Formelüberblick TM 2 - Institut für Nichtlineare Mechanik

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik II
FS 1
Elastostatik — Statik elastischer Körper
Die Elastostatik enthält Elemente der Festigkeitslehre und hat die Aufgabe, Beanspruchungen und
Deformationen an Strukturen zu ermitteln. Durch die Berücksichtigung der Verformungen und entsprechender Verträglichkeitsbedingungen lassen sich statisch unbestimmte Aufgaben lösen.
Lösen von statisch unbestimmten Aufgaben
Schritt 1-4 wie bisher (Blatt FS 4):
1. Freischneiden aller Körper
2. Äußere Kräfte und Momente an jedem Körper einzeichnen
3. Koordinatensystem(e) einführen
4. Gleichgewichtsbedingungen für jeden Körper aufstellen
5. Auflösen des Gleichungssystems so nicht möglich, da weniger Gleichungen als Unbekannte
(a) Verformung in Abhängigkeit der unbestimmten Kräfte und Momente ermitteln
(b) Geometrische Verträglichkeitsbedingungen der Verformung aufstellen ⇒ weitere Gleichungen
(c) Auflösen des Gleichungssystems
Zug-/Druck
N (x)
A(x)
Normalspannung
=
dξ(x)
dx
Dehnung
σ(x) = ǫ(x)E
∆ℓ
=
Rℓ
0
∆ℓ
dx
σ(x) =
ǫ(x)
ℓ
dx + dξ
ǫ(x) dx =
N
1
E
Rℓ
N (x)
0 A(x)
dx Längenänderung
x
σ
=
N
A
Normalspannung
ǫ
=
∆ℓ
ℓ
Dehnung
Längenänderung
ξ(x)
Querschnitt A(x),
E-Modul E
ℓ
Spezialfall, konstanter Querschnitt A:
N
∆ℓ = ℓ EA
N
Hooke’sches Gesetz 1D
(Stoffgesetz)
Querschnitt A, E-Modul E
N
N
ℓ + ∆ℓ
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Technische Mechanik II
FS 2
Torsion
Verdrehwinkel ∆ϑ (im Bogenmaß):
∆ϑ =
Z
ℓ
0
MT
dx
GIp (x)
ℓ
R
MT
Bei konstantem Querschnitt:
∆ϑ = ℓ
MT
GIp
Spannungsverteilung im Querschnitt:
τ (x, r) =
MT
r,
Ip (x)
MT
∆ϑ
MT
GIp
G
Ip
–
–
–
–
Torsionsmoment
Torsionssteifigkeit
Schubmodul
Polares
R Flächenträgheitsmoment
Ip =
Rinnen ≤ r ≤ Raussen
A
r2 dA
Polares Flächenträgheitsmoment Ip einer Hohlwelle:
Ip =
π 4
4
(Raussen − Rinnen
)
2
(Vollwelle als Spezialfall mit Rinnen = 0)
x
w(x)
Balkenbiegung, Biegelinie
Differentialgleichung der Biegelinie
EIw(IV ) (x) = q(x)
EIw(III) (x) = −Q(x)
EIw′′ (x) = −M (x)
Z
1
′
w (x) = −
M (x)dx + C1
EI
Z
w(x) =
w′ (x)dx + C2
z
EI – Biegesteifigkeit
E – Elastizitätsmodul
I
– axiales
R Flächenträgheitsmoment
Iy = A z 2 dA
Integrationskonstanten C1 und C2 folgen aus Randbedingungen!
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Technische Mechanik II
FS 3
Kinematik
Die Kinematik beschreibt die Bewegung eines Punktes im Raum. Dazu werden der Ort eines Punktes,
seine Geschwindigkeit sowie die Beschleunigung betrachtet.
Zur Darstellung dieser Größen eignen sich verschiedene Koordinatensysteme.
Kartesische Koordinaten
Darstellung einer Punktbewegung in kartesischen
Koordinaten:

x(t)
Ortsvektor: ~r(t) = y(t)
z(t)

z

ẋ(t)
d~r
Geschwindigkeit: ~v (t) =
= ~r˙ = ẏ(t)
dt
ż(t)


ẍ(t)
d~v
Beschleunigung: ~a(t) =
= ~v˙ = ~r¨ = ÿ(t)
dt
z̈(t)

~v
~r
y
Bahn
x
Natürliche Koordinaten
Ein mit dem betrachteten Punkt mitbewegtes Koordinatensystem nennt man natürliches Koordinatensystem. Dabei wird die Beschleunigung in einen
Anteil längs und einen quer zur Bahnkurve zerlegt:
~en
~a = at~et + an~en
v2
= v̇~et + ~en .
ρ
Der Einheitsvektor ~et zeigt in Richtung der Geschwindigkeit ~v :
ρ
z
~r
~et
y
Bahn
x
~v = v~et .
Der Normalenvektor ~en steht senkrecht darauf.
Die Bahnkurve kann in lokal durch einen Kreis, den Krümmungskreis mit Mittelpunkt M, angenähert
werden. Sein Radius ρ = MP heißt Krümmungsradius. Der Normalenvektor ~en zeigt in Richtung von .
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Technische Mechanik II
FS 4
Eindimensionale Bewegung
Legt man eine Koordinatenachse längs der
Bahn eines Punktes, benötigt man zur Beschreibung des Ortes des Punktes nur eine
Koordinate, die Bogenlänge s.
Für die Größen s, v , a und t gilt:
v=
s
Bahn
ds
dt
dv
dt
dv ds
dv
a=
·
=v
ds dt
ds
a=
Ist der Zusammenhang zwischen zwei der vier Größen gegeben, lassen sich die anderen beiden nach
folgendem Schema berechnen:
s(t)
(1)
(2)
v(t)
(3)
v(s)
(4)
a(t)
(6)
(5)
a(v)
a(s)
Für jeden dieser Schritte muss eine Separation der Variablen sowie eine Integration wie folgt durchgeführt werden:
gegeben:
(1)
v(t)
(2)
v(s)
(3)
a(t)
(4)
a(v)
(5)
a(s)
(6)
a(v)
gesucht:
ds
dt
ds
v=
dt
dv
a=
dt
dv
a=
dt
dv
a=v
ds
dv
a=v
ds
v=
Separation
−−−−−→
Separation
−−−−−→
Separation
−−−−−→
Separation
−−−−−→
Separation
−−−−−→
Separation
−−−−−→
ds = v(t) dt
ds
= dt
v(s)
dv = a(t) dt
Integration
−−−−−→
Integration
−−−−−→
Integration
−−−−−→
dv
= dt
a(v)
−−−−−→
a(s)ds = v dv
−−−−−→
vdv
= ds
a(v)
−−−−−→
Integration
Integration
Integration
s(t)
t(s)
v(t)
t(v)
v(s)
s(v)
Bei (2), (4) und (6) ist nach der Integration die Umkehrfunktion zu bilden, um s(t), v(t) bzw. v(s) zu
erhalten.
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Technische Mechanik II
FS 5
Polarkoordinaten (2D)
Bahn
y
~r
er
eϕ
ϕ
x
Die Lage des Punktes P ändert sich mit der Zeit und damit sind auch die Richtungen von ~er und ~eϕ
zeitabhängig. Das hat zur Folge, dass im Gegensatz zu einem kartesischen Koordinatensystem die
Basisvektoren mitdifferenziert werden müssen. Wird dies berücksichtigt, so erhält man mit r = r(t)
und ϕ = ϕ(t) für die ebene Bewegung in Polarkoordinaten
~r(t) = r ~er
~v (t) = ṙ ~er + rϕ̇ ~eϕ
~a(t) = r̈ − r ϕ̇2 ~er + (rϕ̈ + 2ṙϕ̇) ~eϕ .
Wichtiger Sonderfall: Bei einer Kreisbewegung gilt r = const. ⇒ ṙ = r̈ = 0.
Zylinderkoordinaten (3D)
z
ez
Bahn
~r
eϕ
ϕ
er
z
r
y
x
Zylinderkoordinaten stellen eine räumliche Erweiterung von Polarkoordinaten dar. Der Basisvektor
~ez ändert sich dabei nicht mit der Zeit. Mit r = r(t), ϕ = ϕ(t) und z = z(t) stellen sich Orts-,
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor wie folgt dar:
~r(t) = r ~er + z ~ez
~v (t) = ṙ ~er + rϕ̇ ~eϕ + ż ~ez
~a(t) = r̈ − r ϕ̇2 ~er + (rϕ̈ + 2ṙϕ̇) ~eϕ + z̈ ~ez .
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Technische Mechanik II
FS 6
Bewegung starrer Körper
Um die Lage eines Körpers endlichen Ausmaßes zu beschreiben,
betrachtet man neben der Verschiebung auch die Drehung des
Körpers. Der Bewegungszustand wird also durch die Geschwindigkeit vP eines Punktes sowie die Winkelgeschwindigkeit ω beschrieben.
Die Geschwindigkeit vP eines Körpers hängt ab vom Bezugspunkt, während die Winkelgeschwindigkeit ω überall im Körper
gleich ist.
Für die Geschwindigkeit zweier Punkte eines starren Körpers gilt:
~vB
ω
~rAB
~vA
z
y
x
~vB = ~vA + ω
~ × ~rAB .
Ebene Bewegung
Kann sich ein starrer Körper nur in einer Ebene bewegen, so lässt sich seine Lage vollständig durch
zwei Ortskoordinaten und einen Winkel beschreiben.
Die Bewegung des Körpers setzt sich aus Translation und Rotation zusammen. Sie lässt sich jedoch zu
jedem Zeitpunkt auch als reine Drehbewegung um einen augenblicklichen (momentanen) Drehpunkt
auffassen. Man bezeichnet diesen Drehpunkt als Momentanpol MP.
Ermittlung von Momentanpolen
~vB
Ist die Geschwindigkeit zweier Punkte eines starren Körpers gegeben, lässt sich sein Momentanpol konstruieren. Man unterscheidet dabei zwei Fälle.
I
Geschwindigkeiten nicht parallel
Die Geschwindigkeiten ~vA und ~vB zweier Punkte sind gegeben
und nicht parallel: Der Momentanpol ist der Schnittpunkt der
Senkrechten auf die Geschwindigkeiten.
Für die Drehgeschwindigkeit ω gilt:
rB
ω
rA
~vA
v A = ω rA
v B = ω rB
ω = vrAA = vrBB
II
Geschwindigkeiten parallel
Die Geschwindigkeiten ~vA und ~vB zweier Punkte sind bekannt und
parallel: Der Momentanpol ist der Schnittpunkt der Senkrechten
auf die Geschwindigkeiten mit der Gerade durch die Vektorspitzen.
Für ω gilt dann: ω = vrAA = vrBB
~vB
rB
~vA
rA
ω
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FS 7
Ortskurve des Momentanpols
Der Momentanpol ist zwar momentan fest, im nächsten Augenblick kann jedoch ein anderer Punkt Momentanpol sein. Die Ortskurve des Momentanpols im raumfesten Koordinatensystem heißt Spurkurve
oder Rastpolbahn.
Die Ortskurve im körperfesten Koordinatensystem nennt man Polkurve oder Gangpolbahn. Die Polkurve rollt auf die Spurkurve ab.
Allgemeine Berechnungsformel
Allgemein läßt sich der Vektor ~rAMP von einem Punkt zum Momentanpol
wie folgt berechnen,
wenn die Geschwindigkeit ~vA des Punktes sowie die Drehgeschwindigkeit ω
~ des Körpers bekannt sind:
~rAMP =
1
ω
~ × ~vA .
ω2
Kinematische Zusammenhänge bei Rädern und Walzen
Bei rollenden Rädern liegt der Momentanpol im Berührpunkt des Rades mit dem Untergrund. Gleitet
ein Rad, so verschiebt sich der Momentanpol.
Mittelpunkt ortsfest (reines Durchdrehen):
Reines Rollen:
v1 = ω r
v2 = 2 ω r
v2
v0 = ω r
v2 = ω r
v2
r
v1
r
ω
ω
r
r
v0
Rollen+Gleiten (Überbremsen):
v1 = v0 + ω r
v2 = v0 + 2 ω r
v2
Rollen+Gleiten (Durchdrehen):
v1 = −v0 + ω r
v2 = −v0 + 2 ω r
r
v1
ω
r
v1
ω
r
v0
v2
v0
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Technische Mechanik II
FS 8
z′
Relativbewegung
Oft sind Ort, Geschwindigkeit oder Beschleunigung
eines Punktes relativ zu einem bewegten Koordinatensystem gegeben, man interessiert sich jedoch
für die Absolutbewegung des Punktes.
Die Absolutgeschwindigkeit ~vP und die Absolutbeschleunigung ~aP beschreiben Größen, die ein ruhender Beobachter messen würde. Diese können
entweder im raumfesten oder im bewegten Koordinatensystem dargestellt werden:
y′
z
ρ~
~rP
y
~r0
x′
~rP = ~r0 + ρ~
x
raumfestes System
bewegtes System
~vP = ~v0 + ω
~ × ρ~ +~v
| {z } rel
Führungsgeschwindigkeit
d′
~ × ρ~ + ω
~ × (~ω × ρ~) + 2 ω
~aP = ~a0 + ω
~ × ~vrel +~arel
dt
|
{z
} | {z }
Führungsbeschleunigung
Coriolisbeschl.
Hierbei ist ω
~ die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich das bewegte Koordinatensystem dreht.
Der Anteil
gung.
d′
dt
ω
~ × ρ~ wird als Eulerbeschleunigung bezeichnet, ω
~ × (~ω × ρ~) als Zentripetalbeschleuni-
~v0 und ~a0 beschreiben die Bewegung des Koordinatenursprungs des Relativsystems:
~v0 =
d
~r0 ,
dt
~a0 =
d
~v0 .
dt
Relativgeschwindigkeit ~vrel und -beschleunigung ~arel des Punktes P im bewegten System berechnen
sich zu
~vrel =
d′
ρ~ ,
dt
~arel =
d′
~vrel .
dt
d
Es ist darauf zu achten, in welchem Koordinatensystem die abzuleitenden Vektoren vorliegen. dt
~a
d′
bezeichnet die Ableitung des Vektors ~a nach der Zeit im raumfesten Koordinatensystem, dt ~a beschreibt
die Ableitung im Relativsystem.
Diese zwei Ableitungen unterscheiden sich um einen aus der Drehung des bewegten Koordinatensystems resultierenden Anteil:
d′
d
~a = ~a + ω
~ × ~a .
dt
dt
Aus diesem Zusammenhang ist ersichtlich, dass die Ableitung von ω
~ unabhängig vom Koordinatensystem ist:
d
d′
ω
~ = ω
~.
dt
dt
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Technische Mechanik II
FS 9
Vorgehen zur Ermittlung der absoluten Beschleunigung
physikalisches
Modell
gesamten Ortsvektor im raumfesten
Anwendung der Formeln der Relativ-
System ~ex ~ey ~ez aufstellen
mechanik. Vektoren im körperfesten
und im raumfesten System ableiten
System ~ex′ ~ey′ ~ez′ dargestellt.
absolute Geschwindigkeit/
Koordinaten-
absolute Geschwindigkeit/
absolute Beschleunigung
transformation
für ~a und ~v
absolute Beschleunigung
dargestellt im raumfesten
~ex ~ey ~ez -System
dargestellt im körperfesten
~ex′ ~ey′ ~ez′ -System
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replacements
Technische Mechanik II
FS 10
Stoßvorgänge
Charakteristisch für Stoßvorgänge ist, dass zwischen den Körpern sehr große Kräfte während eines
sehr kurzen Zeitraums wirken.
Annahmen
• Kurze Stoßdauer, d.h. Lage der Körper ändert sich nicht während des Stoßes.
• Die zwischen den Körpen wirkenden Stoßkräfte sind so groß, dass die Wirkung aller eingeprägten Kräfte (z.B. Gewichtskräfte, Federkräfte, Reibkräfte) während des Stoßes vernachlässigt
werden können.
Bezeichnungen
Körper 1
Körper 2
Unmittelbar vor dem Stoß werden die Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten von Körper i mit vi− bzw. ωi− bezeichnet, unmittelbar nach
dem Stoß entsprechend mit vi+ und ωi+ .
n
Stoßnormale
Tangentialebene/
Berührebene
Körper 1
F̃T
Körper 2
F̃N
F̃N
Die Stoßkräfte werden in eine Normalkomponente
F~N und eine Tangentialkomponente F~T zerlegt.
Die Wirkung dieser Stoßkräfte kann über deren
Zeitintegrale „summarisch“ berücksichtigt werden,
dies führt zur Definition der Kraftstöße
F̃N =
F̃T
Z
t+
FN dt ,
t−
F̃T =
Z
t+
FT dt
t−
Die Kraftstöße sind in der nebenstehenden Skizze
veranschaulicht.
Bestimmungsgleichungen
Der Stoß wird durch die Impulssätze in integrierter Form in ~n- und ~t-Richtung sowie den Drehimpulssatz in integrierter Form beschrieben. Diese werden für beide Körper aufgestellt. In den Drehimpulssatz gehen die Momente der Kraftstöße auf der rechten Seite ein.
m vN+ − vN−
m
Θ
(S)
vT+
+
−
vT−
ω −ω
−
=
X
F̃Nj
=
X
F̃Tj
=
X
M̃j .
j
j
j
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Technische Mechanik II
FS 11
Eine weitere Bestimmungsgleichung erhält man durch die Stoßgleichung
ε=−
+
+
v(A
− v(A
2 )N
1 )N
−
−
v(A
− v(A
2 )N
1 )N
,
hierbei bezeichnen A1 und A2 die Berührpunkte, ε ist die Stoßziffer. Bei einem voll-elastischen Stoß
ist ε = 1, und die Stoßgleichung entspricht dem Energieerhaltungssatz. Ein voll-plastischer Stoß wird
durch ε = 0 beschrieben.
Klassifikation
• zentrischer/ zentraler Stoß
Die Stoßnormale geht durch beide Schwerpunkte (sonst exzentrischer Stoß).
• gerader Stoß
Der Relativgeschwindigkeitsvektor an der Stoßstelle vor dem Stoß hat keine Komponente in
Tangentialrichtung (sonst schiefer Stoß).
• glatter Stoß
Stoßkräfte wirken nur in Richtung der Stoßnormalen ⇒ F̃T = 0 (sonst rauer Stoß: Bei Annahme
vollständiger Haftung sind die Tangentialkräfte so groß, dass die Relativgeschwindigkeit in Tangentialrichtung am Berührpunkt Null wird, sobald die Körper zusammenstoßen ⇒ kinematische
Beziehung).
Vorgehensweise
1. Klassifikation des Stoßes.
2. Freischneiden der Körper, Stoßnormale festlegen.
3. Kraftstöße einzeichnen (gegebenenfalls auch Lagerstöße).
4. Positive Bewegungsrichtungen festlegen.
5. (Dreh-) Impulssätze in integrierter Form aufstellen.
6. Stoßgleichung formulieren (bei ε = 1 kann alternativ der Energiesatz verwendet werden).
7. Kinematische Zusammenhänge aufstellen.
8. Auflösen des Gleichungssystems.