§1 Dreiecke

Mathematische Probleme, SS 2013
Montag 8.4
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§1
Dreiecke
In diesem Kapitel wollen wir die sogenannte Dreieckslehre als Teil der Elementargeometrie der Ebene behandeln. Wie in dieser ganzen Vorlesung sind wir dabei
hauptsächlich an Einzelproblemen und nicht so sehr an einem systematischen Aufbau der Theorie interessiert, insbesondere wollen wir keine Axiomatik der euklidischen
Geometrie betreiben. Anstelle dessen werden wir anschaulich evidente“ Begriffe, also
”
Dinge wie Winkel, Flächeninhalte, Geraden, Kreise und so weiter, und ihre Grundeigenschaften als gegeben hinnehmen. Dies deckt sich auch mit dem Vorgehen in der
Schulgeometrie wo ja nicht ernsthaft gefragt wird was denn etwa der Flächeninhalt“
”
überhaupt ist. Nur an Stellen wo es sich anbietet den Zusammenhang zwischen Schulstoff und den Inhalten der Grundvorlesungen zu erläutern, werden wir gelegentlich auch
die exakte, formale Begriffsbildung beschreiben.
Inhaltlich werden wir in diesen Kapitel die Trigonometrie, also die Dreiecksberechnung, die hierbei verwendeten trigonometrischen Funktionen, die speziellen Punkte
im Dreieck, also etwa den Höhenschnittpunkt, und damit sonst zusammenhängende
Themen besprechen.
Ein Dreieck ∆ in der Ebene ist durch
seine drei Ecken A, B, C ∈ R2 gegeben. Wir betrachten nur nicht ausgeartete Dreiecke, fordern also das A, B, C
nicht kollinear sind, d.h. nicht auf einer Geraden liegen. Traditionell werden
die Ecken eines Dreiecks seit Euler wie
b
hier mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet und zwar im Gegenuhrzeigersinn aufsteigend. Die einer Ecke
gegenüberliegende Seite wird dann mit
dem entsprechenden lateinischen Kleinbuchstaben beschrieben. Dabei ist mit
α
Seite“ hier in der Regel die Länge der
”
Seite gemeint, also der Abstand der beiA
den anderen Eckpunkte. Schreiben wir
den Abstand zweier Punkte X, Y ∈ R2 der Ebene als
|XY | := |X − Y | := ||X − Y ||2 ,
1-1
C
γ
a
β
c
B
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so werden im nebenstehenden Bild
a = |BC|, b = |AC| und c = |AB|.
Weiter wird der an eine der Ecken anliegende Winkel innerhalb des Dreiecks mit dem
entsprechenden griechischen Kleinbuchstaben geschrieben. Man nennt zwei Dreiecke
∆ = ABC, ∆0 = A0 B 0 C 0
kongruent oder deckungsgleich wenn in ihnen entsprechende Seiten dieselbe Länge haben. Wir verwenden hierfür dann auch die symbolische Schreibweise
∆ ≡ ∆0 ⇐⇒ ABC ≡ A0 B 0 C 0 :⇐⇒ |AB| = |A0 B 0 | ∧ |AC| = |A0 C 0 | ∧ |BC| = |B 0 C 0 |,
beziehungsweise unter Befolgung der obigen Benennungskonvention
∆ ≡ ∆0 ⇐⇒ a = a0 ∧ b = b0 ∧ c = c0 .
Zwei kongruente Dreiecke kann man durch eine Bewegung der Ebene in Deckung
”
bringen“. Um dies einzusehen denken wir uns zwei kongruente Dreiecke ABC und
A0 B 0 C 0 . Dann können wir zunächst durch eine Verschiebung den Punkt A0 auf den
Punkt A bewegen, wir können also A0 = A annehmen. Dann haben B und B 0 wegen
|AB 0 | = |A0 B 0 | = |AB|
denselben Abstand von A, liegen also beide auf einem Kreis mit Mittelpunkt A. Damit
können wir unser Dreieck A0 B 0 C 0 = AB 0 C 0 jetzt um den Punkt A herum drehen und
so B 0 auf B bewegen. Wir können also auch B 0 = B erreichen.
C
B=B’
A=A’
C’
1-2
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Es verbleiben nur noch die beiden Ecken C und C 0 . Ist zufällig schon C = C 0 , so sind die
beiden Dreiecke bereits in Deckung gebracht, wir können also C 6= C 0 annehmen. Wie
eben überlegen wir uns wieder das C und C 0 sowohl auf einem Kreis mit Mittelpunkt A
als auch auf einem Kreis mit Mittelpunkt B liegen. Nun schneiden sich zwei Kreise mit
verschiedenen Mittelpunkten in höchstens zwei Punkten und diese beiden gehen durch
Spiegelung an der Verbindungsgerade der beiden Mittelpunkte auseinander hervor.
Also können wir C 0 an der Dreiecksseite AB = A0 B 0 spiegeln und erhalten C, durch
Umklappen des Dreiecks an AB erreichen wir also schließlich auch C 0 = C und die
beiden Dreiecke sind in Deckung gebracht. Insbesondere folgt daraus das in den beiden
kongruenten Dreicken ABC und A0 B 0 C 0 auch die drei Winkel übereinstimmen, also
ABC ≡ A0 B 0 C 0 =⇒ α = α0 ∧ β = β 0 ∧ γ = γ 0 .
Da das Dreieck ABC bis auf Bewegungen durch a, b, c bestimmt ist, muss es möglich
sein alle Dreiecksgrößen“ als Funktionen von a, b, c auszudrücken. Dies wirklich zu
”
tun, also die entsprechenden Funktionen hinzuschreiben, ist ein Teil der Dreiecksbe”
rechnungen“ die wir in diesem Kapitel vorführen wollen. Zentral hierbei sind die trigonometrischen Funktionen, und um diese einzuführen werden erst einmal rechtwinklige
Dreiecke untersucht.
1.1
Rechtwinklige Dreiecke
Ein Dreieck ∆ heißt rechtwinklig wenn einer seiner drei Winkel ein rechter Winkel ist,
also 90◦ , beziehungsweise π/2 im Bogenmaß, beträgt. Die beiden an den rechten Winkel anliegenden Seiten heißen dann die Katheten von ∆ und die dem rechten Winkel
gegenüberliegende Seite heißt die Hypothenuse von ∆. Ist ∆ = ABC wie oben rechtwinklig, so nehmen wir meist γ als den rechten Winkel, γ = 90◦ . Dann sind a, b die
Katheten von ∆ und c die Hypothenuse. Die Hypothenusenlänge c ist dabei durch die
beiden Kathetenlängen a, b über den Satz des Pythagoras festgelegt.
Satz 1.1 (Satz des Pythagoras)
In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ mit Kathetenlängen a, b und Hypothenusenlänge c
gilt a2 + b2 = c2 .
Beweis: Wir betrachten ein Quadrat Q der Kantenlänge a + b und und legen in dieses
vier zu ∆ kongruente Dreiecke.
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a
a
b
c
a
b
b
c
a
b
Auf der linken Seite sind je zwei der Dreiecke zu Rechtecken der Kantenlängen a und b
zusammengefasst, es verbleiben dann von Q zwei Quadrate der Kantenlängen a und b.
Auf der rechten Seite werden die vier Dreiecke dagegen wie gezeigt an den Rand gelegt,
dann verbleibt ein Quadrat der Kantenlänge c. Der Inhalt der von Q verbleibenden
Fläche ist aber unabhängig davon wie die vier Dreiecke in Q angeordnet sind, und ein
Vergleich dieser Restlächen ergibt
a2 + b2 = c2
wie behauptet.
Dabei haben wir die Tatsache verwendet das der Flächeninhalt eines Quadrates das
Quadrat seiner Kantenlänge ist, dies ist eine der vielen Grundtatsachen die wir als
gegeben und offensichtlich hinnehmen wollen. Man kann den Satz von Pythagoras auf
zweierlei Arten umkehren, zum einen werden wir zeigen das jedes Tripel a, b, c potentieller Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck, also mit a2 + b2 = c2 , tatsächlich
in einem geeigneten rechtwinkligen Dreieck vorkommt, und zum anderen wollen wir
einsehen das ein zunächst beliebiges Dreieck das die Relation a2 + b2 = c2 erfüllt immer
rechtwinklig mit Hypothenuse in c ist.
Korollar 1.2 (Erste Umkehrung des Satzes von Pythagoras)
Sind a, b, c > 0 mit a2 +b2 = c2 , so existiert ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse
c und Katheten a, b.
Beweis: Wähle einen Punkt C und trage von C ausgehend Strecken BC der Länge a
und AC der Länge b im rechten Winkel ab. Dann ist ABC ein rechtwinkliges Dreieck
mit Katheten a, √
b und nach dem Satz des Pythagoras Satz 1 hat die Hypothenuse in
ABC die Länge a2 + b2 = c.
Die zweite Umkehrung folgt jetzt aus der eben bewiesenen ersten Umkehrung, man
muss sich nur daran erinnern das kongruente Dreiecke, wie schon gesehen, auch gleiche
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Winkel haben, und somit muss ein zu einem rechtwinkligen Dreieck kongruentes Dreieck
selbst rechtwinklig sein.
Korollar 1.3 (Zweite Umkehrung des Satzes von Pythagoras)
Seien a, b, c die Seitenlängen in einem Dreieck ∆. Gilt dann a2 + b2 = c2 , so ist ∆
rechtwinklig mit Hypothenuse c und Katheten a, b.
Beweis: Nach Korollar 2 existiert ein rechtwinkliges Dreieck ∆0 mit Hypothenuse c
und Katheten a, b. Dann sind ∆ und ∆0 kongruent, also ist auch ∆ rechtwinklig mit c
als Hypothenuse und a, b als Katheten.
Pythagoras war ein Schüler von Thales und lebte in den Jahren 569-470 vor Christus,
wobei dies ein geschätzter Zeitraum und nicht die wirklichen Geburts- und Todesjahre
sind. Es gibt wohl keine direkten zeitgenössischen Belege über Pythagoras, man hat nur
Berichte die Jahrhunderte später verfasst wurden. Nach ausgedehnten Reisen gründete
er im südlichen Italien eine Schule, oder wohl eher eine Sekte, die sogenannten Py”
thagoräer“, die unter anderem den Namen Mathematik“ geprägt haben. Der Satz des
”
Pythagoras war allerdings schon lange vor Pythagoras bekannt, mindestens seit 1800
vor Christus. Der Beleg hierfür ist eine entsprechend datierte Tontafel, die Zahlentripel
wie
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), . . .
enthält. Um zu sehen was diese Zahlen mit den Satz des Pythagoras zu tun haben,
beachte 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 , 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132 , 82 + 152 =
64 + 225 = 289 = 172 , nach der ersten Umkehrung des Satzes von Pytagoras handelt
es sich also um ganzzahlige Seitenlängen rechtwinkliger Dreiecke. Da nicht so recht zu
sehen ist weshalb man sich sonst für solche Zahlen interessieren sollte, geht man davon
aus, dass den Verfassern dieser Tafel der Inhalt des Satzes von Pythagoras bekannt
gewesen sein sollte. Wozu die Tabelle diente ist nicht bekannt, eine manchmal genannte
mögliche Anwendung ist die praktische Konstruktion rechter Winkel. Denken wir uns
ein Seil der Länge 3 + 5 + 5 = 12 in irgendwelchen Einheiten in das an den beiden
Enden und nach 3 und 7 = 3+4 Einheiten jeweils ein Knoten eingefügt ist, so kann man
mit diesem Seil durch Anspannen der einzelnen Seilsegmente und Fixieren der Knoten
ein Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 konstruieren und nach der zweiten Umkehrung des
Satzes von Pythagoras hat dieses Dreieck gegenüber der Seite der Länge 5 einen rechten
Winkel.
5
3
4
5
3
4
Wieweit dies wirklich ein praktisches Verfahren ist sei einmal dahingestellt. Wir wollen
uns jetzt kurz noch etwas weitergehend mit diesen Zahlentripeln beschäftigen, und
geben diesen daher erst einmal einen Namen.
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Definition 1.1 (Pythagoräische Tripel)
Ein pythagoräisches Tripel besteht aus drei natürlichen Zahlen a, b, c mit a2 + b2 = c2 .
Die pythagoräischen Tripel entsprechen also den rechtwinkligen Dreiecken mit ganzzahligen Seitenlängen. Wie kommt man jetzt an solche Tripel heran? So etwas wie
(3, 4, 5) findet man noch durch Rumprobieren, für die größeren Beispiele braucht man
aber schon ein systematisches Verfahren. Ein einfache Methode zur Konstruktion ist es
mit einem schon bekannten Tripel (a, b, c) anzufangen und dieses mit einer natürlichen
Zahl n ∈ N zu multiplizieren. Wegen (na)2 + (nb)2 = n2 (a2 + b2 ) = (nc)2 ist (na, nb, nc)
dann wieder ein pythagoräisches Tripel. So erhält man beispielsweise mit n = 7 aus
dem Tripel (3, 4, 5) das pythagoräische Tripel (21, 28, 35), hat also 212 + 282 = 352 .
Tripel die auf diese Weise entstehen sind aber keine wirklich neuen“ Beispiele, und
”
wir wollen uns auf diejenigen pythagoräischen Tripel beschränken die nicht durch Vervielfachen eines schon bekannten Tripels entstehen. Derartige pythagoräische Tripel
nennt man primitiv und definiert daher:
Definition 1.2 (Primitive pythagoräische Tripel)
Ein pythagoräisches Tripel (a, b, c) heißt primitiv wenn a, b, c keinen gemeinsamen Teiler
haben.
Wie kann man jetzt systematisch primitive pythagoräische Tripel erzeugen? Erste
Verfahren hierzu stammen von Pythagoras und Platon, allerdings hatten diese keine
Methode wirklich alle primitiven Tripel zu bestimmen. Eine erste vollständige Methode,
also ein Verfahren das nicht nur einige sondern alle primitiven Tripel liefert, findet sich
in den Elementen des Euklid, die irgendwann um 300 vor Christus entstanden sind.
Euklids Methode ist arithmetischer Natur, daher wollen wir hier ein äquivalentes, eher
geometrisch orientiertes, Verfahren besprechen, das etwa fünfzig Jahre später um 250
vor Christus von Diophant entwickelt wurde. Dieses Verfahren beruht auf einer kleinen
Uminterpretation des Problems der pythagoräischen Tripel.
Angenommen wir haben ein primitives pythagoräisches Tripel (a, b, c). Dann bilden
wir die beiden rationalen Zahlen
a 2 a 2 a2 + b 2
a
b
u := , v := mit u2 + v 2 =
= 1,
+
=
c
c
c
c
c2
d.h. (u, v) ist ein rationaler Punkt auf dem Einheitskreis. Haben wir umgekehrt einen
solchen rationalen Punkt (u, v) ∈ Q2>0 mit u2 + v 2 = 1, so schreiben wir u = p/q,
v = p0 /q 0 mit jeweils teilerfremden p, q ∈ N beziehungsweise p0 , q 0 ∈ N. Definiere dann
c := [q, q 0 ] als das kleinste gemeinsame Vielfache von q und q 0 und setze a := pc/q ∈ N
und b := p0 c/q 0 ∈ N. Dann ist
p·
p
u= =
q
q·
c
q
c
q
p0 ·
a
p0
= und v = 0 = 0
c
q
q ·
also auch
a2 + b2 a 2
=
+
c2
c
c
q0
c
q0
=
2
b
= u2 + v 2 = 1
c
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b
c
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und somit haben wir a2 + b2 = c2 . Die Zahlen a, b, c haben auch keinen gemeinsamen
Teiler. Sei nämlich r ein gemeinsamer Primteiler von a, b, c. Durch eventuelles Vertauschen von u und v können wir dann annehmen das r ein Teiler von q ist. Dann ist r ein
Teiler von c/q, also auch von q 0 . Weiter ist r dann auch ein Teiler von c/q 0 , aber c/q
und c/q 0 sind teilerfremd, ein Widerspruch. Das Problem der Bestimmung primitiver
pythagoräischer Tripel ist also gleichwertig zur Bestimmung der rationalen Punkte auf
dem Einheitskreis im offenen ersten Quadranten.
Sei jetzt ein rationaler Punkte (u, v) ∈ Q2>0 auf dem Einheitskreis gegeben. Dann
bilden wir die Verbindungsgerade dieses Punktes mit dem Punkt (−1, 0). Die Steigung
t dieser Geraden ist dann wieder eine rationale Zahl. Um t auszurechen, müssen wir
nur festhalten das der x-Anstieg von (−1, 0) nach (u, v) gerade u − (−1) = u + 1 ist
und der y-Anstieg gleich v ist, also ist die Steigung
t=
v
.
u+1
Nehmen wir etwa den Punkt (u, v) = (3/5, 4/5) der zum primitiven Tripel (3, 4, 5)
gehört, so wird die Steigung t zu
t=
4
5
3
5
1
= .
2
+1
Allgemein muss die Steigung t immer zwischen 0 und 1 liegen, da unsere Gerade den
Einheitskreis in (u, v) im ersten Quadranten trifft.
Nun sei umgekehrt eine rationale Steigung t ∈
Q mit 0 < t < 1 gegeben, und betrachte die Gerade
y = t(x + 1) = tx + t
(u,v)
mit Steigung t durch (−1, 0). Die Schnittpunkte
dieser Geraden mit dem Einheitskreis berechnen
sich durch
(−1,0)
1 = x2 + y 2 = x2 + t2 (x + 1)2 = (t2 + 1)x2 + 2t2 x + t2
und umgestellt zu einer normierten quadratischen
Gleichung für x wird dies zu
x2 +
2t2
t2 − 1
x
+
= 0.
t2 + 1
t2 + 1
Die eine Nullstelle ist x = −1 und erinnern wir uns daran das die Summe der beiden
Nullstellen einer normierten quadratischen Gleichung gerade das Negative des linearen
Term dieser Gleichung ist, so liegt die zweite Nullstelle in
u := 1 −
2t2
1 − t2
=
t2 + 1
1 + t2
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mit zugehörigen y-Wert
2t
.
1 + t2
Damit haben wir einen rationalen Punkt (u, v) auf dem Einheitskreis im ersten Quadranten gefunden, der zur Steigung t gehört. Diesem entspricht dann weiter ein primitives pythagoräisches Tripel. Auf diese Weise sind jetzt die rationalen Zahlen t mit
0 < t < 1 in Entsprechung zu den primitiven pythagoräischen Tripeln gesetzt.
Wir schauen uns noch einige spezielle Beispiele für t an.
v := t(x + 1) =
t = 21 , u =
t = 31 , u =
t = 32 , u =
t = 41 , u =
t = 43 , u =
1− 14
= 35 ,
1+ 14
1− 19
8
= 10
= 54 ,
1+ 19
1− 49
5
= 13
,
1+ 49
1
1− 16
15
1 = 17 ,
1+ 16
9
1− 16
7
9 = 25 ,
1+ 16
v=
v=
v=
v=
v=
2· 12
= 45 ,
1+ 14
2· 13
6
= 10
= 35 ,
1+ 19
2· 23
= 12
,
13
1+ 49
2· 14
8
1 = 17 ,
1+ 16
2· 34
24
9 = 25 ,
1+ 16
1-8
c = 5, (a, b, c) = (3, 4, 5),
c = 5, (a, b, c) = (4, 3, 5),
c = 13, (a, b, c) = (5, 12, 13),
c = 17, (a, b, c) = (15, 8, 17),
c = 25, (a, b, c) = (7, 24, 25).