mit Lösungen/Lösungsskizzen

6. Übung zum Lehrerweiterbildungskurs ’Stochastik’
SoSe 2014
Aufgabe 1
Ω = [1, 27] sei mit der Dichte f (x) = cx versehen (c ist eine √
geeignete Konstante). Eine Zufallsvariable X : Ω −→ R sei durch X(x) := 3 x definiert.
(i) Bestimmen Sie die Konstante c ∈ R so, dass die Funktion f eine Dichtefunktion auf Ω ist.
(ii) Bestimmen Sie die Funktion h von PX mit
h(y) = f (X −1 (y)) · (X −1 )0 (y)
und überprüfen Sie durch eine geeignete Rechnung, dass h eine Dichtefunktion auf X(Ω) ist.
(iii) Bestimmen Sie mithilfe von h die Wahrscheinlichkeit PX ([1, 2]).
Aufgabe 2 Sei Ω = [0, 1] mit Dichte f (x) = 3x2 und Zufallsvariable
X(x) := 3x + 5. Geben Sie die Dichtefunktion h von PX an.
Aufgabe 3
(i) Sei Ω = {1, 2, 3} mit P({1}) = 0.1, P({2}) = 0.2 und P({3}) = 0.7
und der Zufallsvariablen X : {1, 2, 3} −→ R mit X(x) := x2 gegeben.
Bestimmen Sie E(X).
(ii) In einem Kasino wird nach folgenden Regeln mit drei Würfeln gespielt:
Ein Spieler bekommt 1000 Euro für drei Sechsen, 100 Euro für zwei
Sechsen und 10 Euro für eine Sechs. In allen anderen Fällen gibt es gar
nichts. Geben Sie einen zugehörigen Wahrscheinlichkeitsraum und eine
passende Zufallsvariable an. Berechnen Sie, welchen Mindesteinsatz der
Kasinobetreiber verlagen wird, wenn er nicht draufzahlen möchte.
Aufgabe 4 Sei Ω = [0, 1] mit
(i) Gleichverteilung und der Zufallsvariablen X : Ω → R mit X(x) := ex
gegeben.
(ii) f (x) = 3x2 und der Zufallsvariablen X : Ω → R mit X(x) := x + 1
gegeben.
Bestimmen Sie jeweils E(X).
Lösungen und Lösungsskizzen
Aufgabe 1
Ω = [1, 27] und die Funktion
√ f (x) = cx (c ∈ R ) sowie eine Zufallsvariable
X : Ω −→ R mit X(x) := 3 x sind gegeben.
Zu (i): Damit
R 27f eine Dichte auf Ω wird, muss gelten: f (x) ≥ 0 (für alle x ∈ Ω)
und 1 f (x) dx = 1
R27
1
= 2c (272 − 1) = 1
cx dx = [ 2c x2 ]27
1
⇔c =
Somit ist durch f (x) =
1
x
364
2
272 −1
=
1
364
eine Dichte gegeben.
Zu (ii): Man bestimme zunächst X −1 (y) = y 3 und (X −1 (y))0 = 3y 2 und setze
ein:
h(y) = f (X −1 (y)) · (X −1 )0 (y) = c · y 3 · 3y 2 = 3cy 5
3 5
y Dichtefunktion von PX auf X(Ω) = [1, 3] ist:
Prüfung, ob h(y) = 364
h(y) ≥ 0 für alle y ∈ [1, 3] und
Z 3
3 5
1 63
1
y dy = [
y ]1 =
(729 − 1) = 1.
728
728
1 364
3 5
Also ist h(y) = 364
y Dichtefunktion von PX auf X(Ω) = [1, 3].
R2
Zu (iii): PX ([1, 2]) = 1 3cy 5 dy = [ 3c
y 6 ]21 = 2c (26 − 1) = 63
· c. Also gilt
6
2
63
PX ([1, 2]) = 728 ≈ 0.0865.
Aufgabe 2
Ω = [0, 1] ist mit der Dichte f (x) = 3x2 und Zufallsvariablen X(x) := 3x + 5
gegeben. Es gelten X −1 (y) = y−5
und (X −1 (y))0 = 13 . Somit ist
3
h(y) = f (X
−1
(y)) · (X
y−5 2 1
(y − 5)2
) (y) = 3(
) · =
3
3
9
−1 0
Dichtefunktion von PX auf [5, 8].
2
Aufgabe 3
Zu (i): Ω = {1, 2, 3} ist mit P({1}) = 0.1, P({2}) = 0.2 und P({3}) = 0.7
und der Zufallsvariablen X : {1, 2, 3} −→ R mit X(x) := x2 gegeben.
Gesucht ist E(X).
P
E(X) = ω∈Ω X(ω) · P(ω)
= X(1) · P({1}) + X(2) · P({2}) + X(3) · P({3})
= 1 · 0.1 + 4 · 0.2 + 9 · 0.7
= 7.2
Zu (ii): Da wir die Würfel als fair voraussetzen, liegt ein Laplaceraum mit Ω :=
{1, . . . , 6}3 vor. Die Ereignisse E1 = {(6, 6, 6)}, E2 : “genau zweimal 6“
und E3 : “genau einmal 6“ interessieren. Als Zufallsvariable definieren
wir X : Ω → R mit X(ω) := 1000 (für ω ∈ E1 ), X(ω) := 100 (für ω ∈
E2 ), X(ω) := 10 (für ω ∈ E3 ) und X(ω) := 0 (für ω ∈ Ω\(E1 ∪E2 ∪E3 )).
Zur Beantwortung der Frage wird der Erwartungswert E(X) benötigt.
Es gilt
X
E(X) =
X(ω) · P(ω)
ω∈Ω
Mit den Wahrscheinlichkeiten P({E1 }) = 613 , P({E2 }) = 3 · 16 · 16 · 65 =
und P({E3 }) = 3 · 16 · 56 · 56 = 75
erhält man:
63
15
63
1
15
75
3250
+ 100 · 3 + 10 · 3 =
≈ 15.05
3
6
6
6
216
Etwas über 15 Euro würden daher als geforderter Einsatz genügen, um
auf die Dauer nicht “draufzahlen“ zu müssen.
E(X) = 1000 ·
Aufgabe 4
Zu (i): Ω = [0, 1] ist mit Gleichverteilung und Zufallsvariablen X : Ω → R mit
X(x) := ex gegeben. Gesucht ist E(X).
Für Ω = [a, b] mit Dichtefunktion f und Zufallsvariablen X gilt:
Z b
E(X) =
f (x) · X(x) dx.
a
Für Ω = [0, 1] mit Gleichverteilung ist f mit f (x) = 1 Dichtefunktion.
Also erhalten wir:
Z 1
E(X) =
1 · ex dx = [ex ]10 = e1 − 1 ≈ 1.71828.
0
3
Zu (ii): Ω = [0, 1] ist mit f (x) = 3x2 und Zufallsvariablen X : Ω → R mit
X(x) := x + 1 gegeben. Gesucht ist E(X).
Z 1
Z 1
3
7
2
(3x3 +3x2 ) dx = [ x4 +x3 ]10 = = 1.75.
3x ·(x+1) dx =
E(X) =
4
4
0
0
4