Neoklassische Produktionsfunktion

Neoklassische Produktionsfunktion
Mathematische Beschreibung zu einer Modellabbildung mit Excel
Dieses einfache Modell ermöglicht die Simulation unterschiedlichen Aufwands bei
verschiedenen technischen Möglichkeiten. Allgemein kann man damit
unterschiedliche Techniken vergleichen und die Substitution in den Mengen
darstellen.
Die verbale Beschreibung ist knapp, denn in diesem Skript wird die mathematische
Formulierung des Lösungsweges bevorzugt. Ohne weitere Informationen zu den
Kosten und den entsprechenden Budgets kann aus dem Lösungsraum kein
kostenminimaler Punkt oder Expansionspfad bestimmt werden. Kennt man den
Aufwand der Inputfaktoren, mit denen ein gewisser Output erzielt werden kann, so
lassen sich mit den unten beschriebenen Funktionen die Inputs so optimieren, dass
der Aufwand minimal wird.
Die Substitution und die Verteilung der Inputs werden aus der Grenzproduktivität der
Faktoren abgeleitet. Die Faktoreinsätze variieren mit den Grenzproduktivitäten. Mit
den substitutiven Produktionsfunktionen werden reale Fragestellungen und
Produktionsbedingungen besser abgebildet, als mit der klassischen Partialanalyse.
Die folgenden theoretischen Grundlagen setzen wir im Excel-Modell in Beispiele mit
konkreten Werten um. Mit dem Modell werden unterschiedliche ökonomische Fragen
und Antworten veranschaulicht:
-
Wie wird der Aufwand bei unterschiedlichen Produktionsniveaus minimiert?
Wie wirken sich Änderungen der relativen Produktivität der Einsatzfaktoren
aus?
Wie bildet man konstante, sinkende und steigende Skalenerträge ab?
Wie beeinflussen die Rahmenbedingungen die technische
Produktionsfunktion?
usw.
Die verwendeten Variablen sind:
€
€
€
€
€
€
O := Output
A := Aufwand
a1,2 := Aufwand⋅ der⋅ Faktoren
q1,2 := Faktormengen
α := Grenzproduktivität − Faktor1
β := Grenzproduktivität − Faktor2
λ := Lagrange − Multiplikator
a0 := Niveauparameter
Die Produktionsfunktion ist vom Typ Cobb-Douglas für zwei variable Einsatzfaktoren:
mit a,α,β>0
Für einen bestimmten Output
erhält man eine Isoquante durch Auflösen nach der
Menge jeweils eines Faktors:
1
⎛ O ⎞ β α
q2 = ⎜ 0 ⎟ q1− β . Die grafische Darstellung ist eine Isoquante für jeden Output. Sie
⎝ a0 ⎠
wurde im Excel-Modell (Grenzertrag) für die Darstellung der partiellen Faktoranalyse
verwendet.
€
Gesucht wird nun die Faktorkombination mit dem geringsten Aufwand. Nehmen wir
eine Zielfunktion dazu und formulieren:
A = a1q1 + a2q2
€
Die Aufwandfunktion ist einfach die Summe aus spezifischem Aufwand und InputMengen.
Mit einer entsprechenden Auflösung nach der Menge eines Faktors wird die
Zielfunktion aufgelöst zu:
a
A
q2 = − 1 q1 + .
a2
a2
Eine gegebene Menge, die mit den geringsten Kosten produziert wird, erhält man als
Minimum der Funktion A = a1q1 + a2q2 unter der Randbedingung .
€
Aus der Randbedingung wird eine implizite Funktion gebildet. Damit lautet das
Minimierungsziel
€ formal:
{
}
min A = a1q1 + a2q2 O − a0q1α q2 β ≡ 0
Mit der LAGRANGE-Regel integrieren wir die Nebenbedingung in die Funktion:
A = a1q1 + a2q2 + λ(O − aq1α q2 β ) .
€
Die Funktion nach den jeweiligen Mengen partiell differenziert:
€
€
€
∂A
= a1 − λaαq1α −1q2 β = 0
∂q1
∂A
= a2 − λaβq1α q2 β −1 = 0
∂q2
∂A
= O − a0q1α q2 β = 0
∂λ
(*)
Die erste Gleichung kann man auflösen zu:
€
λa0 =
a
1
α −1 β
1
2
αq
q
und die zweite zu:
€
λa0 =
a2
. Beide Gleichungen werden verbunden zu:
βq1α q2β −1
a
1
α −1 β
1
2
αq
€
q
=
a2
. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit
βq1α q2β −1
,
erhält man folgende Aussage zur Technik der Produktion:
€
a1
a
q
aα
q1 = 2 q2 umgeformt zu: 1 = 2 .
α
β
q2 a1β
Das Verhältnis der Faktoreinsätze entspricht spezifischen Aufwand, multipliziert mit
den jeweiligen Produktivitäten der Faktoren.
€
Die Gleichung aufgelöst nach der Menge ist:
€
Setzt man die Gleichung für q1 in die obige partielle Ableitung der Aufwandsfunktion
nach ein (*), so erhält man:
⎛ a2α ⎞α β
⎛ a2α ⎞α α + β
€
O − a⎜
q2 ⎟ q2 = 0 (**) bzw. a⎜
=O
⎟ q2
⎝ a1β ⎠
⎝ a1β ⎠
Daraus folgt dann für die Input-Mengen die Abhängigkeit vom Aufwand:
€
1
⎛ O ⎛ a β ⎞α ⎞α + β
q2 = ⎜⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎟⎟
⎝ a0 ⎝ a2α ⎠ ⎠
€
Hiermit wird in dem Excel-Modell zum Grenzertrag die Einsatzmenge des ersten
Faktors ermittelt.
€
Die oben ermittelte Beziehung zwischen Faktoreinsätzen und Grenzproduktivitäten,
s.o. (
€
q1 a2α
aα
=
) wird zur Berechnung des zweiten Einsatzfaktor aufgelöst: q1 = 2 q2
q2 a1β
a1β
Die Ergebnisse zu den Faktoreinsätzen wurden grafisch im Produktionsgebirge
umgesetzt. Zu jedem Output erhält man nun den aufwandsminimalen Input, der als
€
Expansionspfad für einen Outputvektor ermittelt wurde.
Für die Produktionsfunktion erhält man durch Einsetzen:
Unter Verwendung der bereits abgeleiteten Gleichung (**)und der
aufwandsabhängigen Menge für
q1 =
€
a2α
q
a1β 2
errechnet man am Ende die minimalen Einsatzmengen die nur noch vom
spezifischen Aufwand und vom Output abhängig sind:
1
α α +β
α + β ⎛⎜ O ⎛ a1β ⎞ ⎞⎟
A=
a
Im Excel Modell wird diese Funktion für den minimalen
⎜
⎟
β 2 ⎜⎝ a0 ⎝ a2α ⎠ ⎟⎠
Gesamtaufwand verwendet.
€
Mit dem Modell zur Mengenoptimierung werden nun unterschiedliche Varianten
gerechnet. Bei einer geeigneten Wahl der Grenzproduktivitäten der Faktoren lassen
sich konstante, sinkende oder steigende Skalenerträge visualisieren.
Mit diesen mathematischen Ableitungen soll folgende Aussage illustriert werden:
Innerhalb technischer Randbedingungen lassen sich optimale Einsatzkombinationen
der Faktoren errechnen. Für eine Fortentwicklung sind aber die technischwissenschaftlichen Randbedingungen verantwortlich, der optimale Produktionsplan
ist lediglich ein Ergebnis.