Formelüberblick TM 1 - Institut für Nichtlineare Mechanik

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik I
FS 1
Stereostatik — Statik starrer Körper
Grundlagen der Vektorrechnung
Definition des Vektors und Koordinatendarstellung
Ein Vektor ~a beschreibt unabhängig vom Koordinatensystem
eine gerichtete Strecke im Raum. Wird ein Koordinatensystem
K aus Basisvektoren ~ex , ~ey , ~ez definiert, so lässt sich der Vektor
~a als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen. Die
Faktoren ax , ay , az werden dabei als Koordinaten bezeichnet
T
und können zu einer Spaltenmatrix aK = [ax ay az ] zusammengefasst werden.
Ausführliche Schreibweise
 T  
~ex
ax



~ey 
a
~a = ax~ex + ay~ey + az~ez = y
~ez
az
Grundoperationen
z
K
~a
az
~ez
x
ax
ay
Kurzform wenn nur in einem
Koordinatensystem gerechnet wird
Kurzformen
 
ax

= ay 
az
 
ax
 ay 
az xyz
 
ax

ay  =
=
az K
y
~ey
~ex
Operation
Vektorschreibweise
Koordinatenschreibweise
Betrag
a = |~a|
Vektoraddition
~c = ~a + ~b
p
a = a2x + a2y + a2z

  
ax + b x
cx
 c y  =  ay + b y 
az + b z
cz

  
λax
cx
cy  = λay 
λaz
cz
 T  
bx
ax



b y  = ax b x + ay b y + az b z
c = ay
bz
az

  
ay b z − az b y
cx
 c y  =  b x az − ax b z 
ax b y − ay b x
cz
Multiplikation mit Skalar ~c = λ~a
Skalarprodukt
c = ~a · ~b = |~a| |~b| cosα
mit α = 6 (~a, ~b)
Vektorprodukt
~c = ~a × ~b = −~b × ~a
mit ~c⊥~a, ~c⊥~b, (~a × ~b) · ~c > 0
|~c | = |~a||~b| sinα, α = 6 (~a, ~b)
Erweiterte Vektoroperationen und Identitäten
Projektion:
Spatprodukt:
~b
~a · ~b
~a · ~b
~
a
=
b~a =
~a
~a · ~a
|~a|2
~a
α
~ba
( ~a × ~b ) · ~c = ( ~b × ~c ) · ~a = ( ~c × ~a ) · ~b
Graßmann-Identität:
Lagrange-Identität:
~a×( ~b×~c ) = ( ~a·~c ) ~b − ( ~a·~b ) ~c
h
= ~b ( ~a · ~c ) − ~c ( ~a · ~b )
( ~a×~b )·( ~c×d~ ) = ( ~a·~c )( ~b·d~ ) − ( ~b·~c )( ~a·d~ )
i
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Technische Mechanik I
FS 2
Koordinatentransformation
Vektor ~a ist eine physikalische Größe und daher unabhängig vom Koordinatensystem. Er kann jedoch als Linearkombination der Basisvektoren des Systems K {~ex , ~ey , ~ez } oder K′ {~e1 , ~e2 , ~e3 } dargestellt
werden:
y
 
 
~e1
~ex
T  


~e2
~
e
=
a
~a = aT
′
y
K
K
~e3
~ez
~a
~ey
~e2
~e1
Ebenso lassen sich die Basisvektoren im jeweils anderen Koordinatensystem darstellen:
   T  
e xK ′
~ex
~e1
~ey  = eT


~e2 
yK ′
~ez
~e3
eT
zK′
   T  
e1K
~e1
~ex
~e2  = eT


~ey 
2K
~e3
~ez
eT
3K
~ez
~e3
z
x
~ex
Damit lässt sich der Zusammenhang zwischen den Koordinaten aK und aK′ des Vektors ~a herleiten:
a K ′ = e x K ′ e yK ′ e z K ′ a K
|
{z
}
aK = e1K e2K e3K aK′
{z
}
|
TK
K
′
T K′
K
′
wobei T K
bzw. T K
als Transformationsmatrizen bezeichnet werden. e1K , e2K , e3K sind die KoorK
K′
dinaten der Basisvektoren ~e1 , ~e2 , ~e3 dargestellt im Koordinatensystem K. Sind K und K′ kartesische
Koordinatensysteme, so sind die Transformationsmatrizen orthonormal und es gilt:
T −1 T = T T T = I
T
′
K
=
T
TK
K′
K
und damit folgt
System gebundener Vektoren
Resultierendes Moment bzgl. eines beliebigen Bezugspunktes P:
Die Addition linienflüchtiger Vektoren führt auf einen Vektorwinder:
~ (O) ) :
(~a, M
~a =
X
~ (O) =
~ai , M
i
X
~ (P) = ~rPO × ~a + M
~ (O)
M
~ri × ~ai
i
~ (O) dessen resultierendes Moment bzgl.
Dabei ist ~a der resultierende Vektor des Vektorsystems, und M
des Bezugspunktes O.
~ R und Vektor ~a denselben Richtungssinn aufweisen wird VektorEin Vektorwinder dessen Moment M
schraube genannt:
~ (O)
~ R = ~a · M ~a
M
~a2
~rQ =
~ (O)
~a × M
~a2
und der Schraubachse: ~r(λ) = ~rQ + λ~a,
Schraubachse
~a1
Q1
~r1
~a2
Q2
~ (O)
M
~a
~R
M
O
~r2
gebundenes Vektorsystem
Vektorwinder
~rQ
~a
Q
Vektorschraube
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FS 3
Schwerpunkt
Linienschwerpunkt
~rSL
1
=
L
Z
dL
~rdL, in Koordinaten: xSL , ySL , zSL
L
z ~r
O
Flächenschwerpunkt
~rSA
1
=
A
Z
~rdA, in Koordinaten: xSA , ySA , zSA
SA
A
O
Volumenschwerpunkt
~rSV
y
x
A
z
1
=
V
L
SL
Z
dA
~r
y
x
~rdV , in Koordinaten: xSV , ySV , zSV
V
V
z
O
Schwerpunkt zusammengesetzter Körper
~r
dV
SV
y
x
Koordinaten des Flächenschwerpunkts, wenn eine Fläche aus mehreren Teilflächen zusammengesetzt ist (Analoges gilt für Körper- und Linienschwerpunkt):
P
P
P
xSi Ai
ySi Ai
zSi Ai
xSA = P
, yS A = P
, z SA = P
Ai
Ai
Ai
Schwerpunkt bei Rotationskörpern, Guldinsche Regeln
Regel zum Flächenschwerpunkt:
xSA =
V
2πA
z
Rotationsfläche A
mit dem Volumen V des entstandenen Rotationskörpers bei
Rotation um die z -Achse
xS
x
Regel zum Linienschwerpunkt:
xSL =
O
2πU
mit der Oberfläche O des entstandenen Rotationskörpers bei
Rotation um die z -Achse
Umfang U
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FS 4
Gleichgewicht am ruhenden Körper, Freischneiden
Skizze
Prinzipielle Vorgehensweise:
F
1. Freischneiden aller Körper, actio=reactio
2. Äußere Kräfte und Momente an jedem Körper einzeichnen
m
3. Koordinatensystem(e) einführen
4. Gleichgewichtsbedingungen für jeden Körper aufstellen
P~
Fi = 0
und
P ~
Mi = 0
5. Auflösen des Gleichungssystems
Freischnittbild
W
Bemerkungen
S
S
• gelenkig gelagerte, masselose, querkraftfreie Stange: Kraft
nur in Stangenrichtung
F
• Seil: ausschließlich Zugkraft in Seilrichtung
• Greifen an einem ruhenden Körper genau drei Kräfte an, die
nicht parallel sind, so schneiden sich deren Wirkungslinien in
einem Punkt und die drei Kräfte liegen in einer Ebene.
mg
• mehr Unbekannte als Gleichgewichtsbedingungen ⇒ Problem
ist statisch unbestimmt ⇒ Elastostatik, Verformungsverhalten
muss berücksichtigt werden
N
Statische Bestimmtheit
• Notwendige Bedingung für ebenes und räumliches Problem
X
n – Anzahl der Körper bzw. Teilsysteme
3
n=
ri
ri – Wertigkeit des Lagers i
6
i
Die Wertigkeit eines Lagers gibt die Anzahl der vom Lager eingeschränkten Freiheitsgrade an.
• Hinreichende Bedingung
a11 A1 + a12 A2 = b1 F1
a21 A1 + a22 A2 = b2 F2
a11 a12
6= 0
⇒
det
a21 a22
Ai – unbekannte Lagerreaktionen
Fi – eingeprägte Kräfte
statisch bestimmt
Mechanisches System heißt statisch bestimmt gelagert, wenn die Lagerreaktionen eindeutig aus den
Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können.
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FS 5
Berechnung von ebenen Fachwerken
Statische Bestimmtheit
• äußerlich statisch bestimmt, wenn sich alle Lagerreaktionen aus GGB bestimmen lassen
• innerlich statisch bestimmt, wenn sich alle Stabkräfte aus GGB bestimmen lassen
• notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit (für ebenes und räumliches Problem)
2
3
K=S+
X
i
ri
K – Anzahl der Knoten
S – Anzahl der Stäbe
ri – Wertigkeit des Lagers i
Knotenpunktverfahren
• Lagerreaktionen mit 3 GGB vorweg bestimmen
• Knoten freischneiden und Stabkräfte als Zugkräfte einzeichnen
• Je Knoten 2 GGB anschreiben + LGS lösen
Nullstäbe
1. unbelasteter Knoten mit 2 Stäben, Stäbe nicht in gleiche Richtung
F
2. belasteter Knoten mit 2 Stäben, ein Stab in Richtung der äußeren Kraft
3. unbelasteter Knoten, 3 Stäbe, 2 in gleiche Richtung
Ritterschnittverfahren
• Fachwerk in 2 Teile schneiden, so dass höchstens 3 Stäbe mit unbekannten Stabkräften geschnitten werden
• Gleichgewicht des abgeschnittenen Fachwerks auswerten
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Technische Mechanik I
FS 6
Coulomb’sche Reibungsgesetze, Seilreibung
Haftreibung
Ein Körper haftet, so lange folgende Haftbedingung erfüllt ist
H – Haftkraft aus GGB (Reaktionskraft!)
µ0 – Haftreibungskoeffizient
N – Normalkraft N > 0
|H| ≤ µ0 N
Gleitreibung
Sobald der Körper rutscht, tritt Gleitreibung auf und es wirkt die eingeprägte Gleitreibungskraft R.
Dabei gilt folgendes Reibungsgesetz (1D)
R = −µN sgn(vrel )
R
µ
N
–
–
–
Gleitreibungskraft (eingeprägte Kraft!)
Gleitreibungskoeffizient
Normalkraft N > 0
1 für a ≥ 0
sgn(a) =
−1 für a < 0
• i.A. gilt µ0 > µ
• Die Gleitreibungskraft R ist vom Betrag µN und stets der Relativbewegung entgegengerichtet!
Erweiterung des prinzipiellen Vorgehens:
1. Freischneiden aller Körper, actio=reactio
2. Äußere Kräfte und Momente an jedem Körper einzeichnen (Haftreibung als Reaktionskraft,
Gleitreibung als eingeprägte Kraft)
3. Koordinatensystem(e) einführen
4. Gleichgewichtsbedingungen für jeden Körper aufstellen
P~
Fi = 0
und
P ~
Mi = 0
5. Auflösen des Gleichungssystems
6. Prüfen ob Haftbedingung erfüllt ist (Ungleichung auswerten)
Seilhaftung, Seilreibung
Die Haftbedingung eines Seils auf einer Riemenscheibe
wird durch die Euler-Eytelwein-Formel beschrieben
µ0
S1 ≤ S0 eϕµ0
ϕ
• Es gilt: S1 > S0
• ϕ als Bogenmaß
S1
S0
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Technische Mechanik I
FS 7
Balkenstatik
Bisher wurden die Schnittkräfte und -momente nur an Lagern und Stäben bestimmt. Nun werden die
Schnittreaktionen im Innern von Körpern betrachtet. Innere Kräfte und Momente kennzeichnen die
Materialbeanspruchung im Bauteil und finden Ihre Anwendung in der Festigkeitslehre (z.B. Dimensionierungsaufgaben). Als Anwendungsbeispiel wird im Folgenden der gerade, ebene, statisch bestimmt
gelagerte Balken betrachtet.
Balken unter allgemeiner Belastung
Belastungen: Einzelkräfte F [N], Einzelmomente M [Nm], Streckenlasten q [N/m]
I. Bestimmung der Lagerreaktionen über GGB am gesamten Balken (s. Blatt FS 4). Streckenlasten
werden durch resultierende Ersatzkräfte berücksichtigt, die in den Schwerpunkten der jeweiligen
Lastflächen angreifen.
II. Bestimmung der inneren Kräfte und Momente
Erste Möglichkeit: Stückweise Berechnung durch Freischneiden
• Balken an der Stelle x freischneiden
• Koordinatensystem einführen
• Schnittkräfte und -momente einzeichnen. Vorzeichenkonvention: positiv, wenn am positiven
Schnittufer in positiver Koordinatenrichtung
Schnitt an Stelle x
q(x) F
M0
z
x
y x
z
neg. Schnittufer
q(x) F
M
Q
M
M0
NN
Q
pos. Schnittufer
• Für den betrachteten stetigen Bereich den Verlauf der Normalkraft N (x), Querkraft Q(x)
und des Biegemoments M (x) berechnen und zeichnen.
dQ(x)
q
Q
M
= −q(x)
dx
0
konstant
linear
konstant
linear
quadratisch
dM (x)
= Q(x)
linear
quadratisch
kubisch
dx
Zweite Möglichkeit: Unstetigkeitsbeschreibung mittels Föppl-Symbol
0
für x < a
n
Definition des Föppl-Symbols: hx − ai =
n
(x − a) für x > a
II.1 Streckenlasten mit Föppl-Symbolen darstellen:
quer zum Balken: q(x)
entlang des Balkens: n(x)
II.2 Kraftverläufe:
R
R
P
P
Q(x) = − q(x)dx − i hx − xi i0 Fzi
N (x) = − n(x)dx − i hx − xi i0 Fxi
II.3 Momentenverlauf:
R
P
M (x) = Q(x)dx − j hx − xj i0 Myj
R
f (x)dx bezeichnet die Stammfunktion von f (x). Die Integrationskonstanten werden in der Balkenstatik durch die Einzelkräfte und -momente erfasst.
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FS 8
Seilstatik
Dieses Kapitel wird im Laufe des Semesters erstellt.
Anhang
Standardwinkel
0
0◦
sin x
cos x
tan x
cot x
0
1
0
±∞
1
π
6
30◦
1
2
√
3
2
√
3
3
√
3
1
π
4
45◦
√
2
2
√
2
2
1
1
1
π
3
60◦
√
3
2
1
2
√
3
√
3
3
1
π
2
90◦
1
0
±∞
0
2
π
3
120◦
√
3
2
− 12
√
− 3
√
− 33
3
π
4
135◦
√
2
2
√
− 22
−1
−1
5
π
6
150◦
1
2
√
3
2
√
− 33
√
− 3
−
π
180◦
0
−1
0
±∞
7
π
6
210◦
− 12
−
√
√
3
2
3
3
√
3
5
π
4
225◦
√
− 22
√
− 22
1
1
4
π
3
240◦
√
− 23
− 12
√
3
π
2
270◦
−1
0
3
±∞
3
3
0
√
5
π
3
300◦
√
− 23
1
2
√
− 3
√
− 33
7
π
4
315◦
√
− 22
√
2
2
11
π
6
330◦
2π
360◦
− 21
0
3
2
1
√
3
3
0
√
−1
−
−1
√
− 3
±∞