5.3. Dreiecke

Geometrie
Flächenberechnungen
5.3. Dreiecke
Lösungen
1) Berechne die fehlende Grösse
a) c = 5 cm, hc = 8 cm. F = 20 cm2
b) a = 6 cm, b = 3.8 cm, γ = 90°. F = 11.4 cm2
c) F = 40 m2, a = 8 m, hb = 3.2 m. ha = 10 m, b = 25 m
2) Konstruktion
Von einem Dreieck kennt man die Fläche F = 12 cm2 sowie die beiden Seiten a = 6 cm
und b = 4.8 cm. Konstruiere das Dreieck.
LöWe: ha = 4 cm. (Man kann auch hb = 5 cm berechnen.)
Zeichne a = BC. Konstruiere die Parallele dazu im Abstand 4 cm, weil A auf dieser
Parallele liegen muss. Trage von C aus 4.8 cm ab. Dort, wo der Kreis die Parallele
schneidet, liegt A.
Es gibt übrigens zwei nicht kongruente Lösungen.
3) Koordinaten
Berechne die Fläche des Dreiecks A(4 | 0), B(7 | 5), C(0 | 3).
F = 35 – 7 – 6 – 7.5 = 14.5 [Quadrat-Einheiten]
4) Überlegungsaufgabe
Zeichne ein (möglichst beliebiges) Dreieck und konstruiere in diesem Dreieck die
Schwerelinien. Das Dreieck wird so in 6 Teildreiecke unterteilt.
Haben diese Teildreiecke alle die gleiche Fläche? Begründe!
Ja.
Begründung: (siehe die Figur oben rechts)
a) Die Dreiecke ADS und BDS haben gleiche Fläche, weil sie die gleiche Grundkante
(die halbe Dreiecksseite) und die gleiche Höhe (Abstand des Schwerpunkts von dieser
Dreiecksseite) haben. Entsprechend haben die Dreiecke BES und CES gleiche Fläche.
Und auch CFS und AFS haben gleiche Fläche.
b) Das Dreieck ADC wird in die Dreiecke ADS und ACS unterteilt. Weil die
Schwerelinie im Verhältnis 2 : 1 geteilt wird, ist das Dreieck ACS doppelt so gross wie
das Dreieck ADS. Weil (siehe Teil a) die Dreiecke CFS und AFS gleiche Fläche haben,
sind die drei Teildreiecke alle von gleicher Fläche. Auf dieselbe Art kann man für alle
anderen Teildreiecke argumentieren.
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Geometrie
Flächenberechnungen
5) Vieleck
Berechne die Fläche des dargestellten 7-ecks, indem du geschickt Dreiecke und Vierecke
in die Figur hineinzeichnest.
a)
b)
42 – 3 – 4 – 3 – 6 = 26 [Quadrat-Einheiten]
81 – 9 – 8 – 1.5 – 3 – 3 – 3 – 4 – 3 – 6
= 36.5 [Quadrat-Einheiten]
7) Aufgabe aus der alten Prüfung
Die Fläche von T1 beträgt 76.8 cm2. (Einsetzen in die Flächenformel fürs Trapez.)
Weil das Rechteck gleiche Fläche haben muss, hat es eine Höhe von 8 cm. Das ist auch
die kürzere Parallele von T2. Die Höhe von T2 beträgt 16 – 9.6 = 6.4 cm. (Die Höhe liegt
in der Figur waagrecht.)
8+ x
Somit kann man aus der Formel 76.8 =
⋅ 6.4 die längere Parallele von T2 berechnen.
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Auflösen der Gleichung ergibt x = 16.
Somit ist es ein exaktes Quadrat.
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