Aufgabensammlung 1 - Institut für Nichtlineare Mechanik

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik IV
Sommersemester 2011 VÜ 1
Aufgabe 1
c3
m, r, k
m, r, k
m
m
x2
x1
Zwei masselose, undehnbare Seile sind durch eine Feder (Federkonstante c3 ) verbunden. Die Seile laufen jeweils
über eine Rolle (Masse m, Radius r, Trägheitsradius k ) und
tragen an ihren Enden Körper der Massen m1 = m2 = m,
welche durch Federn (Federkonstanten c1 und c2 ) an den
Boden gefesselt sind.
c2
c1
a) Die Verlängerung x3,0 der Feder 3 im Gleichgewichtszustand sei bekannt. Welche Verlängerungen x1,0 und x2,0 besitzen die Federn 1 bzw. 2 im Gleichgewichtszustand?
b) Die Koordinaten x1 bzw. x2 sollen die Auslenkungen der Körper m1 bzw. m2 aus der Gleichgewichtslage beschreiben. Geben Sie die Differentialgleichungen für die Schwingungen um die
Gleichgewichtslage an.
Es sei nun speziell c1 = c2 = c3 = c.
c) Welche Eigenfrequenzen ω1 , ω2 besitzt dann das System? Berechnen Sie die Eigenvektoren.
d) Wie ändern sich die Differentialgleichungen, wenn man zu den Koordinaten η1 = x1 + x2 und
η2 = x1 − x2 übergeht? Was bedeutet dies für die Eigenfrequenzen des Systems? Was für die
Eigenvektoren?
Aufgabe 2
x
c
c
m
ϕ
Ein mathematisches Pendel (Länge ℓ, Masse m) ist in einem Gleitstück reibungsfrei drehbar gelagert. Das Gleitstück (Masse m) kann sich horizontal reibungsfrei bewegen
und ist zwischen zwei gleichen Federn (Federkonstante c)
eingespannt.
m, ℓ
a) Ermitteln Sie die Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Lagrange’schen Gleichungen zweiter Art
für kleine Winkel ϕ.
b) Bestimmen Sie die Eigenwerte des Systems.
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Sommersemester 2011 VÜ 2
Aufgabe 3
Eine Kugel (Masse m) trifft mit der vertikalen Geschwindigkeit v auf einen keilförmigen Klotz (Masse 3m, Neigungswinkel α = 45◦ ), der auf einer glatten horizontalen Unterlage
ruht. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Keils unmittelbar
nach dem glatten Stoß mit der Stoßzahl ε?
m
α
3m
Aufgabe 4
A
3m m
ℓ
3m
v
α
B
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
Ein T-förmiges Pendel besteht aus zwei verschweißten
Stangen (homogen, Masse jeweils 3m, Längen ℓ bzw. 4ℓ).
Das Pendel ist im Punkt A reibungsfrei drehbar gelagert. Ein
punktförmiger Körper (Masse m) trifft mit der Geschwindigkeit v unter dem Winkel α = 30◦ im Punkt B auf das ruhende
Pendel. Der Stoß ist glatt und teilplastisch (Stoßziffer ε).
Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit des Pendels unmittelbar nach dem Stoß.
Aufgabe 5
ℓ
m
S
2m
Eine masselose Stange der Länge ℓ trägt an beiden Enden
Punktmassen, von denen die rechte doppelt so schwer ist
wie die linke. Die Stange wird in waagrechter Stellung so
fallen gelassen, dass ihr Mittelpunkt mit der Geschwindigkeit v auf eine senkrechte Schneide auftrifft. Dabei tritt ein
plastischer Stoß auf.
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Schwerpunkts sowie die Winkelgeschwindigkeit der Stange unmittelbar nach
dem Stoß.
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Sommersemester 2011 VÜ 3
Aufgabe 6
Eine Kiste (Masse m) rutscht von x = 0 mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 eine Rampe herunter. Am
Ende der Gleitstrecke (x = a) stößt die Kiste gegen
einen Anschlag. Der Stoß sei gerade, zentral, halbelastisch (Stoßziffer ε). Zwischen Kiste und Rampe herrsche Coulomb’sche Reibung mit dem Reibungskoeffizienten µ.
x
m
a
a) Welche Zeit t1 benötigt die Kiste bis zum Berühren des Anschlags und welche Geschwindigkeit v1 hat sie dabei?
α
b) Nach dem Stoß kommt die Kiste bei x = 0 wieder zur Ruhe. Wie groß ist damit die Stoßziffer ε ?
c) Die Bedingung für Haften sei nicht erfüllt. Die Kiste rutscht dann von x = 0 wieder herunter,
stößt gegen den Anschlag und kommt jetzt im Abstand b vom Anschlag wieder zur Ruhe. Wie
groß ist das Verhältnis b/a?
Aufgabe 7
F
l
B
A
l
l
Der skizzierte Träger (Biegesteifigkeit EI , Länge
l ) ist durch die Kraft F belastet. Berechnen Sie
mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die
Auflagerreaktionen in A .
Betrachten Sie nur Verformungen aufgrund von
Biegebelastungen.
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Sommersemester 2011 VÜ 4
Aufgabe 8
IV
45◦
S4
Das dargestellte Fachwerk besteht aus vier Stäben
(Ei Ai = EA für i = 1, 2, 3 und E4 A4 = 2EA). Im Knoten
II greift eine Kraft F an. Berechnen Sie die Vertikalverschiebung uy sowie die Horizontalverschiebung ux des
Knotens III infolge der Kraft F mit Hilfe des Prinzips der
virtuellen Kräfte.
uy
ux
III
S2
ℓ
S3
45◦
S1
I
II
ℓ
45◦ F
Aufgabe 9
F
A
ℓ
ℓ
B
C
Der skizzierte, rechtwinklige, räumliche Träger (Biegesteifigkeit EI , Torsionssteifigkeit GIt ) ist in C fest
eingespannt und in A gelenkig gelagert (Loslager
überträgt nur eine senkrechte Kraft). Der Träger
wird durch die senkrechte Kraft F an der Stelle B
belastet.
Berechnen Sie mit Hilfe des Prinzips der virtuellen
Kräfte die Auflagerreaktion in A.
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Sommersemester 2011 VÜ 5
Aufgabe 10
l
2
l
2
Ein homogener Balken (Länge l , Biegesteifigkeit
EI ) ist in der skizzierten Weise gelagert und durch
die Streckenlasten q(x) = q0 für 0 ≤ x ≤ 2l
und q(x) = −q0 für 2l < x ≤ l belastet. Mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens ist eine Approximation
der Biegelinie zu ermitteln. Verwenden Sie als Ansatz
q0
x
q0
EI
z
w(x) = c1 sin(bx).
Hinweis:
R
2
sin (bx)dx =
x
2
−
1
4b
a) Bestimmen Sie zunächst die Konstante b so,
dass die Randbedingungen und Symmetriebedingungen erfüllt sind.
sin(2bx)
b) Bestimmen Sie die Konstante c1 mit Hilfe des
Ritzschen Verfahrens.
Aufgabe 11
q0
x
ℓ
Der skizzierte Balken (Biegesteifigkeit EI ) ist durch eine konstante Streckenlast q0 belastet. Mit dem
dreigliedrigen Ritz-Ansatz
ω̃(x) = c1 φ1 + c2 φ2 + c3 φ3 ,
mit
φ1 (x) =
x
x
1−
,
ℓ
ℓ
φ2 (x) =
x 2 x
1−
,
ℓ
ℓ
φ3 (x) =
x 2 x 2
1−
,
ℓ
ℓ
bestimme man näherungsweise die Biegelinie und werte sie an der Stelle x =
ℓ
2
aus.
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Sommersemester 2011 VÜ 6
Aufgabe 12
A
C
B
a
Der Balken AD (masselos, Länge 3a , Biegesteifigkeit α = EI ) ist in den Punkten A und D
reibungsfrei drehbar gelagert. Im Punkt B ist eine
Feder (Federkonstante k ) so befestigt, dass sie
für w(a) = 0 gerade entspannt ist.
x
a
a
k
D
P
z
Der Balken wird nun im Punkt C durch die Kraft P belastet. Die Biegelinie soll durch den eingliedrigen Ritz-Ansatz
w(x)
e
= c1 Φ1 (x)
angenähert werden.
mit
Φ1 (x) =
x2 (x−3a)
a3
a) Zeigen Sie, dass der angegebene Ansatz die Randbedingungen erfüllt.
b) Berechnen Sie die Formänderungsarbeit der Gesamtanordnung in Abhängigkeit von c1 .
c) Ermitteln Sie die Konstante c1 mit dem Ritz’schen Verfahren.
Aufgabe 13
F
EI, ℓ
z
M
x
EI, ℓ
Diskretisierung:
I
1
w1
w1′
2
w2
II
w2′
3
w3
x
w3′
Zwei schubstarre Balkenelemente (jeweils
Länge ℓ, Biegesteifigkeit EI ) sind wie skizziert verbunden und an den Enden starr
eingespannt. Die Belastung erfolgt durch
ein Moment M , welches zwischen den
Balken eingeleitet wird, sowie durch eine
Kraft F . Die Diskretisierung mit der entsprechenden Element- und Knotennummerierung ist in der Skizze angegeben.
z
a) Geben Sie das Gleichungssystem K u = f mit u = [w1 w1′ w2 w2′ w3 w3′ ]T an.
b) Wie lauten die wesentlichen Randbedingungen?
c) Berechnen Sie die Durchbiegung und Verdrehung am Knoten 2.
d) Berechnen Sie die Lagerreaktionen.
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Sommersemester 2011 VÜ 7
Aufgabe 14
A
l
2
B
a
D
β
starr
F
Der vertikal angeordnete, masselose Balken AC
(Länge l , Biegesteifigkeit EI ) kann sich in A spielfrei vertikal bewegen und ist in C fest eingespannt.
In seiner Mitte B ist ein starrer, masseloser Träger
BD (Länge a ) fest angebracht. Am Trägerende
D greift die Kraft F unter dem Winkel β zur
Horizontalen an.
Die Verformung des Balkens AC soll mit Hilfe der
Methode der finiten Elemente untersucht werden.
Längsverformungen des Balkens sollen dabei
vernachlässigt werden.
l
2
C
a) Geben Sie die vom Träger BD auf den Balken AC aufgebrachten Belastungen an.
b) Zerlegen Sie den Balken AC in geeignete finite Elemente. Geben Sie Rand- und Anschlussbedingungen sowie die unbekannten Knotenvariablen an.
c) Ermitteln Sie die Gesamtsteifigkeitsmatrix K des Balkens AC.
d) Berechnen Sie die unbekannten Knotenvariablen.
e) Unter welchem Winkel β muss demnach die Kraft F angreifen, damit die horizontale und
vertikale Verschiebung des Punktes D gleich groß sind?
(Die Verschiebungen sollen klein gegenüber a und l sein.)