20. 5. 2011

Was bisher geschah
rekursive Datenstrukturen:
I lineare Datenstrukturen: Liste, Stack, Queue
I hierarchische Datenstrukturen: Bäume
I
I
I
I
I
allgemeine Bäume
Binäre Bäume
Unäre Bäume = Listen
Tiefe eines Knotens in t: Abstand (Kantenzahl) zur Wurzel
Tiefe tiefe(t) des Baumes t: maximale Knotentiefe in t
Größe size(t) des Baumes t: Anzahl aller Knoten in t
Binäre Suchbäume: Binäre Bäume mit aufsteigend
sortierter Inorder-Folge aller Schlüssel
(Schlüsselwerte aus einer total geordneten Menge)
Laufzeit für Suche, Einfügen, Löschen: O(tiefe(t))
AVL-Bäume (eingeschränkte Balanceeigenschaft):
Binäre Bäume mit aufsteigend sortierter Inorder-Folge aller
Schlüssel
(Schlüsselwerte aus einer total geordneten Menge)
Laufzeit für Suche, Einfügen, Löschen: O(log n)
153
Mehrweg-Suchbäume
Suchbäume mit inneren Knoten verschiedener Knotengrade.
I
Knoten können mehrere Schlüssel enthalten
I
Knoten mit n ≥ 2 Schlüsseln (k1 , . . . , kn ) hat n + 1 Kinder
(t0 , . . . , tn ).
Suchbaumeigenschaft (für Mehrweg-Bäume): Jeder
Schlüssel ist Separator zwischen Schlüsseln in den
Kindern, d.h. für jeden Knoten u = Node(n, k , t) im Baum t
gilt:
I
I
I
I
Für alle im Teilbaum t0 vorkommenden Schlüssel v gilt
v < k1 .
Für alle i ∈ {1, . . . , n − 1} gilt:
für alle im Teilbaum ti vorkommenden Schlüssel v gilt
ki < v < ki+1 .
Für alle im Teilbaum tn vorkommenden Schlüssel v gilt
kn < v .
154
Datenstruktur Mehrweg-Suchbaum
rekursive Datenstruktur Mehrweg-Suchbaum (MST):
I
I
leerer Mehrweg-Suchbaum ⊥ (Blatt),
innerer Knoten: Node (n, k , t) mit
I
I
I
Anzahl n ≥ 2 der Schlüssel
Folge (k1 , . . . , kn ) der Schlüssel
Folge (t0 , . . . , tn ) der Kinder (MST)
155
Inorder-Durchquerung von Mehrweg-Suchbäumen
inorder(t) für MST t:
I
I
falls t = ⊥: inorder(⊥) ← []
falls t = Node(n, k , t):
I
I
I
l ← inorder(t0 )
für alle i ← 1, . . . , n:
l ← l ◦ [ki ] ◦ inorder(ti )
Ausgabe inorder(Node(n, k , t)) = l
In jedem Mehrweg-Suchbaum bilden die Schlüssel in
inorder-Reihenfolge eine aufsteigend sortierte Folge.
156
Suche in Mehrweg-Suchbäumen
contains(t, e) für MST t und Wert e:
I
falls t = ⊥: contains(t, e) ← f
I
falls t = Node(n, k , t):
finde Schlüssel oder Teilbaum-Index m:
I
I
I
m←0
solange km ≤ e: m ← m + 1
falls km = e: Ende mit contains(t, e) = t
sonst contains(tm , e) (rekursiv)
Laufzeit: O(tiefe(t))
157
Beispiel B-Bäume
zur Verwaltung großer Datenmengen
Anwendungen bei Datenbanken
Mehrweg-Suchbäume mit
I
Kinderzahl jedes Knotens zwischen m und 2m
(für zuvor festgelegtes m)
Ausnahme: Wurzel (darf weniger Kinder haben)
I
Alle Blätter haben denselben Abstand zur Wurzel.
praktisch meist:
I
Knotengrad m sehr groß
I
Tiefe des Baumes sehr klein
Optimierung:
binäre Suche zum Finden der Schlüssel oder Teilbaum-Indizes
m innerhalb eines Knotens
158
Spezialfall (2,4)-Bäume
(2,4)-Baum:
Mehrweg-Suchbaum mit Knoten mit 2, 3 oder 4 Kindern
(B-Baum für m = 2)
rekursive Datenstruktur ST24hElementi =
I
⊥
I
Node2 (ST24hElementi, Element, ST24hElementi)
I
Node3 (ST24hElementi, Element ST24hElementi,
Element, ST24hElementi)
I
Node4 (ST24hElementi, Element ST24hElementi,
Element, ST24hElementi, Element, ST24hElementi)
159
Einfügen in (2,4)-Bäume
Suche der Einfüge-Position (Blatt)
Fälle:
1. Einfügen in einen Knoten mit 2 oder 3 Kindern
(2,4)-Baum-Eigenschaft nach Einfügen nicht verletzt
2. Einfügen in einen Knoten mit 4 Kindern
(2,4)-Baum-Eigenschaft nach Einfügen evtl. verletzt,
Verschiebung von Schlüsseln oder Teilung von Knoten
notwendig
3. Einfügen als neuen Schlüssel im erreichten Knoten
Idee: Beim Suchen der Einfüge-Position (Richtung: Wurzel →
Blatt) vorsorglich alle 4-Knoten auf dem Pfad teilen.
Einfügen des Elementes ist dann ohne zusätzliche Korrektur
möglich.
160
Teilung von 4-Knoten
4-Knoten: Node4(t0 , x, t1 , y , t2 , z, t3 )
I
in der Wurzel:
Node4(t0 , x, t1 , y , t2 , z, t3 ) 7→
Node2(Node2(t0 , x, t1 ), y , Node2(t2 , z, t3 ))
I
als Kind eines 2-Knotens:
Node2(Node4(t0 , x, t1 , y , t2 , z, t3 ), v , t4 ) 7→
Node3(Node2(t0 , x, t1 ), y , Node2(t2 , z, t3 ), v , t4 )
I
als Kind eines 3-Knotens:
Node3(Node4(t0 , x, t1 , y , t2 , z, t3 ), v , t4 , w, t5 ) 7→
Node4(Node2(t0 , x, t1 ), y , Node2(t2 , z, t3 ), v , t4 , w, t5 )
161
Löschen aus (2,4)-Bäumen
Löschen aus inneren Knoten:
Ersetzen durch Inorder-Nachfolger (ggf. rekursiv))
Löschen aus Blättern:
I
Zu löschender Knoten ist Kind eines Knotens mit 3 oder 4
Kindern
(2,4)-Baum-Eigenschaft nach Löschen nicht verletzt
I
Zu löschender Knoten ist Kind eines Knotens mit 2 Kindern
(2,4)-Baum-Eigenschaft nach Löschen verletzt,
Zusammenfügen notwendig
Idee: Beim Suchen der Löschposition (Richtung: Wurzel →
Blatt) vorsorglich geeignete Schlüsselverschiebungen (von
Nachbarknoten) und Verschmelzungen.
162
Rot-Schwarz-Bäume
Idee: Darstellung von (2, 4)-Bäumen als binäre Bäume
Darstellung aller Schlüssel eines Knotens als Binärbaum (rote
Kanten)
Eigenschaften:
I
nie zwei rote Kanten nacheinander
I
Schwarz-Tiefe: log n
I
Tiefe: ≤ 2 log n
I
Suche wie in binären Bäumen
I
Einfügen und Löschen von 2-4-Bäumen „übersetzt“
I
evtl. Rotationen (roter Kanten) notwendig
Node(x, Node(y , t1 , t2 ), t3 ) 7→ Node(y , t1 , Node(x, t2 , t3 ))
163