Lösung zu Beispiel 1) Mars Mission

Landeswettbewerb zur 19. Österreichischen Physikolympiade 2000
Lösung zu Beispiel 1) Mars Mission
a) Wie hoch ist der Sprung auf dem Mars? (2 Pkte.)
Die kinetische Energie beim Absprung ist gleich der potentiellen Energie im Maximum
der Flugbahn, sowohl auf der Erde als auf dem Mars:
2
E = 1 mv0 = mg E hE = mg M hM ⇒ hM = g E
h = 9,8 ⋅ 1 m = 2,65 m ,
2
gM E
3,7
wobei m die Masse des Körpers, g die jeweilige Gravitationsbeschleunigung und h die
Höhe bedeutet.
b) Um das wieviel fache länger dauert der Sprung auf dem Mars als auf der Erde?
Für eine gleichförmig beschleunigte Bewegung gilt: (2 Pkte.)
v = v0 + at , wobei die Beschleunigung a = − g ist.
Im Maximum (Höhe h ) der Flugbahn gilt für die Geschwindigkeit: 0 = v0 − gt h ,
t
g
daraus folgt: h ,M
= E
= 9,8
= 2,65 .
t h,E
gM
3,7
Der Sprung dauert also auf dem Mars 2,65 mal so lange!
c) Wie groß ist die Schwingungsdauer auf dem Mars? (2 Pkte.)
Die Schwingungsdauer eines Pendels beträgt T = 2π l .
g
Damit folgt für das Verhältnis: TM
= gE
= 9,8
= 1,63 .
TE
gM
3,7
Die Schwingungsdauer beträgt auf dem Mars 1,63 s.
d) Wie groß ist die mittlere spezifische Dichte des Mars? (2 Pkte.)
mm
Für die Gravitationskraft auf der Oberfläche gilt: F = G 1 2M = m1 g M ,
rM
2
(
)
2
g M rM
3,7 ⋅ 3,393 ⋅ 10 6
=
= 6,38 ⋅ 10 23 kg ,
−11
G
6,67 ⋅ 10
m
6,38 ⋅ 10 23 kg
und für die spezifische Dichte folgt: ρ M = M =
= 3,90 ⋅ 10 3 kg m 3 .
V
1,636 ⋅ 10 20 m 3
daraus ergibt sich die Masse zu: mM =
e)
Wie lange beträgt die Umlaufzeit des Mars im Vergleich zur Erde? (2 Pkte.)
Die Gravitationskraft ist gleich der Beschleunigungskraft auf einer Kreisbahn:
mm
v2
m
F = G 1 2 M = m1 , damit folgt für die Geschwindigkeit v = G M .
r
r
r
Die Umlaufzeit ergibt sich aus dem Umfang u zu:
T=
2πr
u
r3
,
=
= 2π
v
GmM
G mM r
3
3
 r  2  225  2
T
damit folgt M =  M  = 
 = 1,84 .
TE  rE 
 150 
Ein Marsjahr dauert also 1,84 mal so lange wie auf der Erde.
2
3
Bemerkung: die Beziehung T ∝ r entspricht dem dritten Kepler’schen Gesetz, das hier für eine
Kreisbahn abgeleitet wurde, tatsächlich aber auch für die elliptischen Umlaufbahnen der Planeten gilt.
Bei diesem Beispiel sind maximal 10 Punkte möglich!
Hinweise zu den theoretischen Beispielen unter: http://www.hlphys.uni-linz.ac.at/hl/edumain.htm
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