Grundlagen - Carl-Engler

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Praktikum zur Computertechnik
Carl-Engler-Schule Karlsruhe
BS, BK, FS
Laborversuch SOUND: Grundlagen
1
Harmonische Funktionen
1.1
Funktionsgleichung
Harmonische Funktionen sind die Sinus- und die Cosinusfunktion. Sie lassen sich
beschreiben durch die Funktionsgleichungen
y x =y 0∗sin
2∗ ∗t

T
bzw.
y x =y 0∗cos
2∗ ∗t

T
Die beiden Funktionen lassen sich durch Verschiebung ineinander überführen.
Durch die Addition einer Sinus- und einer Cosinusfunktion gleicher Schwingungsdauer,
jedoch im Allgemeinen unterschiedlicher Amplitude, erhält man wieder eine harmonische
Funktion mit einer Phasenverschiebung.
Eine harmonische Funktion mit Phasenverschiebung φ hat dann die Funktionsgleichung
y x =y 0∗sin
1.2
2∗ ∗t
− 
T
bzw.
y x =y 0∗cos
2∗ ∗t
− 
T
Addition von Funktionen
Bei der Addition zweier Funktionen werden die zu einem x-Wert gehörenden y-Werte
addiert. Die dabei entstehende neue Funktion ist wieder periodisch mit der
SchwingungsdauerT1, wenn die beiden SchwingungsdauernT1 und T2 gleich sind oder
wenn T1 ein ganzzahliges Vielfaches von T2 ist.
2
Töne, Klänge, Geräusche
2.1
Töne
Töne sind akustische Schwingungen mit einer einzigen Frequenz im Frequenzbereich
zwischen 20 Hz und 20 kHz. Man kann die zugehörigen Druckschwankungen also durch
eine harmonische Funktion beschreiben. Zwischen Frequenz und Schwingungsdauer
besteht die Beziehung f = 1/T.
Die Tonhöhe wird durch die Frequenz bestimmt und die Lautstärke durch die Amplitude.
Die Phase ist vom Gehör nicht wahrnehmbar, da sie sich auf einen frei gewählten ZeitNullpunkt bezieht.
Auch die Überlagerung eines (Grund-) Tons mit anderen Signalformen (Obertöne,
Nachbarfrequenzen, Rauschen) wird noch als Ton bezeichnet, wenn der Grundton hörbar
hervortritt.
2.2
Überlagerungen
Addiert man zwei oder mehrere Tonschwingungen, spricht man auch von einer
Überlagerung. Unser Gehör kann (im Gehirn) die einzelnen Teiltöne getrennt wahrnehmen.
Es führt also ständig eine Frequenzanalyse durch. Wir hören auch leicht die Differenz
zweier Einzeltöne, obwohl dieser Ton physikalisch nicht vorhanden ist. Zwei Teiltöne mit
geringem Frequenzunterschied hören wir als periodische Lautstärkeänderung. Man nennt
sie Schwebung.
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2.3
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Klänge
Als Klang bezeichnet man die Überlagerung von Tönen, wenn die Frequenzen der
einzelnen Teiltöne in einem einfachen mathematischen Verhältnis zueinander stehen.
2.4
Geräusche
Als Geräusche werden akustische Schwingungen bezeichnet, die aus einer Vielzahl
unterschiedlicher Töne bestehen. Man kann ihnen normalerweise keine eindeutige
Tonhöhe zuordnen. Typisch hierfür ist das Rauschen.
2.5
Zeitverhalten
Töne, Klänge und Geräusche können ein stationäres Verhalten aufweisen. Die
Tonzusammensetzung und Lautstärke ist dann zeitlich konstant. Beim nichtstationären
Verhalten ändern sich diese Größen.
Ein transientes Ereignis dauert nur eine bestimmte Zeit (z.B. Knall, Glockenschlag). Dabei
ändern sich oft auch die akustischen Größen. Bei einer Glocke und vielen
Musikinstrumenten klingen die einzelnen Teiltöne unterschiedlich schnell ab, so dass sich
neben der Lautstärke auch der Klang verändert.
3
Soundkarte des Computers
3.1
Eingang
An der rosafarbenen 3,5mm-Klinkenbuchse lässt sich ein Mono- oder Stereomikrofon
anschließen (Stecker rosa oder früher rot). Die Frequenzen des Hörbereichs reichen von
etwa 20Hz bis etwa 20000Hz. Die Soundkarte kann allerdings nicht den gesamten Bereich
gleich gut verarbeiten. Vom Wechselspannungssignal des Mikrofons werden in schneller
Folge die Spannungswerte gemessen und digitalisiert (abgetastet).
Die einstellbaren Abtastfrequenzen sind 11025 Hz oder 22050 Hz oder 44100 Hz.
Jeder einzelne Wert wird mit einer Auflösung von 8 bit oder 16 bit digitalisiert. Der gesamte
Messbereich der Spannung wird dadurch in 2^8 bzw. in 2^16 Stufen eingeteilt. Die zu einer
Spannung gehörende Stufe wird als Zahl gespeichert.
Bei einem Stereo-Mikrofon wird der Abtastvorgang gleichzeitig auf zwei Kanälen
ausgeführt.
3.2
Ausgang
An der hellgrünen Klinkenbuchse lässt sich ein Mono- oder Stereo-Audio-Verstärker mit
Lautsprechern anschließen (Stecker grün oder früher weiß). Die Soundkarte setzt die
Zahlenfolgen, in denen ein Tonsignal im Speicher steht, stufenweise in Spannungen um,
die verstärkt die Lautsprechermembrane bewegen.
Die für den Eingang eingestellten Werte der Abtastfrequenz und der Auflösung gelten auch
für den Ausgang.
Eventuell ist eine Auswahl bzw. Einstellung der Soundkomponenten erforderlich:
Lautsprechersymbol – rechte Maustaste – Audioeigenschaften einstellen – Audio –
Soundaufnahme – Lautstärke (erhöhen) – auswählen
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4
Amplitudenspektrum
4.1
Auflösung im Spannungsbereich
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Die Soundkarte erzeugt aus den analogen Mikrofonsignalen zuerst Digitalsignal und
daraus Binärzahlen, die sich im Prozessor verarbeiten, bzw. im Speicher speichern lassen.
Der zugehörige elektronische Baustein ist der ADU: Analog-Digital-Umsetzer (oder ADC:
Analog Digital Converter). Bei einer Spannungsauflösung von 8 Bit wird von jedem
erfassten Spannungswert eine 8-stellige Binärzahl gebildet. Damit kann man von 0 bis 255
zählen. Der Messbereich der Spannungsmessung wird damit in 256 gleich große Intervalle
eingeteilt. Die Stufenhöhe ergibt die Spannungsauflösung. Bei einem Spannungsbereich
von z.B. +/- 1V ist jede Stufe kleiner als 10mV. Diese Stufung ist bei kleinen Signalen im
Zeitdiagramm zu erkennen.
4.2
Berechnung des Spektrums
Das Amplitudenspektrum gibt an, welche Frequenzen mit welcher Intensität (Amplitude) im
aufgenommenen Signal (Zeitsignal) enthalten sind. Es wird dazu eine bestimmte Anzahl
von Datenpunkten (Messwerten) genommen und damit eine sog. FFT (Fast Fourier
Transformation) durchgeführt. Das Ergebnis lässt sich als Säulendiagramm darstellen. Zwischen dem Zeitsignal und dem Spektrum gibt es einige wichtige Beziehungen.
4.3
Abtastfrequenz und Spektralbereich
Mit einer hohen Abtastfrequenz kann man auch die hohen Frequenzen im Signal erfassen.
Da man jedoch mindesten zwei Abtastpunkte für eine Schwingung benötigt, geht der
Frequenzbereich im Spektrum (Spektralbereich) nur bis zur Hälfte der Abtastfrequenz.
Wenn man also mit 22050 Hz abtastet, kann man nur Frequenzen bis 11025 Hz erfassen.
Wenn höhere Frequenzen im Signal enthalten sind, führen diese zu Störungen im Ergebnis
(Aliasing-Effekt). Im Signal einer einfachen Soundkarte sind meist keine großen
Frequenzanteile über 10 kHz enthalten.
4.4
Blocklänge und Frequenzauflösung
Für die Berechnung der Fourier-Transformation wird eine feste Anzahl von Abtastwerten
benötigt. Dies ist die Blocklänge. Lässt sich die Blocklänge als Zweierpotenz angeben, wird
die Berechnung besonders schnell. Daher sollte die Blocklänge einen der Werte 256, 512,
1024, 2048, 4096, ... erhalten. Die Blocklänge hat einen Einfluss auf die Anzahl der
einzelnen Spektrallinien (Frequenzwerte). Man erhält halb so viel Spektrallinien wie die
Anzahl der Werte im Block. Eine große Blocklänge führt also zu einer besseren
Frequenzauflösung, erhöht aber auch die Rechenzeit.
4.5
Abtastfrequenz und Spektralbereich
Die Abtastpunkte werden mit einer bestimmten Frequenz, der Abtastfrequenz f erfasst. Sie
haben also haben einen zeitlichen Abstand ∆t. Da jede Tonschwingung mit mehreren
Abtastpunkten erfasst werden muss, ist die Abtastfrequenz höher als die doppelte, höchste
Tonfrequenz. In der Akustik der Soundkarte sind die Werte 11025Hz, 22050Hz und
44100Hz üblich. Bei einer Abtastfrequenz von 11025Hz reicht das Spektrum also bis
5012Hz.
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4.6
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Amplituden- und Phasenspektrum
Um die gesamte Information des Zeitsignals nicht zu verlieren, muss zu jedem
Frequenzanteil auch die zugehörige Phasenverschiebung berechnet werden. Da unser
Gehör für die Phasen aber nicht empfindlich ist, wird bei der praktischen Anwendung oft
nur das Amplitudenspektrum dargestellt. Daher lässt sich dann zwar der Klang wieder aus
dem Amplitudenspektrum rekonstruieren, nicht aber der genaue Verlauf des Zeitsignals.
Übersicht zu den LabVIEW-Programmen:
sound101.vi
Tongenerator für die Soundkarte (Signalform, Frequenz, Lautstärke)
sound102.vi
Zwei Sinustöne zur Überlagerung, Ausgabe Soundkarte
sound103.vi
Tongenerator für Sinus und Rauschen
sound104.vi
Tongenerator zur Überlagerung von Obertönen
sound106.vi
Averaging eines Spektrums
analyzer01.vi Aufnahme eines stationären Tonsignals, Signalverlauf und
Amplitudenspektrum
stft05.vi
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Sonogramm eines transienten Tonsignals
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