bei der die
Phasenfunktion berechnet wurde.
Um Achromasie bei den Wellenlängen 1 und 2 zu erzielen, muss gelten:
n1 1 d1  d1  n2 1 d 2  d 2  n1  2 d1  d 1  n 2  2 d 2  d 2
 d 2  d1
n
n1 1   n1  2 
 d1 1
n 2
n2  2   n 2 1 
mit ni : ni 1   ni  2  und i  1,2

Weiterhin definieren wir eine Brechzahl n i : ni  bei einer zentralen Wellenlänge  .
Bei dieser Wellenlänge soll die Aberration exakt korrigiert werden, also:
n1 d1  d1  n 2 d 2  d 2  f







n 
 d1 n1  1  d 2 n 2  1  d1  n1  1  n 2  1 1   f
n2 

f
 d1 
n
n1  1  n 2  1 1
n2
Weiterhin braucht man zur Beschreibung der zweiten Fläche die Summe aus den beiden
Dicken:


n 
n 
f
1  1 
d1  d 2  d1 1  1  
 n 2  n1  1  n 2  1 n1  n2 
n 2
Verwendet man als Materialien BK7 (Material 1) und SF10 (Material 2) und die
Wellenlängen 1  400 nm,   546 nm und  2  700 nm , so gilt:
n1 1   1.530848




n1  2   1.513066

n1  n1   1.518725
n1  0.017782
n2 1   1.778248
n2  2   1.717291

n 2  n2   1.734315
n2  0.060957
Es gilt also:
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d1  3.28391 f
d 2  0.95796 f
d1  d 2  2.32595 f
Die Koeffizienten der Funktion f betragen (Koeffizienten a2, ... mit =0.0005 mm und –1
multiplizieren, der Faktor –1 ist nötig, da die Schmidtplatte ja die Aberrationen
kompensieren soll):
a 2, f  5.495e  10 / mm
a 4, f  2.498e  10 / mm 3
a 6, f  3.95e  16 / mm 5
Damit berechnen sich die Koeffizienten der beiden asphärischen Flächen zu:
a 2,d 1  1.805e  9 / mm
a 4,d 1  8.203e  10 / mm 3
a 6,d 1  1.297e  15 / mm 5
a 2,d 1 d 2  1.278e  9 / mm
a 4,d 1 d 2  5.810e  10 / mm 3
a 6,d 1 d 2  9.188e  16 / mm 5
Mit dieser achromatischen Schmidt-Platte ergeben sich um fast den Faktor 10 geringere
Farblängsfehler als bei der einfachen Schmidt-Platte. Auch der Spotdurchmesser ist
deutlich reduziert.
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