Wir betrachten die Poissonverteilung zum Parameter ?

Aufgabe 3:
Wir betrachten die Poissonverteilung zum Parameter
Wir beweisen dann, dass die
Wahrscheinlichkeit für gerade Zahlen immer größer als die für ungerade Zahlen ist.
Wir können dabei die Differenz dieser Wahrscheinlichkeiten übersichtlicher mit Hilfe der
Funktion schreiben. Dazu sei hier
die Menge der geraden
Zahlen und
die Menge der ungeraden, positiven Zahlen. Jetzt werden wir
leicht zeigen, dass die Menge der geraden Zahlen die größere Wahrscheinlichkeit hat. Es gilt
Das Analogon gilt für Für die Differenz der
doch ganz offenbar
Wahrscheinlichkeiten resultiert dann:
!"
# $
"
+
*
"
)
!"&'
%
#(
"
%
$
?
# (<.$ >
,<
<-<
!"
!"&'
# $
,-.
/01234526728
92:8;0:78
%!
%
/01234526728
92:8:6378 =
$
%
Beweis der Zwischenbehauptung:
Es ist noch zu zeigen, dass die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, d.h. es ist
@AB C D 88EC F G zu zeigen. Dazu verwenden wir ohne Beweis die Funktionalgleichung
@AB C ( H
@AB C I @AB H 8f.a. C H F G.
1. Variante (mit der Funktionalgleichung (1)):
Zuerst zeigen wir für alle C F G die Gültigkeit der Behauptung @AB
Mit (1) gilt für das Produkt @AB
C I @AB C
@AB
C ( C M @AB
(*) da O C nach den Körperaxiomen das additive Inverse zu C.
(**) weil
T
"
P
"$
T
"
(
888888QR8
N
C
NN
M
'
2JK L
.
S
Notiert man die Gleichung und formt sie um, dann erhält man:
@AB C I @AB C
88U 8 V @AB C
@AB C %'
@AB C
Weiterhin folgt aus der Funktionalgleichung und eben gezeigtem auch @AB C X .
W @AB
C
8@AB C D 88EC F G zu zeigen:
Nun bleibt noch
Fallunterscheidung:
-
Fall 1: (C D )
Man erkennt die Behauptung ( ) sofort an der Reigendarstellung:
@AB C S
-
T
"
C"
#$
(C(
CY
(
CZ
(8
$
D
Fall 2: (C [ )
Angenommen es gilt C [ , dann gilt nach den Anordnungseigenschaften auch
OC
.
Damit gilt auch mit @AB
C
'
2JK L
@AB C
@AB
C
@AB C
%'
@AB
:
C
%'
\
Zu ♥: Weil @AB C
für positive Argumente C bereits gezeigt wurde und O C in
diesem Fall positiv ist und der Quotient 1 durch eine positiver Zahl nach den
Grundaxiomen ebenfalls positiv sowie ungleich Null ist, konnten wir ♥ sinnvoll
verwenden.
Damit ist alles gezeigt.
2. Variante (mit dem Zwischenwertsatz):
Da die Exponentialfunktion ] A S @AB C stetig ist und @AB
@AB C X für alle C sind, folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass @AB C
C F G gilt.
// Hiermit haben wir den Beweis der Zwischenbehauptung vollständig geführt.
%!
Jetzt suchen wir alle , sodass
W 88
W 88
W 88
sowie
für alle
gilt:
88U8^_ 8
%!
W 88 ^_
^_
^_
^_
W 88
^_
^_
`
` a
88U 8 V ^_
8U V
Die natürliche Logarithmusfunktion ist dabei streng monoton wachsend, also haben wir mit
` a bereits alle möglichen gefunden.
Aufgabe 4:
Wir suchen hier eine stetige Dichtefunktion b auf c
d
Wahrscheinlichkeitsraum c
e c
Wir suchen also eine g
!
d sodass für den zugehörigen
c e `d
fd
gilt.
8Abbildung, die die folgenden Integralgleichungen erfüllt:
h b C iC
j
h b C iC
e
k
h b C iC
l
m
h b C iC
n
Wir geben hier einfach mal b C
passen wir dann individuell an.
o(
IC
p
als möglichen Kandidaten an. Das o
Zuerst weisen wir Dichtefunktion Eigenschaft nach.
!
h o(
I C p iC
C
Aus der Integralgleichung q
j
b C iC
o(
Hier wählen wir also o
…
88
p&'
e
^r]
I
^r]
o(
o
e erhalten wir die Bestimmungsgleichung:
I
p&'
p&'
e8U8^r]
^r] e
^r] e88U 8 V 8 ^r]
^r] e
88U
^r]
^r] e
^r]
e
e
e und haben damit die gesuchte Dichtefunktion.
Zusatzaufgabe 5:
Eine fiktive Geschichte: Ein Zeitgenosse von Buffon wirft quadratische Bierdeckel auf den
Dielenboden. Die Dielenbreite beträgt dabei i, die Bierdeckelseitenkannte s mit t s [ i
Wir prüfen nun nach, ob man aus der Wahrscheinlichkeit, dass der Bierdeckel eine Kante
trifft, die Kreiszahl u approximativ bestimmen kann.
Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe greifen wir die Idee aus dem Film: „Numbers – Staffel
3, Folge 6, Wettkönig“ auf, den wir kur zuvor gesehen hatten. Dieser Film hat u.a. das
Buffon’sche Nadelprinzip aufgegriffen. (weiter Informationen im Anhang)
Wir lösen diese Aufgabe mi der Variante von quadratischen Bierdeckeln:
Glücklicherweise lässt sich diese Variante geschickt auf die bereits bekannte Variante mit
Nadeln zurückführen. Der quadratische Bierdeckel hat zwei Diagonalen der Länge v S t s
Der Mittelpunkt beider Diagonalen ist derselbe – der Mittelpunkt der zwei Diagonalen ist
derselbe, erstens der Mittelpunkt des Quadrats und zweitens zugleich der Schnittpunkt der
Diagonalen.
Bezeichnen wir mit H den Abstand des Mittelpunkts des Quadrats zur nähergelegenen Kante,
dann ist dieser im Kompaktum w
x
!
y wider gleichverteilt. Beide Diagonalen (bzw. ihre
gedachte Verlängerung) schließen nun mit der nähergelegenen Kante jeweils einen Winkel o'
und o! ein, wobei die Summe dieser Winkel gleich der Hälfte von Pi, also ` z beträgt. Dies
erkennt man elementargeometrisch daran, dass die Innenwinkelsumme des Dreiecks in der
Euklidischen Geometrie 180° beträgt. Achtung, in der Nichteuklidischen Geometrie ist die
Winkelsumme eines Dreiecks im Allgemeinen nicht 180°.
Wenn man nun o S { RA o' o! 8setzt, dann ist o im Kompaktum w
|
l
y gleichverteilt. Nun
kommen wir auf die Idee, die Diagonale, die den größten Winkel mit der Kante einschließt,
als die Nadel in dem bisherigen Nadelexperiment aufzufassen, dann erfolgen die
nachstehenden Berechnungen völlig analog:
Dabei handelt sich also um die gleichverteilte Auswahl eines Tupels o H aus der
Ereignismenge }
dann, wenn H •
€
w
! :63 p
|
l
y~w
x
!
y Jetzt trifft der quadratische Bierdeckel eine Kante genau
Die Teilmenge •
„Fläche“ von • lautet dann:
|
l
h
} beinhalte alle Tupel in }, die dies erfüllen. Die
v
‚ƒ_ o
,<-<.
„628…312†5‡16038ˆ 61892ˆ 8
‰62ˆ ‡33:;72386312†5‡Š86:18
‹ 2†2389258Œ1216†•261892:
…312†5‡3912384Ž†2Š‡::23
|
v•
c •r‚ o dU l
io
v
t
‘
s
’
“t
”
Das Maß • entspricht dabei dem Verhältnis des Flächeninhalts von E zum Flächeninhalt
von }, d.h. es gilt:
•
s
j
u
i
• –I• –
s
j
ui
8
Erfahrungswissenschaftlich ermitteln wir also einen Wert für
umgekehrt u schätzen mit
u
s
• . Ebenso können wir
j
• i
Anhang: „Wettkönig“, Kurzbeschreibung
Inhalt: Tatort: Pferderennbahn. Um die Leiche des erstochenen Danny Roberts werden notierte
Formeln gefunden, mit deren System der Tote zahlreiche Wetten hintereinander gewonnen hatte. Mit
Unterstützung der FBI-Agentin Warner kommt das Team um Don und Charlie auf die Spur eines
Drogenkartelllieferanten, die zur Rennbahn führt. Ivan Tabakian manipuliert Pferderennen, um mit
den Wettgeldern an Rauschgift zu gelangen und gleichzeitig Geldwäsche zu betreiben.
Samstag auf Kabel Eins von 23:15 bis 00:10 und Sonntagmorgen von 02:45 bis 03:25.