5.2 Druck in Flüssigkeiten Höheres Wkin der Moleküle in Flüssigkeit

5.2 Druck in Flüssigkeiten
Kap5_2_Druck_in_:Flüss_fs3_06_01_05
Höheres W kin der Moleküle in Flüssigkeit (Brownsche Molekularbewegung!) leichte
Verschiebbarkeit: Flüssigkeit hat nur Volums- keine Gestaltselastizität.
Typischer WErt für Kompressionsmodul K = 2 ∗ 10 9 → ∆V
= 5 ∗ 10 −9 p (d.h. unter einem
V
Druck von 1 Pa verringert sich das Volumen einer Flüssigkeit nur um fünf Milliardstel seines
unrsprünglichen Volumens, oder: um eine Flüssigkeit auf die Hälfte ihres ursprünglichen
Volumens zu komprimieren, wäre nach dem Hooke’schen Gesetz ein Druck von 5 10 8 Pa
erforderlich ...)
Weitere Folge: p wirkt in jeder Richtung im Gegensatz zum starren Körper. (Pascal’sches Prinzip)
(Fester Körper: Analog zur Querkontraktion/Dilatation: Material weicht seitlich aus, bis elast.
Gegenkräfte die seitlich wirkenden Druckkräfte kompensieren)
Hydraulische Presse: Kolben mit unterschiedlichen Querschnitten A 1,2 in gegebenem
Flüssigkeitsvolumen
V ≈ const. → A 1 dx 1 = A 2 dx 2
Energieerhaltung:F 1 dx 1 = F 2 dx 2 →
dx 1
dx 2
=
=
A2
A1
→
F2
F1
F2 =
A2
A1
F1
P in Flüssigkeiten:
dz
dA x2
p
p‘
dA‘x2
z
dx
dy
y
x
Infinitesimaler Würfel mit dV betrachtet: dA x i , dA x i gegenüberliegende Seiten senkrecht auf e x i ,
∂p
dx i
vor denen Druck p, p herrscht, mit p = p + ∂x
i
∂p
∂p
dx i ) dA x i = − ∂x
dx i dx j dx k für dA x i = dA x i
Dann ist dF x i = pdA x i − p d A x i = pdA x i − (p + ∂x
i
i
und i,j,k voneinander verschieden, d.h. dx i dx j dx k = dxdydz = dV
Weiter gilt dann: dF = dF x i e x i = − ∂x∂ i (p)e x i dV = −∇pdV
dF = −∇pdV
Das Minus-Zeichen bedeutet: wenn p mit x i abnimmt: resultierendes F x i > 0 !
Hydrostatischer Druck, Auftrieb, Schwimmen
Flüssigkeit im Schwerefeld:
z
p
o
o b e n
z
o b e n
h
z
z
p
zunächst anschaulich:
ρ Vg
p hydr = mg
= FlA =
A
ρ Fl Ahg
A
u n te n
u n te n
= ρFl gh wenn h = z 0 − z der Abstand des betrachteten Ortes mit z
von der Flüssigkeitsoberfläche z 0 ist. ρFl ... Dichte der Flüssigkeit.
Ein zur Gänze eingetauchter Körper mit der Höhe h = z oben − z unten erfährt somit an seiner oberen
Fläche einen geringeren Druck als an seiner unteren, er erfährt damit eine nach oben gerichtete
Kraft F = F z e z mit
F z = (p unten − p oben )A = ρFl g(z oben − z unten )A = ρFl ghA = ρFl gV Körper > 0
Archimedes’sches Prinzip: Auftrieb = scheinbarer Verlust des Gewichtes eines eingetauchten
Körpers = Gewicht der vom Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge.
formal:
dF = −∇pdV Da der Schweredruck in einer Flüssigkeit nur von der Eintauchtiefe und damit von z
∂p
∂x
abhängt, ist
=
∂p
∂y
= 0 und daher ∇p =
p(z) = ρFl g(z 0 − z) →
(mit dV = Adz)
∂p
∂z
= −ρFl g
∂p
∂z
ez
∇p = −ρFl ge z
dF = ρFl g dV e z = ρFl g A dz e z
F = ρFl ge z z oben
dV = ρFl ge z A(z oben − z unten ) = ρFl gV Körper e z
unten
wobei wieder z oben − z unten = h des Körpers ist
Ist diese Auftriebskraft größer als das Gewicht des Körpers, d.h. ρFl > ρKörper , so steigt der Körper
solange empor, veringert also schliesslich das eingetauchte Volumen, bis gilt
ρFl gV Körper_eingetaucht = ρKörper gV Körper , d.h. das vom eingetauchten Teil des Körpers verdrängte
Flüssigkeitsvolumen wiegt gleich viel wie der Körper selbst: der Körper schwimmt.
z
F
FAuftrieb
-FGewicht
zo-h
Zschw
zu
zo
Hydrostatisches Paradoxon
Nicht fest mit einem Gefäß verbundene Bodenplatte mit der Fläche A erfährt durch den
hydrostatischen Druck eine Kraft F = −ρFl gh Fl Ae z , die somit nur von der Füllhöhe h Fl und der
Bodenfläche A abhängt, aber nicht von der Menge der in das Gefäß gefüllten Flüssigkeit und damit
von deren Gewicht!
Kräftebilanz? Waage für Halterung des Gefäßes erklärt das scheinbare Paradoxon!
Kommunizierende Gefäße:
hFl
h´Fl
dA
e´A
eA
für eine beliebiggedachtes Flächenelement dA in einer ruhenden Flüssigkeit muß gelten:
dF ges = dF + dF = dAp + dAp = dAρFl g(h Fl − h Fl )e A = 0,
(wobei dA = dAe A , dA = dAe A und e A = −e A )
h Fl = h Fl
Dichtebestimmung
Kombinationen von Auftriebs- Volums- und Gewichtsmessung erlaubt Bestimmung der Dichte
von Flüssigkeiten und Körpern.
Mohr’sche Waage:
Waage ist in Luft (Vakuum wäre korrekter) im Gleichgewicht: Gegengewicht G kompensiert
Drehmoment des Senkkörpers.
Gewichtssatz (”Reiter”) mit m 1 so gewählt, dass bei Auflegen dieses m 1 bei l 1 der Auftrieb des
Senkkörpers in einer Flüssigkeit mit ρFl = 10 3 kg/m 3 (Wasser) gerade kompensiert wird
(Also z.B. für V SK = 1cm 3 ist dann m 1 = 1g).
Weitere Gewichte werden dann mit m 2 = 0, 1m 1 , m 3 = 0, 01m 1 etc. gewählt. Diese Gewichte
können dann bei Unterteilungen von l 1 zur Kompensation des Drehmomentes des Auftriebs des
Senkkörpers in einer beliebigen Flüssigkeit aufgelegt werden. Im Gleichgewichtszustand gilt dann
also:
M Auftrieb + M Gewichte = 0
ρFl = V1SK m i ll1i
ρFl V SK g l 1 =
mili
Für die Flüssigkeit in der Abbildung gilt dann also_
ρFl = VmSK1 (1 + 0, 3 + 0, 07 + 0, 001) = 1, 371 10 3 kg/m 3 (= 1, 371g/cm 3 )
Da der Auftrieb eines gegebenen Körpers in verschiedenen Flüssigkeiten proportional zu der
Dichte dieser Flüssigkeiten ist, kann die unbekannte Dichte einer Flüssigkeit dann auch durch
Vergleichen des Auftriebs des Körpers in dieser Flüssigkeit mit dem in einer Flüssigkeit bekannter
Dichte ρFl_bek bestimmt werden (ρKörper > ρFl , also vollständiges Eintauchen angenommen):
ρFl = ρFl_bek
F A_unbek
F A_bek
Senkwaage (Ärometer):
Für einen schwimmenden Körper (also ρKörper < ρFl ) gilt: ρFl =
m Körper
V Körper_eingetaucht
. Eine am Körper
angebrachte Skala für die Eintauchtiefe kann daher gleich in Einheiten für ρFl beschriftet werden!
(Wird häufig für einfache Konzentrationsmessungen von Lösungen verwendet, da ρLösg Konz. in
guter Näherung. Frostschutzmittel, Akku-Säure etc.)
Die Beziehung F Auftrieb = ρFl gV Körper kann auch verwendet werden, um das Volumen eines
Körpers aus der Messung des Auftriebs in einer Flüssigkeit mit bekanntem ρFl zu bestimmen.