Protokoll zum Doppelversuch M5/S1: Der freie Fall

Protokoll zum Doppelversuch M5/S1:
Der freie Fall / Reversionspendel
Bestimmung von g
Tobias F
Abgabedatum: 24. April 2007
INHALTSVERZEICHNIS
1
Inhaltsverzeichnis
1 Der freie Fall - Bestimmung von g (Versuch M5)
1.1 Klärung des physikalischen Zusammenhangs . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Gleichförmige und Gleichförmig Beschleunigte Bewegung
1.1.2 Gravitation und die Newtonschen Axiome . . . . . . . . .
1.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Messwerte und Angabe der Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Auswertung mit Rücksicht auf mögliche Fehler . . . . . . . . . .
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2
2
2
2
3
3
3
4
2 Reversionspendel (Versuch S1)
2.1 Klärung des physikalischen Zusammenhangs . . . . . . . . .
2.1.1 Die Pendelschwingung als harmonische Schwingung .
2.1.2 Das Hookesche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Der Steinersche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Das Mathematische Pendel . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Das Physikalische Pendel . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Reversionspendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Güte der Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Messwerte und Angabe der Fehler . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Auswertung mit Rücksicht auf mögliche Fehler . . . . . . .
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5
5
5
5
6
7
7
7
7
8
8
8
10
3 Literaturverzeichnis
3.1 Quellennachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
4 Anhang
4.1 Diagramme in A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
5 Bilder und Tabellen
16
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1
DER FREIE FALL - BESTIMMUNG VON G (VERSUCH M5)
1
1.1
2
Der freie Fall - Bestimmung von g (Versuch M5)
Klärung des physikalischen Zusammenhangs
Als Grundlagen für den Versuch dienen die Prinzipien der gleichförmigen und der
beschleunigten Bewegung, ebenfalls darf das Grundverständnis der Gravitation vorausgesetzt werden.
1.1.1
Gleichförmige und Gleichförmig Beschleunigte Bewegung
Um die Bewegung von Massepunkten zu verstehen, muss man Ort, Geschwindigkeit
und Beschleunigung in Beziehung zueinander setzen. Die Geschwindigkeit ~v ist die
Ortsänderung ~r˙ über einen Zeitraum ∆t → 0, also
~v (t) := lim
∆t→0
d~r
~r(t + ∆t) − ~r(t)
=
= ~r˙ .
∆t
dt
(1)
Nach demselben Prinzip ist die Beschleunigung ~a als Ableitung der Geschwindigkeit
~v˙ definiert:
~a(t) := lim
∆t→0
d~v
~v (t + ∆t) − ~v (t)
=
= ~v˙ .
∆t
dt
(2)
d~v
d2~r ¨
= ~v˙ =
= ~r .
dt
dt
(3)
Insgesamt gilt also
~a =
In unserem Fallexperiment haben wir es mit einer eindimensionalen Bewegung zu
tun, was eine Betrachtung der reinen Beträge der gemessenen Beschleunigungen
rechtfertigt.
Mit diesen Beziehungen ist es leicht, gleichförmige Bewegung als Bewegung mit
~v = const und gleichförmig beschleunigte Bewegung durch ~a = const zu definieren.
Legt man ein Bezugssystem zu Grunde, in welchem ~x(t = 0) = x0 = 0 und ~v (t =
0) = v0 = 0, so ergibt sich nach einfacher bzw. zweifacher Aufleitung von ~a für die
Geschwindigkeit ~v (t) = ~a · t und für den Ort ~x(t) = 21 ~a · t2 . [vp05]
1.1.2
Gravitation und die Newtonschen Axiome
Jeder Massepunkt hat ein radiales, konservatives Kraftfeld, welches bewirkt, dass
zwischen allen Massepaaren m, M eine anziehende Kraft wirkt.
Das grundsätzliche Verständnis erfordert nun den Begriff der Kraft. Am brauchbarsten sind die Newtonschen Axiome (nach Sir Isaac Newton, 1642-1727), welche
die Basisdefinition der Wirkung von Kräften liefern.
Das erste Axiom (Trägheitsprinzip) besagt, dass die Geschwindigkeit ~v eines Körpers
konstant ist, wenn die Summe aller Kräfte F~ gleich 0 ist. Das ist im theoretischen
Bild mit Massepunkten erst der Fall, wenn sämtliche Massen sich zu einer einzigen
vereint haben, da hier Massen keine Ausdehnung haben. Wenn wir allerdings das
Beispiel des freien Falls im Gravitationsfeld betrachten, sehen wir, dass, solange wir
die Verformung der Körper außer Acht lassen, dieses Kräftegleichgewicht (Equilibrium) eingetreten ist, wenn der sprichwörtliche Apfel die Erde berührt.
Nach dem zweiten Axiom sind Richtung der Kraft F~ und der Beschleunigung ~a
gleich, ihr Betrag proportional und der Betrag von Masse und Kraft ebenfalls proportional, experimental hat Newton ermittelt, dass jenes Verhältnis
F~ ∝ m · ~a
(4)
1
DER FREIE FALL - BESTIMMUNG VON G (VERSUCH M5)
3
gilt. Dieses Axiom werden wir im Experiment für ein Massestück und dessen Erdanziehung nachweisen können. Im SI gilt dann sogar F~ = m · ~a.
Das dritte Axiom, auch Actio-Reactio-Prinzip genannt, sagt, dass die Kraft, welche
ein Massepunkt A auf den anderen Massepunkt B ausübt, auch von letzterem auf
ersteren Körper wirkt. Also gilt F~A→B = F~B→A . Dadurch erst tritt die Gravitation
zwischen Erde und den vielfach masseärmeren Körpern auf ihr ein.
1.2
Versuchsaufbau
Abb. 1: Kugelfallmaschine [PP05]
Für diesen Versuch benutzen wir eine Kugelfallmaschine. Die Vorrichtung ermöglicht es, die Fallzeit t einer Kugel abhängig von der Fallhöhe h elektronisch zu
messen (siehe Abbildung 1). Die Fallhöhe darf bis zu 30 cm betragen.
1.3
Durchführung
Wir haben elf verschiedene Fallhöhen frei gewählt (siehe Tabelle 1). Die Wahl dieser
fiel nicht ganz äquidistant aus, da die Geschwindigkeit während des Falls zunimmt.
Damit die gemessenen Zeiten also weit genug auseinanderliegen, erschien es sinnvoll,
die höheren Fallhöhen großzügiger abzumessen.
Für jede der elf Fallhöhen wurde fünfmal gemessen und an Ort und Stelle der
Mittelwert für jede Fallhöhe bestimmt.
1.4
Messwerte und Angabe der Fehler
Als Fehler kann man einerseits ∆t = 0.05 ms der Zeitnahme als Genauigkeit des
Geräts ablesen, andererseits haben wir unser ∆h = 0.5 mm, den Fehler bei der
1
DER FREIE FALL - BESTIMMUNG VON G (VERSUCH M5)
4
Tab. 1: Messwertetabelle des Fallversuchs (exakte Abschrift des Originals)
P
1
ti /s
h/m t1 /s
t2 /s
t3 /s
t4 /s
t5 /s
n
0.06 0.111 0.111 0.111 0.111 0.110
0.111
0.08 0.128 0.128 0.129 0.128 0.129
0.128
0.10 0.143 0.143 0.142 0.143 0.142
0.143
0.12 0.156 0.156 0.155 0.157 0.156
0.156
0.15 0.175 0.176 0.174 0.173 0.174
0.174
0.14 0.169 0.168 0.168 0.168 0.168
0.168
0.16 0.180 0.180 0.180 0.179 0.180
0.180
0.18 0.192 0.192 0.191 0.191 0.193
0.192
0.20 0.206 0.204 0.200 0.203 0.202
0.203
0.25 0.226 0.226 0.226 0.237 0.226
0.228
0.30 0.247 0.247 0.248 0.247 0.247
0.247
Einstellung der Fallstrecke, geschätzt, da am Gerät eine Skalierung angebracht ist,
die auf den Millimeter genau einstellbar ist.
Die Messwerte ergaben sich wie in Tabelle 11 .
1.5
Auswertung mit Rücksicht auf mögliche Fehler
Tab. 2: t und t2 in einer Tabelle mit h und
t/s
0.111
0.128
0.143
0.156
0.174
0.168
0.180
0.192
0.203
0.226
0.247
t2 /s2
0.0123
0.0164
0.0204
0.0243
0.0303
0.0282
0.0324
0.0369
0.0412
0.0511
0.0610
h/m
0.06
0.08
0.10
0.12
0.15
0.14
0.16
0.18
0.20
0.25
0.30
h
t2
=g
g/ sm2
9.74
9.77
9.78
9.86
9.91
9.92
9.88
9.77
9.71
9.79
9.83
Zur Auswertung trage ich jetzt die Fallstrecke h gegen t und t2 in ein Diagramm
ab. Erwartungsgemäß sollte der t2 -h-Ausgleichsgraph eine Gerade sein, da h ∝ t2 .
Die Steigung dieser Gerade muss dann 21 · g sein, excl. Fehler.
Die Steigung der Ausgleichsgerade in Abb. 2 gibt Gnuplot mit 4.898 sm2 ±0.026 sm2 an.
Das bedeutet, unser gemessenes g beträgt, den Standardfehler einberechnet, ungefähr 9.80(6) sm2 . Der Literaturwert liegt bei 9.81 sm2 [Tip04], und damit erfreulich nahe
am berechneten Messergebnis. Der Offset der Ausgleichsgeraden ist sehr gering, er
liegt in der Größenordnung von 10−4 .
1 Da t bei h = 25 cm offensichtlich ein Ausreißerwert ist und die anderen vier exakt gleich,
4
entschließe ich mich, bei der Auswertung den Wert vom Durchschnitt der restlichen vier Messwerte
zu verwenden, also 0.226 s.
2
REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1)
5
Abb. 2: Messwerte im t2 - h - Diagramm mit Ausgleichsgerade
2
2.1
Reversionspendel (Versuch S1)
Klärung des physikalischen Zusammenhangs
Um das Experiment zu verstehen, muss man wissen, was das Reversionspendel ist
und wie es aufgebaut ist.
2.1.1
Die Pendelschwingung als harmonische Schwingung
Da ein idealisiertes Pendel ungedämpft und harmonisch schwingt, lässt sich für kleine Anfangsauslenkungen ϕ0 wegen sin ϕ0 = ϕ0 die Formel für die Schwingungsdauer
allein abhängig von der Pendellänge L und der Gravitationskonstante g angeben.
Als Grundlage für die Herleitung der Formel gilt das zweite Newtonsche Gesetz. Die
Gleichung nebst Herleitung findet man im [Tip04], p. 441. Die Formel für T lautet:
s
2·π
L
T =
=2·π
(5)
ω
g
2.1.2
Das Hookesche Gesetz
Das Hookesche Gesetz beschreibt die Tatsache, dass im Proportionalitätsbereich eines elastischen Körpers (Beispiel: Schraubenfeder) sich der Körper proportional zur
einwirkenden Kraft ausdehnt. Proportionalitätsbereich ist der Bereich bei »nicht
zu großer Dehnung« ([Bro02]). Außerhalb des Proportionalitätsbereichs tritt permanente, plastische Dehnung auf und irgendwann reißt die Feder (siehe Abb. 3).
Gebräuchliche Gleichung für das Hookesche Gesetz ist F~ = D · ~s, hier ist D eine
körperabhängige Federkonstante.
2
REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1)
6
Abb. 3: Beispieldiagramm zur Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes [rwth05]
2.1.3
Der Steinersche Satz
Abb. 4: Illustration zum steinerschen Satz [rwth05]
Der Steinersche Satz liefert eine einfache Formel für die Berechnung des Trägheitsmoments eines Körpers um eine beliebige zur Schwerpunktachse parallele Achse
unter der Voraussetzung, dass das Trägheitsmoment des Körpers bei Drehung um
seinen Schwerpunkt bekannt ist. Die Herleitung ist einfach nachvollziehbar, wenn
wir Abb. 4 betrachten.
Z
JA
2
r~i0 dm =
Z
~ 2 dm
(~
ri − d)
Z
Z
Z
~
2
~
=
ri dm − 2d · r~i dm + d~2 dm
| {z } |
{z
} | {z }
=
(1)
Z
=
(2)
r~i2 dm + M · d~2
= JS + M · d~2
(6)
(7)
(3)
(8)
(9)
Hier ist mit S die Schwerpunktachse bezeichnet, und A ist eine beliebige Parallele
dazu. A darf natürlich auch außerhalb des Körpers liegen, der Satz gilt dann immer
noch. (1) ist das ursprüngliche JS mit Drehachse S, (2) fällt bei S als Ursprung des
Systems weg und (3) ist das zusätzliche Trägheitsmoment, welches der rotierende
Körper durch die Achsenänderung d~ erhält.
2
REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1)
2.1.4
7
Das Mathematische Pendel
Abb. 5: Skizze des mathematischen Pendels [Wb05]
Das mathematische Pendel ist das einfachste Modell für eine harmonische Pendelschwingung, das man sich vorstellen kann: Eine Punktmasse hängt an einem
masselosen Faden. Wenn dieses Pendel ausgelenkt wird, beginnt es zu schwingen.
Da es keine
q Luftreibung gibt, hat dieses Pendel immer die gleiche Schwingungsdauer
T = 2 · π Lg .
2.1.5
Das Physikalische Pendel
Das physikalische Pendel ist eine reale Annäherung an das mathematische Pendel.
Es gestattet auch unter gewöhnlichen Bedingungen die Beobachtung einer harmonischen Schwingung. Die Masse ist hier keine Punktmasse, und die Schwingung muss
gedämpft sein, da Reibung mit der Luft bzw. der Aufhängung des Pendels auftritt.
2.1.6
Reversionspendel
Wenn das Reversionspendel (siehe Abb. 6) um eine Achse A1 mit der Schwingungsdauer T1 schwingt, gibt es auch eine Achse A2 , um die das Pendel ebenfalls mit T1
schwingt. Der Abstand der in 2.1.2 beschriebenen Achsen heißt reduzierte Pendellänge lr . Wenn man diese Länge kennt und
q die Schwingungsdauer misst, so kann
man dadurch mittels der Formel T = 2 · π Lg des harmonisch ungedämpft schwingenden Pendels die Gravitationskonstante g berechnen.
Der Schwingungsmittelpunkt hat beim Reversionspendel die Eigenschaft des Mittelpunkts der schwingenden Masse beim mathematischen Pendel. Er liegt, je nachdem
ob das Pendel um A1 oder um A2 schwingt, im Schnittpunkt von der Achse A2 bzw.
A1 mit dem Pendel.
2.1.7
Güte der Näherung
Die Näherung für g kann hier nicht so gut ausfallen wie im Versuch mit dem freien
Fall, da die Zeit mit Stoppuhren gemessen wird und sich sowieso im Zentimeterbereich von ∆lr nicht mehr genau genug messen lässt. Die Messgenauigkeit wird
2
REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1)
8
besser, wenn man den Beginn einer Schwingung ab dem Minimum an potentieller
Energie misst, denn es lässt sich nur schwer erkennen, wann das Pendel gerade den
maximalen Ausschlag erreicht hat. Wenn man von den Maximalausschlägen aus
misst, wird die Messung noch weniger exakt ausfallen. Weiterhin kann die Messung
präzisiert werden, indem immer 10 volle Schwingungen zusammen gemessen werden. Sicherheitshalber messen wir außerdem mit zwei Stoppuhren und nehmen zur
Verbesserung des Messwertes immer den Mittelwert der gemessenen Zeiten.
2.2
Versuchsaufbau
Das Reversionspendel (siehe Abb. 6) hat zwei Massestücke. Eines davon ist fixiert
in 15 cm Abstand von der Schneide A2 , das andere, m1 , ist frei verschiebbar bis zu
einem Abstand von 1 m von A2 . Außer dem Pendel gehören noch zwei Stoppuhren
zum Aufbau.
2.3
Durchführung
Der Abstand d zwischen Schneide A1 und Masse m1 wird in 10-cm-Schritten von
10 cm bis 90 cm variiert, es wird aufgrund größerer Genauigkeit jeweils zweimal die
Schwingung um jede der beiden Schneiden mit zwei Stoppuhren gleichzeitig gemessen. Sinnvollerweise wird bereits vor Ort der Mittelwert der Stoppuhren genommen.
Dann wird 10 · T abhängig von d in ein Diagramm eingetragen, es werden Kurven
gezogen, und um den ersten Schnittpunkt der Kurven wird nochmals gemessen. Aus
Zeitgründen erfolgt nur noch eine Messung mit zwei Stoppuhren pro Schneide und
Abstand d.
2.4
Messwerte und Angabe der Fehler
Tab. 3: Messwerte und Durchschnittswerte des 1. Messzyklus von S1
D/m
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
10 · T1/1 /s
20.3
20.2
20.0
20.0
20.0
20.0
20.1
20.3
20.3
10 · T2/1 /s
20.8
20.2
20.0
19.5
19.4
19.5
20.3
20.8
21.6
10 · T1/2 /s
20.5
20.2
20.0
19.9
19.9
19.9
20.2
20.1
20.5
10 · T2/2 /s
20.8
20.3
19.9
19.5
19.3
19.4
20.3
20.8
21.6
1
2 (T1/1
+ T1/2 )
2.04
2.02
2.00
2.00
2.00
2.00
2.02
2.02
2.04
1
2 (T2/1
Die Messwerte ergaben sich wie in den Tabellen 3 und 4. Außerdem wurde
sowohl zu Anfang als auch zu Ende des Experiments eine Lufttemperatur ϑ = 20◦ C
gemessen.
Für die Fehler schätze ich ∆d = 0.5 mm als Fehler der Abstandsmessung zwischen
den Massen (Millimeterskala) und als Fehler ∆t = 0.05 s bei der Zeitnahme. Der
Fehler bei der Zeitnahme muss so hoch sein, da hier die Ablesegenauigkeit und
die Reaktionszeit der Durchführenden mit einfließt. Eine elektronische Messung der
Zeit wäre für diesen Versuch angebracht, um den Fehler zu begrenzen.
+ T2/2 )
2.08
2.03
2.00
1.95
1.94
1.95
2.03
2.08
2.16
2
REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1)
Abb. 6: Reversionspendel [PP05]
9
2
REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1)
10
Tab. 4: Messwerte und Durchschnittswerte des 2. Messzyklus von S1
D/m
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
2.5
10 · T1 /s
20.4
20.1
20.4
20.3
20.3
20.3
20.2
20.2
20.0
20.1
10 · T2 /s
20.8
20.5
20.4
20.4
20.5
20.3
20.2
20.1
20.1
20.0
T1 /s
2.04
2.01
2.04
2.03
2.03
2.03
2.02
2.02
2.00
2.01
T2 /s
2.08
2.05
2.04
2.04
2.05
2.03
2.02
2.01
2.01
2.00
Auswertung mit Rücksicht auf mögliche Fehler
Abb. 7: Messwerte des ersten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven
Die d − T −Kurven sollten jeweils mit einem quadratischen Term der Form a ·
(x + b)2 + c anzunähern sein, da man die Schwingungsgleichung passend umformen
kann. Über die Schnittstelle dieser Näherungskurven (siehe Abb. 7) lässt sich dann
ein experimenteller Wert für g finden.
Die Messungen der Zeit mit der Stoppuhr im zweiten Messzyklus waren allerdings
so ungenau, dass das fitten jenes Diagramms kein brauchbares Ergebnis ergibt. Das
Diagramm (siehe Abb. 8) führt hier vor Augen, wie beschränkt die Genauigkeit
des Ergebnisses im Kleinen nur sein kann. Wenn ich für T ≈ 2.02 s annehme, und
2
REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1)
11
Abb. 8: Messwerte des zweiten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven
d = 1 m einsetze, ergibt sich
s
T
=
2·π
L
g
(10)
r
2.02s =
2.022 s2
=
g
=
1m
g
2 1m
4·π ·
g
2
4π m
m
= 9.76 2
4.08s2
s
2·π
(11)
(12)
(13)
Der Fehler geht in g allein über die Zeit ein, und zwar quadratisch, wie sich in
Gleichung (13) erkennen lässt. Die Pendellänge ist konstant 1m, da das Gerät entsprechend gebaut wurde. Dass auch die Ausdehnung des Metalls keine Rolle spielt,
ist im nächsten Absatz erklärt. Durch Einsetzen des geschätzten Fehlers ∆t = 0.05s
erhalten wir direkt die Extremergebnisse 10.17 sm2 und 9.21 sm2 . Das bedeutet, dass
wir wegen des hohen Einflusses der Zeitmessgenauigkeit den Messwert für g nur mit
9.8(6) sm2 angeben dürfen.
Die Raumtemperatur muss im Experiment nicht berücksichtigt werden, sie betrug
konstant 20◦ C. Da sich Eisen mit dem Faktor 1.11 · 10−5 · K −1 [PP05] ausdehnt und
die Temperatur auf keinen Fall mehr als 10 Kelvin geschwankt ist (und selbst das
ist zu hoch angesetzt), liegt die Ausdehnung im Bereich von allenfalls Zehntelmillimetern. Das wird allein durch die Messgenauigkeit der Länge des Stabes egalisiert,
und auch bezüglich der Schwingungsdauer ist die Auswirkung zu vernachlässigen.
3
LITERATURVERZEICHNIS
3
3.1
12
Literaturverzeichnis
Quellennachweis
Bro02: Der Brockhaus Mathematik - Physik, F.A. Brockhaus, Leipzig/Mannheim
2002;
PP05: Die Webseite des Phys. Praktikums der Universität Paderborn:
http://physik.uni-paderborn.de/studieninfos/praktika/pmp-a/;
rwth05: Die Physik-Seite der RWTH Aachen:
http://www.physik.rwth-aachen.de/ hebbeker/lectures/ph1_0102/p112_l04.htm (Hoo kesches Gesetz);
http://www.physik.rwth-aachen.de/group/IIIphys/INFOS/Exscript/6Kapitel/VI7Kapitel.html
(Steinerscher Satz);
Tip04: P.A. Tipler, G. Mosca: Physics for Scientists and Engineers, 5th edition
extended version, Freeman Verlag 2004;
VP05: Alle so bezeichneten Abschnitte sind aus meinen Aufzeichnungen zur Physikvorlesung WS 2005/06 entstanden;
Wb05: Die Webseite der Universität Würzburg:
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/physikonline/quickauf/mechanik/ .
4
4.1
Anhang
Diagramme in A4
4
ANHANG
Abb. 9: M5: Messwerte im t2 - h - Diagramm mit Ausgleichsgerade
13
4
ANHANG
14
Abb. 10: S1: Messwerte des ersten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven
4
ANHANG
15
Abb. 11: S1: Messwerte des zweiten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven
5
BILDER UND TABELLEN
5
16
Bilder und Tabellen
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Kugelfallmaschine [PP05] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messwerte im t2 - h - Diagramm mit Ausgleichsgerade . . . . . . . .
Beispieldiagramm zur Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes [rwth05] .
Illustration zum steinerschen Satz [rwth05] . . . . . . . . . . . . . .
Skizze des mathematischen Pendels [Wb05] . . . . . . . . . . . . . .
Reversionspendel [PP05] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messwerte des ersten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven
Messwerte des zweiten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M5: Messwerte im t2 - h - Diagramm mit Ausgleichsgerade . . . . .
S1: Messwerte des ersten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S1: Messwerte des zweiten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
6
6
7
9
10
11
13
14
15
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
Messwertetabelle des Fallversuchs (exakte Abschrift des Originals)
t und t2 in einer Tabelle mit h und th2 = g . . . . . . . . . . . . . .
Messwerte und Durchschnittswerte des 1. Messzyklus von S1 . . .
Messwerte und Durchschnittswerte des 2. Messzyklus von S1 . . .
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4
4
8
10