9 – Elektromagnetische Induktion, FaradayGesetz Wir haben

9 – Elektromagnetische Induktion, Faraday­Gesetz
Wir haben bislang festgestellt:
● Elektrische Ströme produzieren magnetische Felder
● Magnetische Felder üben auf bewegte elektrische Ladungen eine Kraft aus
Dies war seit 1820/21 bekannt und es begann sich die Frage aufzudrängen, ob magnetische Felder elektrische Ströme erzeugen können, wenn doch elektrische Ströme magnetische Felder erzeugen?
Um 1830 entdeckten unabhängig voneinander der Amerikaner Joseph Henry (1791­1878) und der Engländer Michael Faraday (1797­1878), das dies tatsächlich der Fall ist.
Henry entdeckte diese Phänomen zuerst, aber Faraday schrieb die erste Veröffentlichung dazu und studierte es sehr genau.
9.1 – Induzierte EMF
In seinen Experimenten verwendete Faraday den folgenden einfachen Aufbau bestehend aus einer Reihenschaltung einer Batterie mit einem Schalter und einer Spule, die in ihrem Inneren einen Eisenkern trug. Auf diesen Kern war eine zweite Spule gewickelt, die mit einem Galavanometer verbunden war.
Einen Stromfluss im Galvanometerkreis konnte Faraday nicht beobachten, wenn im Batteriekreis ein konstanter Strom floss, wohl aber, wenn er den Schalter betätigte, d.h. wenn der Strom sich änderte. Die Ausschlagsrichtung des Galvanometers war dabei jeweils entgegengesetzt beim Schließen und Öffnen des Schalters. Faraday erkannte, dass nur ein sich zeitlich änderndes magnetisches Feld einen elektrischen Strom induzieren kann. Dieser Strom fließt, weil er eine “treibende Kraft” ­ eine elektromotorische Kraft – im Galvanometerkreis wirkt. Wir halten deshalb fest
Eine induzierte EMF wird durch ein sich zeitlich veränderndes magnetisches Feld erzeugt.
Diese sogenannte elektromagnetische Induktion wurde von Faraday weiter untersucht. So erzeugt ein schnell in eine Spule hineinbewegter Permanentmagnet eine EMF in der Spule. Wir der Magnet aus der Spule herausgezogen entsteht ebenfalls eine EMF, allerdings von entgegengesetzter Richtung. Man kann alternativ auch die Spule bewegen, d.h. die Relativbewegung von Spule und Magnet ist wesentlich.
9.2 – Faradays Induktionsgesetz – Lenzsche Regel
Nach Faraday ist die induzierte EMF, , umso größer, je schneller sich das Magnetfeld ändert und je größer die Spule ist in deren Fläche die Feldänderung auftritt. In der Tat ist es die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses B, der die EMF bewirkt
⋅d A
 B =∫ B
Im homogenen Feld vereinfacht sich der Fluss zu
⋅A
 B= B
Die Einheit des magnetischen Flusses ist das Weber (Wb): 1 Wb = 1 Tm2.
Mit dieser Flussdefinition lautet das Ergebnis von Faradays Untersuchungen, also das Faradaysche Induktionsgesetz
d B
E =−
dt
Wird eine Spule mit N Windungen verwendet, so gilt  = ­NdB/dt, wenn B sich auf den Fluss durch eine Windung bezieht.
Das Minuszeichen besagt:
Eine induzierte EMF verursacht einen Strom, dessen Magnetfeld der ursprünglichen
Änderung des magnetischen Flusses entgegen wirkt.
Das ist die Lenzsche Regel, die sich auch für den Fall, dass kein Strom als Folge der induzierten EMF fließen kann formulieren lässt:
Eine induzierte EMF ist immer in der Richtung, die der ursprünglichen Änderung des
magnetischen Flusses entgegen wirkt.
Betrachten wir ein Beispiel für ein homogenes Magnetfeld in die Bildebene hinein:
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Die Verkleinerung der Leiterschleife führt zu einer EMF, die einen Strom I bewirkt, der versucht, die Flussänderung zu reduzieren.
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x I x x
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Dreht sich die Leiterschleife im homogenen Feld, so wird (in der gezeigten Konfiguration) ein Strom beginnen zu fließen, der der Flussänderung (hier: Abnahme) durch Aufbau eines gleichgerichteten Magnetfeldes entgegenwirkt.
Hörsaal­Übung: Eine quadratische Spule (Kantenlänge 5 cm) mit 100 Windungen wird
mit konstanter Geschwindigkeit aus einem homogenen, zur Spule senkrechten
Magnetfeld herausgezogen. Das Feld hat eine magnetische Flussdichte von 0,6 T.
Das Herausziehen der Spule aus dem Feld dauert 0,1 s. Wie groß ist die magnetische
Flussänderung und welche EMF wird induziert? Welche Kraft ist im Mittel zum
Herausziehen der Spule nötig?
9.3 – EMF in einem bewegten Leiter
Wir betrachten eine weitere Möglichkeit, eine EMF zu induzieren. Dies wird uns helfen, die Ursache der Induktion zu verstehen.
Dazu bewegen wir eine Metallbrücke entlang eines u­förmigen nichtleitenden Bügels im homogenen Magnetfeld. In der Zeit dt überstreicht die Brücke die Fläche A = L∙vdt. Demnach wächst der Fluss durch die Fläche gebildet aus Bügel und Brücke und wir erhalten für die induzierte EMF
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B
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v
L
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d  B d  B  A BL d vdt 
=
=
= BLv
dt
dt
dt
A
Wir können die Situation aber auch unter Verwendung der Lorentzkraft diskutieren:
Demnach erfahren die Elektronen vermöge
 =−e v × B

F
vdt
eine nach oben gerichtete Kraft. Es baut sich zwischen dem unteren und oberen Ende der Drahtbrücke ein elektrisches Feld auf. Im Gleichgewicht gilt
−eE =−evB  E = vB
Über die Länge L der Brücke entspricht das einer Potentialdifferenz V = BLv, wie wir es auch über das Induktionsgesetz erhalten haben. Das können wir wie folgt ableiten:
Nehmen wir an, der Bügel ist selbst auch leitend. Gegen die sich aufbauende Potentialdifferenz können wir eine Ladung q nur unter Aufbietung der Arbeit W = (qvB)∙L verschieben. Die entsprechende EMF ist dann aber W/q = vBL.
Ist der u­förmige Bügel selbst auch leitend, so verursacht die induzierte EMF einen Stromfluss, der so gerichtet ist, das sein resultierendes Magnetfeld dem äußeren Feld entgegenwirkt. Der Strom fließt dann im Uhrzeigersinn, was auch der (technischen) Stromflussrichtung entspricht, die sich bei Anwendung der Lorentzkraft ergibt.
Die Argumentation über die Lorentzkraft erklärt das Phänomen der Induktion für einen bewegten Leiter. Sie erklärt nicht das allgemeine Gesetz der elektromagnetischen Induktion, wie es bspw. für die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen benötigt wird.
Hörsaal­Übung: Um die Drahtbrücke im letzten Beispiel zu Verschieben ist eine Kraft
nötig. Was ist die Ursache dieser Kraft und welche äußere Leistung muss aufgebracht
werden, um die Drahtbrücke zu bewegen?
9.4 – Elektrische Generatoren
Die wohl wichtigste praktische Anwendung von Faradays Induktionsgesetz ist der Wechselstromgenerator oder Dynamo. Er wandelt mechanische (kinetische) Energie in elektrische Energie um, wirkt also umgekehrt zu einem Motor.
Ein Generator besteht aus einer rotierbaren Spule (Wicklungszahl N), die auf einen Anker aufgewickelt wird. Der Anker dreht sich, durch äußere Kräfte angetrieben, in einem Magnetfeld. Als “Lieferant” der äußeren Kraft kommt bspw. fließendes Wasser in Frage oder auch der Antriebsriemen der Lichtmaschine in einem Auto.
Nehmen wir an, die Spule dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit  in einem homogenen Magnetfeld.
Nach Faraday gilt dann für die induzierte EMF
B=ABcos((t))
d B
d
d
E =−
=− N ∫ B⋅d A=− N [ BA cost  ]
dt
dt
dt
A meint die Fläche einer Spulenwindung und  den Winkel zwischen der Flächennormalen und dem Magntefeld.
Mit  = t erhalten wir
E =− BAN
d
cos t = BAN sin  t 
dt
An den Drahtenden der Spule liegt also eine sinusförmige Spannung. Das ist das Prinzip eines Wechselstromgenerators.
Rund 94 % der in Deutschland erzeugten elektrischen Energie stammt heute (2005) aus Wechselstromgeneratoren, die über nicht regenierbare Energiequellen angetrieben werden. Dazu wird in einer Dampfturbine die Entspannungsarbeit von Wasserdampf verwendet, um den Generator anzutreiben. Der Wasserdampf wird durch Verbrennung chemischer Energieträger (Erdöl, Kohle, Gas etc.) oder durch in der Kernspaltung freigesetzte Energie erzeugt. Der Anteil der regenierbaren Anteile zur elektrischen Energieerzeugung soll nach den Plänen der aktuellen Bundesregierung bis 2010 auf 12 % und bis 2050 auf 50 % ansteigen.
Ein Gleichstromgenerator funktioniert nach dem selben Prinzip wie ein Wechselstromgenerator. Allerdings ist der Schleifkontaktring segmentiert, d.h. er ist in der Form eines Kommutators ausgeführt. Daraus resultiert eine gleichgerichtete Wechselspannung, deren Restwelligkeit umso kleiner gemacht werden kann, je mehr Spulenelemente auf dem Anker untergebracht werden und je feiner demgemäß der Kommutator segmentiert ist.
Das Segmentierungsprinzip des Kommutators hat einen gravierenden Nachteil. Es kann zwischen den Segmentgrenzen zur Funkenbildung kommen, die – neben dem unvermeidlichen Abrieb an den Schleifkontakten – zu einer Oxidation führen. Deshalb werden bspw. in heutigen Lichtmaschinen Alternatoren verwendet. Das sind Wechselstromgeneratoren, deren Ausgangsspannung über Dioden gleichgerichtet wird. Der Wechselstromgenerator besteht aus einem Elektromagneten (Rotor) der über die Autobatterie mit Strom versorgt wird. Angetrieben durch den Motor dreht sich der Rotor in einem Ringsystem von festen Spulen (Statorspulen). In diesen wird der Wechselstrom induziert.
Ebenso muss die von der Lichtmaschine abgebene Leistung weitgehend unabhängig von der Motordrehzahl gemacht werden. Ansonsten würde bspw. die Scheinwerferhelligkeit von der Motordrehzahl abhängen. Dazu dient der Laderegler.
Stator
Rotor
Lichtmaschine, offen
9.5 – Gegen­EMF und Drehmoment; Wirbelströme
Rotiert der Anker eines Elektromotors, so erfahren die Ankerspulen eine ständige magnetische Flussänderung. Es muss nach der Lenzschen Regel eine EMF induziert werden, die der Ursache ihrer Entstehung entgegenwirkt. Diese Gegen­EMF wächst mit steigender Motordrehzahl. Beim unbelasteten Motor erreicht die EMF irgendwann den Wert der Eingangsspannung und der Motor beschleunigt nicht mehr weiter. Beim belasteten Motor wird die EMF kleiner sein als die Eingangsspannung. Je größer die Last, desto geringer die Drehzahl und die daraus resultierende EMF.
Hörsaal­Übung: Die Wicklung eines Gleichstrommotors hat einen Widerstand von 5 .
Der Motor wird über eine 120 V Spannungsquelle versorgt und erfährt eine Gegen­EMF
von 108 V bei voller Drehzahl im belasteten Zustand.
Welcher Strom fließt durch den Motor in der Startphase, bzw. wenn er volle Drehzahl
erreicht hat?
Hörsaal­Übung: Warum wird es für eine Bohrmaschine gefährlich, wenn die Drehzahl
unter Last merklich abnimmt?
In einem Generator sind die Verhältnisse im Vergleich zum Motor umgekehrt. Wird der Generator betrieben aber nicht belastet, fließt also in seinen Spulenwicklungen kein Strom, so ist er sehr leicht zu drehen. Wird er aber belastet, fließt also Strom in seinen Spulenwicklungen, so erfordert die Drehung ein höheres Drehmoment. Die Ursache dieses Drehmoments ist das von der Spule erzeugte Magnetfeld, dass sich im äußeren Feld des Generators befindet und ständig seinen Winkel zu diesem äußeren Feld ändert. Dieses Gegen­Drehmoment wächst mit der elektrischen Last am Generator. Man denke nur an die “Bremswirkung” des Fahraddynamos, wenn man ihn zuschaltet.
Induktionsströme können prinzipiell überall auftreten, wo ein Magnetfeld in einem räumlich begrenzten Bereich wirkt und sich Leiter in diesen Bereich hinein­ oder herausbewegen.
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Rotiert bspw. ein Metalldraht und ist dabei partiell einem Magnetfeld ausgesetzt, so wird in dem vom Feld durchdrungenen Bereich eine EMF induziert. Es resultieren Kreisströme, die sogenannten Wirbelströme, die ein Magnetfeld erzeugen, das der Ursache ihrer Entstehung entgegenwirkt. Die Drehbewegung der Scheibe wird gebremst. Das ist das Prinzip der Wirbelstrombremse.
9.6 – Transformatoren
Mittels eines Transformators wird eine Wechselspannung erhöht oder erniedrigt. Sie werden in unzähligen elektrischen Geräten benötigt, vom Fernsehapparat bis zum Steckernetzteil, insbesondere aber auch um die von den Stromversorgern gelieferten Spannungen auf die bei uns üblichen 230 V zu transformieren.
Ein Transformator besteht aus zwei Spulen, die Primär­ und die Sekundärspule. Diese Spulen können konzentrisch gewickelt sein oder auf einen Weicheisenkern aufgebracht (siehe Bild). Fließt in der Primärspule ein Wechselstrom, so erzeugt diese ein Magnetfeld. Der ideale Transformator ist so konstruiert, dass der gesamte vom Feld der Primärspule aufgebaute magnetische Fluss durch die Sekundärspule tritt.
In der Sekundärspule wird dann eine EMF induziert von der Größe
d B
V S= N S
dt
NS meint die Wicklungszahl der Sekundärspule.
Die primärseitige Eingangsspannung VP ist ebenso mit dem Fluss verknüpft
d B
V P= N P
dt
wobei NP die primärseitige Wicklungszahl ist. Dies muss so sein, weil der zeitlich veränderliche Fluss in der Primärspule eine Gegen­EMF induziert, die gerade die Eingangsspannung kompensiert.
Gleichsetzen der Flüsse liefert die Gleichung für den idealen Transformator
VS NS
=
VP NP
Wir können also über die Wicklungszahlen die sekundärseitige Spannung bei gegebener primärseitiger Spannung einstellen. Ist NS größer NP zu erhalten wir die Spannung “hoch transformiert”, im anderen Fall “hinunter transformiert”. Allerdings gilt immer die Energieerhaltung. Mit dem “hoch transformieren” wird zwar die Spannung erhöht, dafür sinkt aber der Strom auf der Sekundärseite im Vergleich zum Strom auf der Primärseite um das gleiche Verhältnis ab.
Geht keine Energie in Wärme verloren, so wird die Ausgangsleistung der Eingangsleistung entsprechen und es gilt
V P I P =V S I S
Demnach gilt also für das Stromverhältnis
IS NP
=
IP NS
Mehr als 99 % Effizienz sind für einen Transformator durchaus erreichbar.
Hörsaal­Übung: Der in einem Radio eingebaute Transformator liefert bei 120 V
Eingangsspannung (AC) 9.0 V Ausgangsspannung (AC). Die Sekundärspule hat
30 Windungen und das Radio benötigt 400 mA.
Wieviel Wicklungen benötigt die Primärspule? Wie groß sind der primärseitige Strom
und die transformierte Leistung?
Transformatoren arbeiten nur im AC­Modus, da ihr Wirkungsprinzip auf zeitlich veränderlichen magnetischen Flüssen basiert. Allerdings lässt sich auch mit einem Gleichstrom eine “Spannungstransformation” erreichen – nämlich im Moment des Ein­ oder Ausschaltens. Im Moment des Schließens oder Öffnens eines Schalters im primärseitigen Transformatorkreis wird ein Spannungspuls auf der Sekundärseite erzeugt. Nach diesem Prinzip arbeitet die Zündspule in einem Auto, die die 12 V von der Autobatterie beim Öffnen auf bis zu 25 kV in der Form einer impulsförmigen Zündspannung “hochtransformiert”.
Verwendung finden Transformatoren auch im Überland­Transport elektrischer Energie. Durch Hochtransformieren der Spannung auf einige 10 bis 100 kV lässt sich die ohmsche Verlustleistung beim Stromtransport von den Erzeugerbetrieben in die Städte reduzieren.
Hörsaal­Übung: 120 kW elektrische Leistung werden im Mittel von einem Stromerzeuger
zu einer 10 km entfernten Kleinstadt geliefert. Der Widerstand der Überlandleitungen ist
0.4 . Wie groß ist die elektrische Verlustleistung in der Leitung, wenn der Strom bei
230 V übertragen wird, und wie groß, wenn er bei 23 kV übertragen wird?
9.7 – Elektrisches Feld aus zeitlich veränderlichem magnetischem Fluss
Wir wissen bereits
● elektrischer Strom fließt in einem Leiter als Folge eines vorhandenen elektrischen Feldes
● zeitlich veränderliche magnetische Flüsse induzieren Ströme in einem Leiter
Daraus müssen wir schließen:
Ein zeitlich veränderlicher magnetischer Fluss erzeugt ein elektrisches Feld.
Diese Aussage gilt ganz allgemein überall im Raum, wo ein magnetischer Fluss einer zeitlichen Änderung unterworfen ist – nicht nur in einem Leiter. Es gilt das Faradaysche
Induktionsgesetz in einer verallgemeinerten Form. Wir kombinieren dazu den Zusammenhang zwischen der Spannung zwischen zwei Punkten und der in einem Leiterkreis induzierten EMF
b
⋅d s V ab =∫a E
⋅d s
E emf =∮ E
 mit dem Faradayschen Induktionsgesetz und erhalten
∮ E⋅d s =−
d B
dt
Diese verallgemeinerte Form des Faraday­Gesetzes gilt an jedem Raumpunkt.
Hörsaal­Übung: Die magnetische Flussdichte B zwischen den kreisförmigen Polschuhen
(Radius r0) eines Elektromagneten werde homogen angenommen. Die Flussdichte
steige linear mit der Zeit an. Ausserhalb des Polschuhbereichs (r>r0) nehmen wir an,
die Flussdichte sei 0. Welchen Wert hat das elektrische Feld an einem beliebigen Punkt
im Radiusabstand r vom Zentrum des zwischen den Polschuhen eingeschlossenen
zylinderförmigen Volumens?
In der Elektrostatik haben wir gelernt, dass elektrische Feldlinien an Ladungen münden und entspringen. Im Fall der mittels Induktion erzeugten elektrischen Felder gilt das nicht. Vielmehr sind die Feldlinien geschlossen. Dies impliziert, dass im Gegensatz zum elektrostatischen Fall das Wegintegral über das elektrische Feld längs eines geschlossenen Weges eben nicht 0 ist. Das wiederum bedeutet, dass induzierte elektrische Felder nicht konservativ sind. Ein Potential können wir deshalb für sie nicht definieren!
9.8 – Anwendungen der Induktion
Ohne zu sehr ins Detail zu gehen merken wir noch an, dass das Phänomen der Induktion viele technische Anwendungen findet. Es wird bspw. in Mikrofonen angewendet. Diese setzen ein invertiertes Lautsprecherprinzip um.
Spule auf Membran
Magnet
Eine auf einer Membran montierte Spule wird durch Schalldruckänderungen in einem Magnetfeld bewegt. Es wird eine Spannung in den Spulenwindungen induziert, die zur Geschwindigkeit der Spulenbewegung proportional ist.
zum Verstärker/Lautsprecher
bzw. Aufzeichnungsgerät
Eine weitere Anwendung des Induktionsprinzips war (bis vor kurzem) das Auslesen der auf einer Festplatte gespeicherten magnetischen “Bits”.
elektrisches Signal
magnetischer Datenträger
Der Luftspalt des Weicheisenkerns einer Induktionsspule bewegt sich gegenüber der Domänenstruktur auf der Festplatte. Bei einem Wechsel der Magnetisierungsrichtung, die stets in der Ebene der Platte liegt, wird durch das Streufeld eine EMF in der Spule induziert.