Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Notation

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)
Denition nach Georg Cantor (1895):
Eine
Menge
ist eine Zusammenfassung von bestimmten und
wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder
unseres Denkens zu einem Ganzen.
Die Objekte werden als Elemente der Menge bezeichnet.
Notation
x
∈ M:
x ist Element der Menge M ,
x
6∈ M :
x ist kein Element der Menge M ,
M
⊂ N:
M ist Teilmenge von N : jedes Element von M ist
auch Element von N .
Darstellung von Mengen
I durch Aufzählung der Elemente in geschweiften
Klammern ( Mengenklammern),
z. B. M
= {a, b, c },
N
= {1, 2, 4, 6, 9},
I durch Aufzählung der einiger Elemente, sodass eine
Regel erkennbar ist,
z. B.
{2, 3, 4, ..., 10}
oder
{1, 3, 5, ...},
I Beschreibung in Worten,
z. B. Menge aller InformatikStudierenden der h_da,
I feste Bezeichnungen für bestimmte Mengen, z.B.
Z
Menge der ganzen Zahlen,
I Angabe einer Eigenschaft, die die Elemente der Menge
erfüllen, z. B. M
= {x ∈ Z : x ≤ 0} = {0, −1, −2, ...}.
Bei der Angabe der Elemente spielt deren Reihenfolge keine
Rolle. Ein Element kann nicht mehrfach in einer Menge
enthalten sein.
Beispiel
∈ {a, b, c , d },
f 6∈ {a, b , c , d },
3 6∈ {a, b , c , d },
{d , b} ⊂ {a, b, c , d },
Ist M = {4, 8, 12, ...} die Menge der Vielfachen
ist z. B. 28 ∈ M und 42 6∈ M sowie
{8, 24, 64, 124} ⊂ M und {2, 4, 8} 6⊂ M .
I c
I
I
I
I
von 4, so
Mengenoperationen
I M
∪ N:
Vereinigung, enthält alle Elemente, die in
mindestens einer der beiden Mengen enthalten sind.
I M
∩ N:
Durchschnitt, enthält alle Elemente, die sowohl in
M als auch in N enthalten sind.
I M
\ N:
Dierenz, enthält alle Elemente, die in M , aber
nicht in N enthalten sind.
I M ∆N
= (M \ N ) ∪ (N \ M )
symmetrische Dierenz.
Komplement,
bezogen auf eine Grundmenge M :
M
C A = Ac = A = A = M \ A
(dazu muss A
⊂M
gelten),
z.B. M Studierende, A weibliche Studierende, A männliche
Studierende.
Beipspiel
Sei M
= {a, b}
und N
= {b , c }.
Dann ist
∪ N = {a , b , c },
M ∩ N = {b },
M \ N = {a },
N \ M = {c } und
M ∆N = {a, c }.
I M
I
I
I
I
Rechenregeln (Axiome) für Mengen
∪ B = B ∪ A und A ∩ B = B ∩ A (Kommuativität),
(A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) und
(A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (Assoziativität),
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) und
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) (Distributivität),
I A
I
I
= A und
A∪B = A∩B
A∩B = A∪B
I A
I
sowie
(deMorgan'sche Regeln).
Mächtigkeit
Die
Mächtigkeit |
M|
= #M
einer Menge M ist die Anzahl
ihrer Elemente.
#{a, b, c , d } = 4 und
#{1, 2, 3, 4, ...} = ∞ (unendlich).
Beispiel:
Zwei Mengen haben die gleiche Mächtigkeit, wenn es eine
1-1-Zuordnung zwischen ihren Elementen gibt.
Leere Menge
Die leere Menge
∅
ist die Menge, die keine Elemente enthält.
Sie hat die Mächtigkeit 0.
Produktmenge
Für Mengen M und N ist M
× N = {(m, n) : m ∈ M , n ∈ N }
die Menge aller Paare (Tupel) von Elementen m
∈M
Im Falle endlicher Mengen hat die Produktmenge |M |
und n
∈ N.
∗ |N |
Elemente.
Beispiel
{1, 2, 3} × {a, b} = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.
Wichtige Produktmengen
R2 = R × R
Menge aller Punkte in der Ebene,
R3 = R × R × R
Punkte im Raum,
Potenzmenge
Die Potenzmenge
P(M )
einer Menge M enthält alle
Teilmengen von M als Elemente.
Beispiel
n
o
P({a, b}) = ∅, {a}, {b}, {a, b}
Satz
Die Potenzmenge einer nelementigen Menge hat 2
n Elemente.
Zahlenmengen
N = {1, 2, 3, ...}
natürliche Zahlen,
N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, ...},
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}
Q = {p /q : p ∈ Z, q ∈ N}
R
ganze Zahlen,
rationale Zahlen,
Menge aller Dezimalbrüche : reelle Zahlen,
C = {a + i · b : a, b ∈ R}
mit i
2
= −1
komplexe Zahlen.
Bemerkung
Die am Computer darstellbaren Zahlen (Maschinenzahlen)
bilden immer eine endliche Teilmenge der rationalen oder der
ganzen Zahlen.
Vergleich der Zahlenmengen
I Es gilt
I
Q\Z
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
enthält Brüche wie z. B.
1
1
3 , 267 2 und
− 2194
7 .
Diese können als endliche oder periodische Dezimalbrüche
1
267
2
=
2194
267, 5 und −
7
I Elemente von
R\Q
√
1
3
= 0, 3333... = 0, 3,
= −313, 428571.
dargestellt werden, im Beispiel
heiÿen irrationale Zahlen.
Beispiele sind
2 und die mathematischen Konstanten
π = 3, 14159...
und e
= 2, 71828....
Irrationale Zahlen werden durch unendliche
nichtperiodische Dezimalbrüche dargestellt.
Bemerkung
Summe a
(falls b
+ b,
6= 0)
Dierenz a
− b,
Produkt a
·b
und Quotient
a
b
zweier rationaler Zahlen ergeben wieder rationale
Zahlen. Gleiches gilt für reelle Zahlen.
Eigenschaften der reellen Zahlen
I
R
ist eine total geordnete Menge, d. h. zu a, b
entweder a
<b
oder b
<a
oder a
∈R
gilt
= b.
I Der Betrag einer reellen Zahl a ist deniert als
|a| = a, falls a > 0 oder
|a| = −a, falls a < 0.
a
=0
(d. h. a
Dann gilt die Dreiecksungleichung |a
I
R
ist vollständig .
≥ 0),
+ b| ≤ |a| + |b|.
Potenzen und Wurzeln
Zu a
a
∈R
und n
∈N
setzt man
n = a · a · ... · a sowie a0 = 1 und a−n = 1n = 1 n .
a
a
| {z }
n mal
Die nte Wurzel von a
b
=
√
n
a
>0
= a1/n ⇔ bn = a.
ist für n
∈N
deniert als
p
p/q √q p
q ∈ Q setzt man a = a .
x
Davon ausgehend lässt sich auch a für beliebige x ∈ R
Für a
∈R
mit a
>0
und
denieren.
Dann gelten folgende Rechenregeln:
a
x · ay = ax +y , ax · bx = (a · b)x , (ax )y = ax ·y ,
a
−
x = 1x .
a