2 zahlen und variable

Zahlen und Variable
2 ZAHLEN UND VARIABLE
2.1 Grundlagen der Mengenlehre
Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen.
Diese Objekte bezeichnet man als die Elemente der Menge. Mengen werden üblicherweise mit
Großbuchstaben bezeichnet.
Beispiel
M…Bezeichnung der Menge
IJ…diese Klammern nennt man Mengenklammern
K IL, MJ … die Menge M besteht aus den Elementen x und y
Nun kann man sagen:
L ∈ K … L ist Element von K
M ∈ K … M ist Element von K
N ∉ K … N ist kein Element von K
Arten von Mengen:
Man unterscheidet verschiedene Arten von Mengen nach der Anzahl ihrer Elemente:
•
Unendliche Mengen sind Mengen mit unendlich vielen Elementen, also Elemente für die
P@KA ∞ gilt, zum Beispiel die Zahlenmenge der natürlichen Zahlen.
• Endliche Mengen sind Mengen, wie die schon zuvor als Beispiel definierte Menge K, also Mengen
mit einer bestimmten Anzahl an Elementen.
• Leere Mengen sind Mengen, die kein Element enthalten. Für die leere Menge gibt es zwei
Schreibweisen:
K IJ ∅
Zahlen werden zu Zahlenmengen zusammengefasst. Bestimmte Zahlenmengen mit unendlich vielen
Elementen kommen sehr häufig vor. Sie werden mit besonderen Symbolen bezeichnet:
Menge der natürlichen Zahlen
S I0, 1, 2, 3, … J
I… , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, … J
W
Menge der rationalen Zahlen (auch:
ℚ V Y W ∈ ∧ X ∈ \I0J [
X
Menge der Bruchzahlen)
Anmerkung: Das Symbol \ steht für „ohne“. Es wird später in
diesem Kapitel genauer erklärt.
Menge der ganzen Zahlen
Menge der irrationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
\ {unendliche,
nichtperiodische
I], ^, √2, √3, √7, … J
Dezimalzahlen}
ℚ∪\
Anmerkung: Das Symbol ∪ steht für „vereinigt mit“. Es wird
später in diesem Kapitel genauer erklärt.
15
Berufsreifeprüfung Mathematik
Die Anzahl der Elemente einer Menge wird auch als Mächtigkeit bezeichnet. Man verwendet dafür die
Schreibweise |K|.
Beispiel
Bestimmen Sie die Mächtigkeit der Menge
7 I2; 6, 9; 17J
Lösung
|7| 4, da die Menge 7 genau vier Elemente enthält.
Um die Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) einer unendlichen Zahlenmenge anzugeben, muss man sich mit
dem Begriff der Kardinalzahl behelfen. Kardinalzahlen beschreiben bei endlichen Mengen die Anzahl
ihrer Elemente und werden in diesem Sinn auch für unendliche Mengen verwendet.
Bei unendlichen Mengen unterscheidet man:
• abzählbar unendliche Mengen: Das bekannteste Beispiel dafür ist die Menge der natürlichen
Zahlen. Die Mächtigkeit dieser Menge wird mit der Kardinalzahl bc (gesprochen: „aleph null“; aleph
ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets) bezeichnet:
|S| bc
• Die Menge der reellen Zahlen ist größer als die Menge der natürlichen Zahlen; sie ist überabzählbar
unendlich. Es gilt:
|| 2bd be
Festlegung von Mengen:
Es gibt zwei Arten, eine Menge zu definieren.
• Aufzählendes Verfahren: Mit diesem Verfahren haben wir bisher gearbeitet. Dabei wird jedes
Element der Menge einzeln genannt.
Beispiel
•
K I0,1,2,3,4,5,6J
Beschreibendes Verfahren: Dieses Verfahren ist in vielen Fällen kürzer als das aufzählende
Verfahren. Dabei werden nicht die einzelnen Elemente aufgezählt, sondern die Eigenschaften, die
allen Elementen der Liste eigen sind. So hätte man statt der obigen Definition auch
K IL ∈ S |L $ 6J
schreiben können. Das Zeichen | steht dabei für „füh ij^ kjlm“. Also: K besteht aus der Menge der
natürlichen Zahlen, für die L $ 6 gilt. Im beschreibenden Verfahren kann man mehrere Bedingungen mit
den uns bereits bekannten logischen Symbolen verknüpfen.
Nun wollen wir uns damit beschäftigen, wie Mengen in Beziehung zueinander stehen können.
Gleichheit von Mengen
Enthalten zwei oder mehrere Mengen exakt dieselben Elemente, so nennt man sie gleich, wobei die
Reihenfolge der Elemente oder die Art der Festlegung keine Rolle spielt.
Beispiel
6 I3,5,4J
7 IL ∈ S ∧ L ( 2 ∧ L 6J
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Zahlen und Variable
Diese beiden Mengen beinhalten genau die gleichen Elemente, sie sind daher gleich:
67
Teilmenge
Man nennt eine Menge 6 eine Teilmenge der Menge K, wenn jedes
Element der Menge 6 auch in der Teilmenge K vorkommt. Man schreibt:
6 ⊆ K. Um zu verdeutlichen, dass eine Menge A nicht die Teilmenge einer
Menge M ist, schreibt man 6 ⊈ K.
Man unterscheidet echte Teilmengen und unechte Teilmengen. Zu den
unechten Teilmengen zählt man folgende Sonderfälle:
•
•
die leere Menge 6 IJ ⊆ K, da die leere Menge eine Teilmenge jeder
Menge ist.
die Menge selbst, also wenn beide Mengen exakt die gleichen Elemente
enthalten.
Ist die Teilmenge 6 weder leer, noch mit K gleich, so nennt man sie echte Teilmenge. Dies bezeichnet
man so: 6 ⊂ K.
Anmerkung
Natürlich kann man diese Operatoren auch umgekehrt verwenden.
Beispiel:
K⊃6
6 ist eine echte Teilmenge von K
Wenn man die unendlichen Zahlenmengen betrachtet, so gilt: S ⊂ ⊂ ℚ ⊂ Die Menge aller Teilmengen einer Menge M wird auch als Potenzmenge r@KA bezeichnet. Die
Mächtigkeit einer Potenzmenge ist immer 2 hoch der Mächtigkeit der ursprünglichen Menge:
|r@KA| 2|s|
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Berufsreifeprüfung Mathematik
Beispiel
Bestimmen Sie die Potenzmenge der Menge
6 IE; G, tJ
sowie die Anzahl ihrer Elemente (die Mächtigkeit)!
Lösung
|r@6A| 2|u| 2v 8
Dieser Wert ergibt sich auch durch Abzählen der Elemente der Potenzmenge
r@6A I ∅, IEJ, IGJ, ItJ, IE, GJ, IE, tJ, IG, tJ, IE, G, tJJ
Durchschnittsmenge
Die Durchschnittsmenge C zweier Mengen A und B enthält alle Objekte, die sowohl in A als auch in B
enthalten sind.
6 ∩ 7 IL| L ∈ 6 ∧ L ∈ 7J
Beispiel
Ermitteln Sie die Durchschnittsmenge 6 ∩ 7 und stellen Sie den Zusammenhang der Mengen graphisch
dar.
6 I1,2,3,4J
7 I3,4,5,6,7J
6 ∩ 7 I3,4J
Ist die Durchschnittsmenge von A und B leer, so heißen A und B disjunkt.
Vereinigungsmenge
Elemente der Vereinigungsmenge sind in mindestens einer der Mengen A und B, d. h. sie sind entweder in
A oder in B oder in beiden Mengen enthalten.
6 ∪ 7 IL| L ∈ 6 ∨ L ∈ 7J
Beispiel
Ermitteln Sie die Vereinigungsmenge 6 ∪ 7, und stellen Sie den Zusammenhang der Mengen graphisch
dar.
6 I1,2,3,4J
7 I3,4,5,6,7J
6 ∪ 7 I1,2,3,4,5,6,7J
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Zahlen und Variable
Differenzmenge
Elemente der Differenzmenge sind in A, aber nicht in B enthalten.
Sprechweise für 6\7: "A ohne B"
6\7 IL| L ∈ 6 ∧ L ∉ 7J
Beispiel
Ermitteln Sie die Differenzmenge 6\7 und stellen Sie den Zusammenhang der Mengen graphisch dar.
6 I1,2,3,4J
7 I3,4,5,6,7J
6\7 I1,2J
Geordnete Paare
Um die Positionen auf einem Schachbrett, im Tabellenkalkulationsprogramm Excel oder in einem
Autoatlas anzugeben, werden meist geordnete Paare verwendet.
Als Beispiel betrachten wir einen Ausschnitt eines Excel-Tabellenblattes:
Vielfach bezeichnet man die Spalte mit Buchstaben und die Zeile mit Zahlen. Man könnte aber auch die
Spalten mit Zahlen bezeichnen. Das ist in Excel möglich:
Statt B4 könnte man auch schreiben: S2Z4 (Spalte 2, Zeile 4).
So eine Angabe nennt man ein geordnetes Paar.
In der Mathematik würde man kurz schreiben:
@2,4A
geordnete Paare
Wir kennen
bereits als
Koordinaten.
Aus all diesen Überlegungen wissen wir bereits,
dass
@2,4A @4,2A
Auch in Excel gilt das. Die zweite Darstellung (4.
Spalte, 2. Zeile) würde in der bekannten ExcelSchreibweise nämlich der Zelle D2 entsprechen.
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Berufsreifeprüfung Mathematik
Produktmenge
Beispiel
Gegeben sind zwei Mengen, die aus Personen bestehen.
6 Ir^m^h, xyij, zEhlJ
7 I{j|}~^, ^hiEJ
Wie viele unterschiedliche geordnete Paare kann man aus den Elementen dieser beiden Mengen bilden?
Lösung
Wir erhalten 6 unterschiedliche geordnete Paare, die wir zu einer neuen Menge zusammenfassen:
I@r, {A; @r, A; @x, {A; @x, A; @z, {A; @z, AJ
Die Menge aller geordneten Zahlenpaare wird als Produktmenge bezeichnet.
Die Produktmenge 6 € 7 (gesprochen: „6 kreuz 7“) ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes
Element aus 6 und deren zweites Element aus 7 ist:
r 6 € 7 I@L, MA|L ∈ 6 ∧ M ∈ 7J
Die beiden Mengen, aus denen die Produktmengen gebildet wird, können auch unendliche Zahlenmengen
sein.
Beispiel
Die Menge aller Punkte der Ebene ergibt sich aus der Produktmenge der reellen Zahlen mit sich selbst, da
sowohl die L-Koordinaten als auch die M-Koordinaten reelle Zahlen sind:
€  I@L, MA| L ∈ ∧ M ∈ J
Übung 2.1.01
In der folgenden Tabelle sind verschiedene Zahlen dargestellt. Kreuzen Sie alle zutreffenden
Aussagen an!
a) 27 €
c) √1 €
e) √11 €
g) 4 €
i)
20
v
„
€
S
ℚ
ƒ
b) ev €
d) √1 €
f) √121 €
h) 0,6 €
…
j)  €
S
ℚ
Zahlen und Variable
Übung 2.1.02
Geben Sie folgende Mengen im aufzählenden Verfahren an:
a) 6 IL ∈ S | 7 . L ( 4J
c) † IL ∈ | 3 L 5J
e) ˆ IL ∈ S | L 4J
g)  IL ∈ | L ( 3J
i) ‹ IL ∈ S | L ( 3 ∨ L  37J
b) 7 IL ∈ S | 3 L $ 6J
d) ‡ IL ∈ | 5 $ L 1J
f) ‰ IL ∈ S | L  $ 25J
h) Š IL ∈ S | L ( 3 ∧ L  37J
j) Œ IL ∈ S | L ( 2 ∧ L 6J
Übung 02.1.03
Geben Sie folgende Mengen im beschreibenden Verfahren an:
a) 6 I2, 3,4J
d) ‡ I… , 2, 1,0J
b) 7 I4, 5, 6 … J
e) ˆ I4, 3, 2J
c) † I2, 1,0,1J
f) ‰ I1, 0, 1, 2 … J
Übung 2.1.04
Ist A eine Teilmenge von B?
a) 6 I3, 4, 5J, 7 I3, 4, 5, 6J
b) 6 I2, 3J, 7 IL ∈ | 1 L 4J
c) 6 IL ∈ | L 4J, 7 IL ∈ S | L 6J
d) 6 I3, 4, 5, 6J, 7 IL ( 3 ∧ L 7J
e) 6 IL ∈ |L ( 3J, 7 S
f) 6 IL ∈ S | L 5J, 7 IL ∈ | 3 L $ 4J
Übung 2.1.05
Geben Sie die Durchschnittsmenge, die Vereinigungsmenge und die Differenzmengen 6\7 und
7\6 an.
a) 6 I3,4,5J, 7 I1,2,3J
b) 6 I5, 6, 7J, 7 I1, 0J
c) 6 I7, 8, 9J, 7 I5, 6J
d) 6 I1, 0, 1, 2 , 3J, 7 I2, 1,0, 1J
e) 6 I2, 1,0, 1J, 7 S
f) 6 I2, 3, 4, 5, 6J, 7 I3, 4J
g) 6 IL ∈ S | L $ 2J, 7 I1, 0, 1 J
h) 6 IL ∈ S | L 4J, 7 IL ∈ | 2 L $ 2J
Übung 2.1.06
Ermitteln Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind!
a) I3J I5J
d) I43, 34J I43, 34J
g) I4,5J ⊂ I3, 5, 4, 6J
b) I J I0J
e)IL ∈ S | L 0J IJ
h) I2J ∩ I2J I4J
c) I4J I6J
f) I2J ∪ I2J I4J
i) I3, 5, 4J ⊂ I5, 4, 3J
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Berufsreifeprüfung Mathematik
Übung 2.1.07 Zeichnen Sie, wenn möglich, in den dargestellten Mengendiagrammen die Mengen
6 ∪ 7, 6 ∩ 7, 6 \ 7 sowie 7 \ 6 ein!
a)
b)
c)
d)
Übung 2.1.08
Zeichnen Sie ein Mengendiagramm für die Mengen A und B, wenn folgende Beziehungen gelten:
a) 6 ∩ 7 7
22
b) 6 ∪ 7 6
c) 7\6 7
d) 6 ∩ 7 ∅
Zahlen und Variable
Übung 2.1.09
Beschreiben Sie die angegebenen Mengen im aufzählenden Verfahren.
a) 6 ∪ 7
c) 6 ∩ 7
e) 6 ∩ †
g) † ∩ 7
b) †\6
d) † ∪ 7
f) 7\†
h) 6\†
Übung 2.1.10
Schließen Sie aus den gegebenen Informationen auf A, B und C.
a) 6 ∪ 7 I6, 3, 4J, 7 ∩ † I5J, † ∩ 6 I J, † ∪ 7 I4, 5, 1, 2J, 7 I3, 4, 5J
b) 7 ∪ 6 I4, 5, 1, 6J 6 I1, 6J, † ∩ 6 I6, 1J, 6 ∩ 7 I1J, †\6 I2, 3J
2.2 Rechnen in verschiedenen Zahlenbereichen
2.2.1 Rechenoperationen
Rechenoperationen 1. Stufe
Addition:
Summand
+
Summand
=
Summe
Beispiel:
3
+
4
=
7
Subtraktion:
Minuend
–
Subtrahend
=
Differenz
Beispiel:
3
–
4
=
-1
Multiplikation:
Faktor
Faktor
=
Produkt
Beispiel:
3
∙
4
=
12
Division:
Dividend
:
Divisor
=
Quotient
Beispiel:
3
:
4
=
0,75
Rechenoperationen 2. Stufe
∙
Anstatt des Divisionszeichens : verwendet man oft auch den Bruchstrich. Also ist 3:4
3
gleichbedeutend mit 4 .
23
Berufsreifeprüfung Mathematik
Rechenoperationen 3. Stufe
7E“j“”•–—˜™˜š
Potenzieren:
Beispiel:
Wurzelziehen:
Beispiel:
3›
=
√xEijœE~i
žŸ ¡¢¡£¤¥¦¡¦§
=
√81
Sprich: "vierte Wurzel aus
81"
¨
3∙3∙3∙3
Wurzel
=
3
=
81
,weil 3› 81
Die zweite Wurzel, auch Quadratwurzel, wird nicht mit einem Wurzelexponenten gekennzeichnet.
Also:
√xEijœE~i √xEijœE~i
©
Beispiel
√16 4, da 4 4 ∙ 4 16
Die meisten Wurzeln lassen sich nur mit dem Taschenrechner berechnen.
Sonderfall √0 0
¦
Achtung
Wurzeln aus negativen Zahlen sind in nicht definiert!
2.2.2 Vorrangregeln
Es gilt grundsätzlich: Rechnungsarten höherer Stufe werden zuerst ausgeführt!
Das bedeutet, zuerst wird potenziert, dann multipliziert bzw. dividiert und zum Schluss addiert bzw.
subtrahiert.
Klammern stellen Rechenoperatoren höchster Ordnung dar. Zuerst müssen also Rechnungen
innerhalb der Klammern ausgeführt werden.
Beispiele
3 ∙ 4 1 12 1 13
6G^h: 3 ∙ @4 1A 3 ∙ 5 15
3 7 ∙ 2 3 14 17
6G^h: @3 7A ∙ 2 10 ∙ 2 20
Hinweis: Welche Art von Klammern – runde ( ) oder eckige [ ] oder geschwungene { } Klammern –
verwendet wird, ist grundsätzlich egal. Meist verwendet man ausschließlich runde Klammern, da auch
Computeralgebrasysteme und Kalkulationsprogramme (zum Beispiel Excel) ausschließlich runde Klammern
akzeptieren.
2.2.3 Rechengesetze
Aus dem Mathematikunterricht sind die folgenden Gesetze bekannt:
Kommutativgesetz der Addition ("Vertauschungsgesetz"):
Man darf Summanden vertauschen.
EG GE
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