¨Ubungen zu Analysis 1, 1. ¨Ubung

Übungen zu Analysis 1, 1. Übung
1. Seien A, B, C ⊆ M Mengen. Man berechne A ∪ ∅, (A ∪ B)c ∪ (A \ B),
∅c , A × ∅. Weiters zeigen Sie die de Morganschen Regeln: (A ∩ B)c =
Ac ∪ B c , (A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
2. Zeigen Sie, dass A ⊆ B genau dann, wenn A ∩ B = A. Was folgt aus
A \ B = A ∪ B für die Menge B? Was folgt aus (A \ B) ∪ (B \ A) = ∅ für
die Menge A und B?
3. Seien Xi , i ∈ I und Yi , i ∈ I Familien von Mengen. Man beweise: (∪i∈I (Xi ∪ Yi ))c = (∩i∈I (Xi )c ) ∩ (∩i∈I (Yi )c ). Weiters zeige man:
(∪i∈I Xi ) ∩ (∪i∈I Yi ) = ∪(i,j)∈I×I (Xi ∩ Yj ).
4. Sei M eine Menge und sei A ⊆ P(M ). Weiters sei B die Menge aller
B ⊆ M , sodass es eine Familie (Ai )i∈I gibt, sodass Ai ∈ A, i ∈ I, und
B = ∪i∈I Ai . Man zeige: Ist (Bi )i∈I eine Familie von Mengen aus B, so
folgt ∪i∈I Bi ∈ B.
5. Betrachte f : M → N als Teilmenge von M × N . Ist g eine weitere
Funktion M → N , sodass f ⊆ g als Teilmengen von M × N , so zeige man,
dass f = g.
Weiters sei M = {1, 2, 3}. Man betrachte die Funktion g : P(M ) → P(M ),
wobei g(A) = A∪{3}. Man stelle diese Funktion als Teilmenge von P(M )×
P(M ), also als Menge von Paaren dar.
6. Sei N die Menge der natürlichen Zahlen, Z die Menge der ganzen Zahlen,
und Q die Menge der rationalen Zahlen.
Mit den aus der Schule bekannten Eigenschaften betrachte man f : Z ×
N → Q, (p, n) 7→ np . Ist diese Funktion injektiv, surjektiv, bijektiv? Falls
sie nicht bijektiv ist: Wie kann man den Definitionsbereich einschränken,
sodass man eine bijektive Funktion erhält?
7. Seien f : M → N und g : N → P Funktionen. Zeige: Sind f und g beide
injektiv (surjektiv), so ist auch g ◦ f injektiv (surjektiv). Weiters zeige:
Ist g ◦ f injektiv, so muss f injektiv sein. Ist g ◦ f surjektiv, so muss g
surjektiv sein.
8. Man zeige: Sei f : M → N eine Funktion. Sind F, G ⊆ N , so folgt f −1 (F ∩
G) = f −1 (F ) ∩ f −1 (G) und f −1 (F ∪ G) = f −1 (F ) ∪ f −1 (G).
Weiters zeige: Sei f : M → N eine Funktion. Sind A ⊆ B ⊆ M , so folgt
f (A) ⊆ f (B). Sind F ⊆ G ⊆ N , so folgt f −1 (F ) ⊆ f −1 (G)
9. Man zeige: Sei f : M → N eine Funktion. Sind A, B ⊆ M , so folgt
f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B). Gilt auch f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)? Wenn nicht,
dann gebe man ein Gegenbeispiel an.
10. Sei M = {1, 2, . . . , 10}, und sei N = {2, . . . , 9} und f : N → M, n 7→ n+1.
Wieviele Fortsetzungen von f zu einer Funktion g : M → M gibt es?
Weiters gebe man alle Fortsetzungen von f zu einer Funktion g : M → M
an, sodass g surjektiv ist.
Übungen zu Analysis 1, 2. Übung
1. Sei K = {0, 1, 2}. Man definiere + und · so, dass (K, +, ·) ein Körper wird. Lässt
sich dieser Körper anordnen?
2. Sei hK, +, ·i ein Körper, und seien p, q ∈ K. Man betrachte die Funktion f (x) =
x2 + px + q von K nach K.
Man zeige, dass wenn x1 eine Nullstelle ist, dann auch x2 := −p − x1 eine Nullstelle ist, dass dann f (x) = (x − x1 )(x − x2 ), und dass es dann keine weitere
Nullstellen von f gibt. Also hat f höchstens zwei Nullsten. Dabei heißt x0 eine
Nullstelle von f , wenn f (x0 ) = 0.
Hinweis: Ist x1 eine feste Nullstelle und x ∈ K, so gilt f (x) = f (x) − f (x1 ). Man
berechne die rechte Seite unter zu Hilfenahme von x2 − x12 = (x − x1 )(x + x1 ).
3. Sei hK, +, ·i ein Körper, sodass 2 := 1 + 1 , 0 und damit 4 := 1 + 1 + 1 + 1 =
2 · 2 , 0, und seien p, q ∈ K. Man betrachte die Funktion f (x) = x2 + px + q von
K nach K. Man zeige, dass f genau dann eine Nullstelle hat, falls es eine y ∈ K
2
gibt, sodass y2 = p4 − q. In diesem Falle zeige man, dass dann − 2p + y und − 2p − y
genau die Lösungen von f (x) = 0 sind.
Hinweis: f (x) = (x + 2p )2 + q −
p2
4 .
4. Sei hK, +, ·, Pi ein angeordneter Körper. Man zeige (x, y, a, b ∈ K):
x ≤ y ∨ y ≤ x,
x ≤ y ⇒ −x ≥ −y,
(x ≤ y ∧ a ≤ b) ⇒ x + a ≤ y + b,
5. Sei hK, +, ·, Pi ein angeordneter Körper. Man zeige (x, y, z ∈ K):
(z > 0 ∧ x ≤ y) ⇒ xz ≤ yz,
(z < 0 ∧ x ≤ y) ⇒ xz ≥ yz.
Außerdem beweise man: − 23 > − 34 , wobei 2 := 1 + 1, 3 := 1 + 1 + 1, 4 :=
1 + 1 + 1 + 1.
6. Sei hK, +, ·, Pi ein angeordneter Körper. Um die Lösungsmenge einer Ungleichung z.B. der Form
|2 − x| ≥ 4,
zu erhalten, geht man folgendermaßen vor: Betrachte zuerst den Fall x < 2. Dann
schreibt sich unsere Ungleichung als 2 − x ≥ 4, was zu x ≤ −2 äquivalent ist.
Also ist unsere Lösungsmenge in diesem Fall {x ∈ K : x < 2} ∩ {x ∈ K : x ≤
−2} = {x ∈ K : x ≤ −2}.
Ist x ≥ 2, so schreibt sich unsere Ungleichung als x − 2 ≥ 4, und somit x ≥ 6.
Unsere Lösungsmenge ist in diesem Fall {x ∈ K : x ≥ 2} ∩ {x ∈ K : x ≥ 6} =
{x ∈ K : x ≥ 6}.
Die Lösungsmenge insgesamt ist somit {x ∈ K : x ≤ −2} ∪ {x ∈ K : x ≥ 6} =
(−∞, −2] ∪ [6, +∞).
Man bestimme auf analoge Weise die Menge aller x ∈ K, x , 3, sodass
3x
≥ 3.
|3 − x|
x
7. Sei hK, +, ·, Pi ein angeordneter Körper. Man zeige: Die Abbildung φ : x 7→ 1+|x|
ist eine bijekive Abbildung von K auf (−1, 1) = {x ∈ K : −1 < x < 1}. Man gebe
auch die Inverse φ−1 : (−1, 1) → K von φ an.
Weiters zeige man, dass φ streng monoton steigend ist: x < y ⇒ φ(x) < φ(y).
8. Sei hK, +, ·, Pi ein angeordneter Körper.
Sei M ⊆ K nach oben beschränkt, und bezeichne O die Menge aller oberen
Schranken. Man zeige, dass O ∩ M = ∅ oder O ∩ M = {z}, und dass die zweite
Möglichkeit genau dann eintritt, wenn M ein Maximum hat.
Schließlich zeige man: Ist M ⊆ K, so existiert sup M genau dann, wenn inf(−M)
existiert. In diesem Falle gilt − sup M = inf(−M).
9. Sei hK, +, ·, Pi ein angeordneter Körper. Sei M ⊆ K so, dass inf M existiert, und
s ∈ K.
Man zeige: Es gilt s < inf M genau dann, wenn es ein t ∈ K gibt, sodass s < t ≤
m für alle m ∈ M. Weiters zeige man: s ≤ inf M ⇔ s ≤ m, ∀m ∈ M.
10. Man bestimme Minimum, Maximum, Infimum und Supremum (falls existent)
der Menge
# (
)
1
1
−1, ∪ 1 +
: n ∈ N ∪ (2, 3].
2
n1k
Begründen Sie ihre Antwort in mathematisch stichhaltiger Art und Weise!
Übungen zu Analysis 1, 3. Übung
1. Man stelle eine Formel für (n ∈ N)
12 + 22 + 32 + · · · + n2
auf, und beweise diese mittels vollständiger Induktion.
Hinweis: Obige Summe ist von der Form p(n) für ein Polynom p dritten Grades.
2. Man zeige mittels vollständiger Induktion:
Pn
1
k=1 k(k + 1) = 3 n(n + 1)(n + 2), n ∈ N, und
Qn
2
1
2
k=2 1 − k(k+1) = 3 (1 + n ), n ∈ N, n ≥ 2.
3. Man zeige mittels vollständiger Induktion:
2n > n für n ∈ N und 2n > n2 für n ∈ N, n ≥ 5.
Schließlich folgere man daraus, dass für ein beliebiges x ≥ 2 aus einem angeordneten Körper:
xn > n für n ∈ N und xn > n2 für n ∈ N, n ≥ 5.
4. Seien Zahlen an ∈ N (n ∈ N) rekursiv definiert durch
a1 = 1, an+1 = a1 + a2 + . . . + an .
Dann zeige man, dass für n ≥ 3 giält, dass an = 2n−2 .
Bemerkung: Die Existenz dieser Zahlen an folgt aus dem Rekursionssatz, wenn
man für A die Menge ∪k∈N Nk , also die Menge aller endlichen geordneten Tupel
und für a das Element 1 ∈ N ⊆ A hernimmt, und g durch g((b1 , . . . , bk )) :=
P
(b1 , . . . , bk , kj=1 b j ) definiert. Die gesuchten Zahlen an sind dann genau die letzten Einträge von φ(n).
5. Man zeige mittels vollständiger Induktion: Sind b, a aus einem Körper, so gilt
für n ∈ N
n
X
bn+1 − an+1 = (b − a)
a j bn− j .
j=0
Daraus leite man die Formel
n
X
k=0
xk =
1 − xn+1
, n ∈ N.
1−x
für x , 1 her.
6. Eine Zahl p ∈ N, p > 1, heißt Primzahl, wenn aus m · n = p für m, n ∈ N folgt,
dass n = 1 oder m = 1.
Sei A(n), n ∈ N, n ≥ 2, die Aussage:
Es gibt endlich viele (nicht notwendigerweise verschiedene) Primzahlen
p1 , . . . , pm , sodass
m
Y
n=
p j.
j=1
Beweisen Sie diese Aussage mit Hilfe der in Bemerkung 2.3.12 (die Variante
nach ’oder gilt’) angegebenen Variante der vollständigen Induktion.
7. Für n ∈ N und k ∈ {0, . . . , n} sei der Binomialkoeffizient nk durch n0 = 1 und
(n ≥ k ≥ 1) durch
!
n−k+1
n!
n
n n−1
· ... ·
=
= ·
k
1
2
k
k!(n − k)!
definiert. Dabei ist n! induktiv durch 0! = 1, 1! = 1 und (n + 1)! = n!(n + 1)
definiert. Man zeige, dass (n ≥ k ≥ 1)
!
!
!
n
n
n+1
+
=
.
k
k−1
k
Weiters beweise man den Binomischen Lehrsatz mittel vollständiger Induktion:
(a + b)n =
!
n
X
n n−k k
a b.
k
k=0
Dabei sind a, b aus einem beliebigen Körper.
Bemerkung: Ist k ∈ Z \ {0, . . . , n}, so definiert man
n n+1
chung nk + k−1
= k für alle n ∈ N, k ∈ Z.
n
k
:= 0. Dann gilt die Glei-
8. Sei p, q ∈ Z mit p ≤ q. Man zeige, dass {r ∈ Z : p ≤ r ≤ q} eine endliche
Teilmenge von Z ist. Dabei ist die Definition von Endlichkeit aus der Vorlesung/Skriptum zu verwenden.
9. Sei hK, +, ·i ein Körper, und sei x ∈ K \ {0}, p, q ∈ Z. Man zeige mittels
vollständiger Induktion für natürliche p, q und/oder mittels Fallunterscheidungen im allgemeinen Fall: x−p = x1p , x p xq = x p+q , (x p )q = x pq .
10. Sei K ein archimedisch angeordneter Körper. Man bestimme das Supremum und
Infimum der Menge
(
)
2
M = (−1)n + : n ∈ N .
n
Übungen zu Analysis 1, 4. Übung
1. Sei hK, +, ·i ein archimedisch angeordneter Körper. Dieser enthält ja bekanntlich
Q (Genauer: Eine Kopie der rationalen Zahlen). Ist nun Q ( K, so zeige man,
dass es sogar ein η ∈ K \ Q gibt mit 0 < η < 1.
Weiters zeige man, dass zwischen je zwei x < y aus K ein nicht rationales ξ mit
x < ξ < y gibt.
Hinweis: Zeigen Sie die letzte Behauptung zunächst für x, y ∈ Q.
2. Sei p(x) = ak xk +· · ·+a0 ein Polynom mit reellen Koeffizienten a j , sodass ak > 0.
Zeigen Sie, dass es ein N ∈ N gibt, sodass p(n) > 0 für alle n ≥ N, n ∈ N.
Hinweis: Zeigen Sie, dass man ak = 1 annehmen kann, und dass wenn nk >
max(|ak−1 |, . . . , |a0 |)nk−1 auch p(n) > 0......
3. Seien M, N zwei nichtleere Mengen und f : M × N → R eine nach oben beschränkte Funktion, d.h. ∃C ∈ R+ : ∀(m, n) ∈ M × N ⇒ f ((m, n)) ≤ C. Man
zeige, dass
sup{sup{ f ((m, n)) : m ∈ M} : n ∈ N} = sup{ f ((m, n)) : (m, n) ∈ M × N} =
sup{sup{ f ((m, n)) : n ∈ N} : m ∈ M}.
Hinweis: Setze λ := sup{sup{ f ((m, n)) : m ∈ M} : n ∈ N} und µ :=
sup{ f ((m, n)) : (m, n) ∈ M × N}.
Für λ ≤ µ zeige man zunächst sup{ f ((m, n)) : m ∈ M} ≤ µ für alle n ∈ N.
Für µ ≤ λ halte man (m0 , n0 ) fest und zeige, dass es ein Element ξ aus
{sup{ f (m, n) : m ∈ M} : n ∈ N} gibt, sodass f ((m0 , n0 )) ≤ ξ.
4. Man rechne nach,
- dass 1 + i0 das multiplikativ neutrale Element von C ist.
- dass für z ∈ C \ {0} tatsächlich w :=
zu z ist, dass also wz = 1 + 0i.
z̄
|z|2
das multiplikativ Inverse Element
- dass |zw| = |z||w|, |z + w| ≤ |z| + |w| für z, w ∈ C.
P
5+i9
j
5. Man berechne: −2−i3
, (−3 + i2)−2 , (1 + i)2 , 13
j=0 i .
6. Sei z = a + ib ∈ C. Man zeige mit den Mitteln der Vorlesung (also ohne Polarkoordinaten), dass z Quadratwurzeln hat, dass es also ein w ∈ C gibt, sodass
w2 = z. Wieviele Lösungen gibt es? Man berechne damit alle Quadratwurzeln
von i und von 1 − i2.
Hinweis: Man setze w = c + id unbestimmt an und löse die gewünschte Gleichung.
7. Betrachte die quadratische Ungleichung (p, q ∈ R)
x2 + px + q ≥ 0.
Man beweise, dass die Menge aller x ∈ R, für die diese Ungleichung stimmt, mit
R übereinstimmt, wenn x2 + px + q keine Nullstellen in R hat, und sonst gleich
(−∞, x1 ] ∪ [x2 , +∞) ist, wobei
q
q
p2
p2
p
p
x1 = − 2 −
4 − q, x2 = − 2 +
4 − q.
Wie schauen die Lösungsmengen für die Ungleichungen x2 + px + q > 0, x2 +
px + q ≤ 0, x2 + px + q < 0 aus?
2
Hinweis: Man beachte x2 + px + q = (x + 2p )2 + q − p4 und verwende die Tatsache,
dass x 7→ x2 die Menge R+ ∪ {0} bijektiv auf R+ ∪ {0} abbildet.
8. Man bestimme die Menge aller x ∈ R, sodass
4|x| + (1 − 2x)2 ≤ 8.
9. Man betrachte die Intervalle In := (− 1n , 1n ) ⊆ R. Man bestimme ∩n∈N In .
Weiters sei Bn = {z ∈ C : Re(z) + Im(z) ∈ In }. Man bestimme B = ∩n∈N Bn und
skizziere die Lage von B und Bn in der Zahlenebene.
10. Welche der folgenden Paare sind metrische Räume, und warum oder warum
nicht?
• (R+ , d), wobei d(x, y) = xy.
• (R \ {0}, d), wobei d(x, y) = | 1x − 1y |, x, y ∈ R \ {0}.
• (X, d), wobei X eine nichtleere Menge ist, und d : X × X → R mit d(x, y) =
1, wenn x , y und d(x, y) = 0, wenn x = y.
• (X, d), wobei X eine nichtleere Menge ist, und d : X×X → R mit d(x, y) = 0
für alle x, y ∈ X.
Übungen zu Analysis 1, 5. Übung
1. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort!
- (3 + (−1)n 4n )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik.
- ((−1)n +
1
)
n4 n∈N
in R versehen mit der euklidischen Metrik.
2. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort!
- (( 12 + i 12 )n )n∈N in C versehen mit der euklidischen Metrik.
- ( n+1 1 )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik.
n2
3. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort!
n
- ( (−1)
3n+1 +
i
)
3n+1 n∈N
in C versehen mit der euklidischen Metrik.
- (S n )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik, wobei S n =
1
1
(Beachte n(n+1)
= 1n − n+1
).
Pn
1
j=1 ( j( j+1) )
2
+4n
)n∈N in R. Man bestimme ihren Grenzwert x.
4. Man betrachte die Folge ( 2n2n2 +4n−4
Weiters bestimme man zu einem gegebenen > 0 das kleinst mögliche N ∈ N,
sodass
2n2 + 4n
|x − 2
| < , ∀n ≥ N.
2n + 4n − 4
5. Man betrachte die Folge ( n1 + in )n∈N in C. Geben Sie ein > 0 und eine Teilfolge
1
( n(k)
+ in(k) )k∈N von ( 1n + in )n∈N an, sodass
d2 (1,
1
+ in(k) ) ≥ ,
n(k)
für alle k ∈ N.
6. Geben Sie eine unbeschränkte Folge in R an, die eine konvergente Teilfolge hat!
Weiters geben Sie eine unbeschränkte Folge in R an, die keine konvergente Teilfolge hat, die aber auch nicht monoton wachsend ist!
7. Sei hX, di ein metrischer Raum. Seien (xn )n∈N , (yn )n∈N zwei Folgen in X, die
gegen den selben Grenzwert x konvergieren. Man zeige, dass dann auch die
gemischte Folge (zn )n∈N gegen x konvergiert, wobei z2k = xk , k ∈ N und
z2k−1 = yk , k ∈ N.
8. Zifferndarstellung reeller Zahlen:
Sei b ∈ N, b ≥ 2. Wir betrachten Folgen (zn )n∈N∪{0} bestehend aus ganzen Zahlen,
sodass zn ∈ {0, 1, . . . , b − 1} für n ≥ 1. Weiters fordern wir, dass die Folge nicht
ab einem gewissen Index aus lauter Zahlen b − 1 besteht (d. h. ∀N ∈ N∃n ≥ N :
zn , b − 1). Die Menge aller solchen Folgen bezeichnen wir mit D.
Man zeige: Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine Folge (zn )n∈N∪{0} ∈ D, sodass die
durch
n
X
1
an = z0 +
zj j ,
b
j=1
definierte Folge rationaler Zahlen (an )n∈N gegen x konvergiert.
Hinweis: Für x ≥ 0 setze z0 = [x] (größte ganze Zahl ≤ z). Dann definiere zn
rekursiv so, dass an ≤ x und dass der Abstand von x zu an möglichst klein wird.
Dieser Abstand ist dann ≤ b−n .
Bemerkung: Für b = 10 erhält man die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl.
9. Seinen p(n) und q(n) reelle Polynome vom Grad r ∈ N bzw. s ∈ N mit s > r.
Zeigen Sie, dass dann
p(n)
lim
= 0.
n→∞ q(n)
Hinweis: Dividieren Sie oben und unten durch n s und wenden Sie die Rechenregeln an!
10. Sei k ∈ N fest. Man berechne limn→∞
nk
2n .
Hinweis:
Man zeige mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes, dass für p(n) :=
n
n n−1
n−k+1
ein Polynom in n vom Grad > k ist, sodass 2n ≥ p(n)
k+1 = 1 · 2 · . . . ·
k
für n > k + 1.
Übungen zu Analysis 1, 6. Übung
1. Ist die Folge (xn )n∈N
xn =
1
1
1
+
+ ··· + ,
n+1 n+2
2n
konvergent? Wenn ja, warum?
2. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort!
- ((1+ n12 )n )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik. Hinweis: Betrachte eins durch die Folge, wende die Bernouillsche Ungleichung an und gehe
wieder zu den Kehrwerten über!
√
√
- ( 9n2 + 2n + 1 − 3n)n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik.
3. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort!
- ((1− 1n )n )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik. Hinweis: Sie dürfen
verwenden, dass die Folge ((1 + 1n )n )n∈N konvergiert, wobei der Grenzwert
e getauft wird.
- ((−1 + 2i +
1−i 10
n )
− 1)n∈N in C versehen mit der euklidischen Metrik.
4. Untersuchen Sie folgende rekursiv definierte Folge (xn )n∈N auf Konvergenz und
berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert!
xn+1 =
1
(a + xn2 ), n ≥ 1, x1 = 0, 0 ≤ a ≤ 1.
2
Hinweis: Überprüfen Sie zuerst auf Monotonie und Beschränktheit. Beweise dafür mittels vollständiger Induktion! Der Grenzwert (falls existent) erfüllt
limn→∞ xn = limn→∞ xn+1 = limn→∞ 21 (a + xn2 ) = . . .
5. Sind folgende metrische Räume vollständig oder nicht? Begründen Sie ihre Antwort! Dabei ist d2 die euklidische Metrik.
- (C \ {0}, d2 ).
- ([0, 1] ∪ [2, 3], d2 ).
- (Z, d2 ) (Betrachten Sie Z als Teilmenge von R).
6. Sei (cn )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen, die gegen eine positive reelle Zahl
1
c konvergiert. Wohin konvergiert (cn ) n ? Warum ?
Hinweis: Ist b < c < d für positive b, d, so erfüllt cn ab einem Index b < cn < d.
7. Sei X eine nichtleere Menge und d die diskrete Metrik auf dieser Menge. Zeigen
Sie, dass eine Folge (xn )n∈N in X bezüglich d genau dann gegen eine x konvergiert, wenn es einen Index N gibt, sodass xn = x für alle n ≥ N.
8. Ist die Folge (an )n∈N konvergent, divergent, bestimmt divergent? Berechnen Sie
gegebenenfalls ihren Grenzwert!
q
- an = n(1 − 1 − n1 ),
√
- an =
- an =
n5 +3
,
q
√
√
n + n − n − n.
n2 −2n+6
q
9. Ist die Folge (an )n∈N konvergent, divergent, bestimmt divergent? Berechnen Sie
gegebenenfalls ihren Grenzwert!
- an =
1
√
,
n
n!
2
- an = (1 + 1n )n ,
√n
- an = an + bn , wobei a, b ∈ R, 0 ≤ a ≤ b.
10. Mit der Notation aus dem entsprchenden Beispiel vom 5. Übungsblatt, weise
man nach, dass für jedes (zn )n∈N∪{0} ∈ D die Folge (an )n∈N mit
an = z0 +
n
X
j=1
zj
1
,
bj
eine Cauchyfolge ist. Weiters zeige man, dass zu zwei verschiedenen
(zn )n∈N∪{0} , (wn )n∈N∪{0} ∈ D für die entsprechenden Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N
gilt: limn→∞ an , limn→∞ bn .
Bemerkung: Zusammen mit dem entsprechenden Beispiel vom 5. Übungsblatt
sieht man, dass es über diese Folgen eine bijektive Beziehung zwischen D und R
gibt. Für b = 10 und für Zahlen ≥ 0 ist das genau die bekannte Dezimaldarstellung der reellen Zahlen.
Übungen zu Analysis 1, 7. Übung
1. Als Intervallschachtelung in R wird eine Folge (In )n∈N von Intervallen In =
[an , bn ] bezeichnet, wobei an , bn ∈ R, an < bn , In+1 ⊆ In und limn→∞ (bn −an ) = 0.
Man zeige, dass unter diesen Voraussetzungen (an )n∈N und (bn )n∈N gegen den
selben Grenzwert konvergieren.
Weiters zeige man: Sei 0 < a < b. Die rekursiv definierten Folgen (an )n∈N und
(bn )n∈N mit a1 = a, b1 = b und
an+1 =
2an bn
,
an + bn
an + bn
,
2
√
bilden eine Intervallschachtelung, welche gegen das geometrische Mittel ab
von a und b konvergiert.
bn+1 =
Hinweis: an bn = ab für alle n ∈ N.
2. Man betrachte die Menge C := C ∪ {∞}, wobei ∞ ein nicht in C enthaltenes
Element ist. Man sagt, dass eine komplexe Folge (zn )n∈N gegen ∞ konvergiert
(in Zeichen limn→∞ zn = ∞ oder zn → ∞), falls
∀M ∈ R, M > 0 ∃N ∈ N : |zn | > M, ∀n ≥ N.
Man zeige, dass zn → ∞ genau dann, wenn |zn | → +∞ im Sinne der Vorlesung.
Weiters zeige man: Sind p(z) und q(z) zwei Polynome mit komplexen Koeffizienten, sodass p einen höheren Grad als q hat, dann konvergiert die komplexe
p(n)
Folge ( q(n)
) gegen ∞ im obigen Sinne.
Bemerkung: Ist k der Grad von q und bk , 0 der Führungskoeffizient von q, so
gilt n−k q(n) → bk und daher |n−k q(n)| → |bk | > 0. Somit ist q(n) sicher nicht Null,
p(n)
wenn nur n ≥ K für ein K ∈ N. Also ist die Folge ( q(n)
) ab n = K wohldefiniert.
3. Die stereographische σ Projektion entsteht folgendermassen: Man lege eine Kugel mit Durchmesser 1 so auf die Ebene R2 (' C), dass Ihr Südpol am Nullpunkt
zu liegen kommt. Die Oberfläche der Kugel heiße S . Hat man einen Punkt P
auf der Kugel gegeben der verschieden vom Nordpol N ist, so bilde man diesen
auf einen Punkt der Ebene ab, indem man die Gerade zeichnet welche P und N
verbindet, und diese mit der Ebene schneidet.
Zeige, dass die Abbildungsformeln von σ lauten:
σ(ξ, η, ζ) = (x, y), x =
ξ
η
, y=
,
1−ζ
1−ζ
Zeige, dass die so erhaltene Abbildung σ die Menge S \ {N} bijektiv auf R2
abbildet, und dass ihre Inverse σ−1 mit τ übereinstimmt, wobei
τ(x, y) = (ξ, η, ζ), ξ =
x
y
x2 + y2
,
η
=
,
ζ
=
.
1 + x2 + y2
1 + x2 + y2
1 + x2 + y2
Hinweis: Für τ = σ−1 zeigen Sie, dass tatsächlich τ(R2 ) ⊆ S \ {N}, und dass
τ ◦ σ = idS \{N} sowie σ ◦ τ = idR2 (verwenden Sie gegebenenfalls, dass für
(ξ, η, ζ) ∈ S \ {N} immer ξ2 + η2 + (ζ − 12 )2 = 41 ) und verwenden Sie Satz 1.2.18!
4. Man untersuche ob folgende Reihen absolut konvergieren, konvergieren oder
divergieren:
√
∞
∞
X
X
(−1)n
n
,
(−1)n
.
√3
2
n
+
1
n − 1 n=0
n=2
5. Man untersuche ob folgende Reihen absolut konvergieren, konvergieren oder
divergieren:
√
∞ √
∞
X
n!n! X n + 1 − n
,
.
√4 3
(2n)! n=1
n
n=1
6. Man untersuche ob folgende Reihen konvergieren oder divergieren:
∞
∞ 2
X
X
1
n n
.
√n ,
n n n=1 n + 1
n=1
7. Man untersuche ob folgende Reihe konvergiert oder divergiert:
∞
X
1
n=0
n
1
(e − (1 + )n ).
n
Hinweis: Suchen Sie mit Hilfe von (1 + n1 )n < e < (1 + 1n )n+1 eine konvergente
Majorante.
8. Für welche x ∈ R ist die Reihe
∞
X
n=1
xn
1 + x2n
konvergent, und für welche divergent?
9. Sei (an )n∈N rekursiv definiert durch a1 = 1 und
P∞
n=1 an konvergiert!
an+1
an
=
3
4
+
(−1)n
2 .
Zeigen Sie, dass
10. Man zeige die Cauchy-Schwarzsche und die Minkowskische Ungleichung für
komplexe Zahlen, d.h. sind z1 , . . . , z p , w1 , . . . , w p ∈ C, so gilt:
v
v
u
u
tX
tX
p
p
p
p
X
X
z j w j ≤
|z j |2 ·
|w j |2 ,
|z j w j | ≤
j=1
j=1
j=1
v
u
tX
p
j=1
|z j + w j |2 ≤
v
u
tX
p
j=1
|z j |2 +
j=1
v
u
tX
p
|w j |2 .
j=1
Hinweis: Führen Sie diese Ungleichungen auf die schon bekannten reellen Versionen dieser Ungleichungen zurück. Für die Minkowskische Ungleichung zerlege man zuerst z j + w j in Real- und Imaginärteil.....
Übungen zu Analysis 1, 8. Übung
1. Sei C = C ∪ {∞} (∞ ist ein Element, das nicht in C enthalten ist), wobei wir C als
Ebene R2 auffassen. Weiters sei σ die auf ganz S durch σ(N) = ∞ fortgesetzte
Abbildung aus dem 3. Beispiel der siebten Übung. Offensichtlicherweise ist σ :
S → C bijektiv.
Wir definieren eine Abbildung χ : C × C → R durch
χ(z, w) := d2 σ−1 (z), σ−1 (w) , z, w ∈ C ,
wobei d2 für die euklidische Metrik auf S ⊆ R3 steht. Man zeige, dass χ eine
Metrik auf C ist (die sogenannte chordale Metrik), sodass zn → z in C bezüglich
χ genau dann wenn σ−1 (zn ) → σ−1 (z) in R3 bzgl. d2 .
Weiters zeige, dass
|a − b|
χ(a, b) = p
, a, b ∈ C .
p
1 + |a|2 · 1 + |b|2
Vergleiche Abschnitt 3.6 im Skriptum.
2. Sei (zn )n∈N eine Folge komplexer Zahlen. Man zeige zn → ∞ im Sinne von
Beispiel 2, Übung 7, genau dann, wenn zn → ∞ in C bezüglich χ.
Ist z ∈ C, so zeige man weiters, dass zn → z bzgl. d2 genau dann, wenn zn → z
bzgl. χ.
P
2
3. Sein (zn ) und (wn ) zwei Folgen von komplexen Zahlen, sodass ∞
n=1 |zn | und
P∞
2
n=1 |wn | konvergieren.
P
P∞
2
Man zeige, dass dann ∞
n=1 zn wn absolut konvergiert und
n=1 |zn + wn | konvergiert, und dass
∞
∞
∞
X
X
X
|
zn wn |2 ≤ ( |zn |2 )( |wn |2 )
n=1
und dass
n=1
n=1
∞
∞
∞
X
X
X
1
1
1
( |zn + wn |2 ) 2 ≤ ( |zn |2 ) 2 + ( |wn |2 ) 2 .
n=1
n=1
n=1
P
2
Bezeichne nun ` die Menge aller Folgen (zn ), sodass ∞
n=1 |zn | konvergiert, dann
2
zeige man unter Verwendung obiger Ungleichung, dass (` , d) ein metrischer
P
2 21
Raum ist, wobei d((zn ), (wn )) := ( ∞
n=1 |zn − wn | ) .
2
Bemerkung: `2 ist auch ein Vektorraum über dem Körper C, und (`2 , d) ist ein
vollständig metrischer Raum.
4. Man zeige mit Hilfe der Resultate über die Multiplikation von absolut konvergenten Reihen, dass für |z| < 1
∞
X
n=0
(n + 1)zn = (1 − z)−2 .
5. Man untersuche ob folgende Reihen absolut konvergieren, und berechnen gegebenenfalls ihren Grenzwert:
∞
X
n=1
∞
X
1
1
(−1)n
,
( n + n ).
n(n + 1)(n + 2) n=0 2
2
6. Man zeige, dass ein festes C > 0 existiert, sodass die Abschätzung
|
J X
∞
X
1
|≤C
k
j
j=2 k=2
für beliebiges J ∈ N gilt. Weiters zeige man damit, dass man den Satz 3.9.10 im
Skriptum anwenden kann. Berechne
∞
X
1
.
jk
j,k=2
7. Für α ∈ R sei
α
0
= 1, und für k ∈ N sei
!
α
α(α − 1) · · · (α − k + 1)
=
.
k
k!
Man zeige, dass die Reihe (|z| < 1)
B(z, α) =
!
∞
X
α k
z
k
k=0
konvergiert. Wie ist das Konvergenzverhalten, wenn |z| > 1?
Hinweis: Unterscheiden Sie α ∈ N ∪ {0} und α < N ∪ {0}, und betrachten Sie für
die letzte Frage jeweils die Folge der Summanden. Ist diese eine Nullfolge?
8. Man verwende (siehe unten)
! X
!
!
k
α+β
α β
=
,
k
j k− j
j=0
um zu zeigen, dass die obige Reihe (|z| < 1) der Gleichung
B(z, α)B(z, β) = B(z, α + β)
genügt.
9. Für |x| < 1 zeige man, dass B(x, α) = (1 + x)α , zuerst für α ∈ N, dann für
α = 1p , p ∈ N, und dann für α ∈ Q.
Um
! X
!
!
k
α+β
α β
=
k
j k− j
j=0
(1)
zu zeigen, zeigen wir diese Gleichung zunächst für α, β ∈ N und k = 0, . . . , α + β.
P
k
α
β
α+β
Dazu betrachte man das Polynom α+β
, welches
k=0 bk x = (1 + x) (1 + x) − (1 + x)
klarerweise identisch gleich Null ist für alle x ∈ R. Somit müssen auch alle Koeffizienten bk verschwinden.
Multipliziert man dieses Polynom mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes aus, so
erhält man
!
!
!
k
X
α β
α+β
0 = bk =
−
.
j k− j
k
j=0
Für α, β ∈ N und k ∈ Z \ {0, . . . , α + β} sind beide Seiten von (1) Null.
Nun sei
!
!
!
k
α+β X α β
F(α, β) =
−
.
k
j k− j
j=0
Man halte α ∈ N fest, und betrachte das Polynom F(α, x), welches einen Grad
kleiner oder gleich k hat. Weiters wissen wir, dass dieses Polynom Nullstellen bei
x = 1, 2, 3, . . . hat, denn für α, β ∈ N haben wir (1) schon gezeigt. Nun kann ein
Polynom, das nicht das Nullpolynom ist, höchstens Grad viele Nullstellen haben. Also
ist F(α, x) = 0 für alle x ∈ R.
Nun halte man β ∈ R fest, und schließe wie eben von F(x, β) = 0 für x = 1, 2, 3, . . .
auf F(x, β) = 0 für alle x ∈ R.
Also haben wir (1) gezeigt.
Übungen zu Analysis 1, 9. Übung
∏
1. Sei (zn ) eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Man sagt, dass ∞
n=1 zn kon∏N
vergiert, wenn die Folge PN = n=1 zn für N → ∞ konvergiert. In diesem Falle
∏
bezeichnet ∞
n=1 zn den Grenzwert dieser Folge.
∏
Man zeige, dass dann im Fall ∞
n=1 zn , 0 immer limn→∞ zn = 1.
2. Sei X eine nichtleere Menge und seien d und d̃ zwei Metriken auf X. d und d̃
heißen äquivalent, wenn es a, b ∈ R, a, b > 0 gibt, sodass
ad(x, y) ≤ d̃(x, y) ≤ bd(x, y), ∀x, y ∈ X.
Zeigen Sie, dass Ũaϵ (x) ⊆ Uϵ (x) und Uϵ (x) ⊆ Ũbϵ (x), wobei Uϵ (x) = {y ∈ X :
d(x, y) < ϵ} und Ũϵ (x) = {y ∈ X : d̃(x, y) < ϵ}.
Zeigen Sie weiters:
xn → x bzgl. d genau dann, wenn xn → x bzgl. d̃.
(xn ) ist Cauchy-Folge bzgl. d genau dann, wenn (xn ) Cauchy-Folge bzgl. d̃ ist.
Ist E ⊆ X, so ist E offen, abgeschlossen bzw. kompakt bezüglich d genau dann,
wenn E offen, abgeschlossen bzw. kompakt bezüglich d̃ ist.
Bemerkung: Aus der Vorlesung ist bekannt, dass d1 , d2 , d∞ äquivalent auf R p
sind.
3. Sind folgende Mengen M offen oder abgeschlossen?
• M = N, als Teilmenge von R,
• M = {x + y : x, y ∈ [0, 1]}, als Teilmenge von R,
• M = {x + y : x ∈ [0, 1], y ∈ (0, 1)}, als Teilmenge von R,
• M = {x + iy : x ∈ [0, 1], y ∈ [−1, 1]}, als Teilmenge von C.
4. Sind folgende Mengen M offen oder abgeschlossen?
• M = {z : − Re(z) + 1 ∈ (−1, 3)}, als Teilmenge von C,
• M = {x : x2 − 3x + 2 > 0}, als Teilmenge von R,
• M = {z : z2 − z − 2 , 0}, als Teilmenge von C,
• M = {x : x2 − 3x + 2 ≤ 0}, als Teilmenge von R.
5. Man bestimme die Menge aller Häufungspunkte der Folge ·
(n + (−1)n (n + i))n∈N ,
in C und der Folge
n
n
1
1
((−1)[ 2 ] (1 − ) − (−1)[ 3 ] (1 − ))n∈N
n
n
in R.
6. Man bestimme die Häufungspunkte der Menge
{n + (−1)n (n + i) : n ∈ N},
als Teilmenge von C versehen mit der euklidischen Metrik, und der Menge
∪ 1 1
1
( , + 2)
n n 3n
n∈N
als Teilmenge von R versehen mit der euklidischen Metrik.
7. Man betrachte R als Teilmenge des metrischen Raumes (C, d2 ) (euklidische Metrik), und zeige, dass R abgeschlossen ist.
Weiters betrachte man R als Teilmenge des metrischen Raumes (C, χ) (chordale
Metrik), und zeige, dass ∞ ein Häufungspunkt von R ist.
8. Man zeige, dass ein reelles Intervall in R genau dann abgeschlossen ist, wenn es
von der Form [a, b], [a, +∞) oder (−∞, a] für a, b ∈ R, a ≤ b ist. Weiters zeige
man die entsprechende Aussage für offene Intervalle.
9. Sei E ⊆ X, wobei ⟨X, d⟩ ein metrischer Raum ist. Man beweise, dass c(c(E)) =
c(E), und dass E ⊆ F ⊆ X ⇒ c(E) ⊆ c(F).
10. Man zeige anhand eines Beispieles in R, dass der Durchschnitt von unendlich
vielen offenen Teilmengen nicht mehr offen sein muss.
Übungen zu Analysis 1, 10. Übung
1. Man zeige: Sind (an ) und (bn ) zwei beschränkte reelle Folgen mit limn→∞ an =
a < 0, dann ist lim inf n→∞ an bn = a lim supn→∞ bn .
Hinweis: Arbeiten Sie mit der Charakterisierung von lim inf als kleinster und
lim sup als größter Häufungspunkt!
2. Sei (xn ) eine beschränkte reelle Folge und η ∈ R. Man zeige, dass für x :=
lim supn→∞ xn genau dann x < η gilt, wenn es ein q < η gibt, sodass xn ≤ q für
alle bis auf endlich viele n ∈ N.
Anmerkung: Damit gilt folgende Formulierung des Quotienten- und des Wurzel∞
P
kriteriums für konvergente Reihen: Sei
ak , eine Reihe mit reellen oder komk=1
plexen Summanden. Dann gilt:
(i) Ist
pk
lim sup |ak | < 1, ,
k→∞
so ist die Reihe
∞
P
k=1
ak absolut konvergent.
(ii) Gilt
lim sup
k→∞
so ist die Reihe
∞
P
k=1
|ak+1 |
< 1, ,
|ak |
ak absolut konvergent.
3. Man zeige, dass die Kugeloberfläche der Kugel S mit Radius 12 und Mittelpunkt
(0, 0, 12 ) im R3 kompakt ist. Weiters zeige man damit, dass C = C ∪ {∞} versehen
mit der chordalen Metrik kompakt ist.
4. Sind folgende Mengen offen, abgeschlossen, beschränkt, kompakt?
T
• n∈N (−1 − n1 , 1 + n1 ) × (− 1n , 2 + 1n ) in (R2 , d2 )
S
• {0} ∪ n∈N [ 1n , 1n + n12 ] in (R, d2 )
T
• n∈N {(x, y) ∈ R2 : y ∈ (− n12 , n12 )} in (R2 , d2 )
5. Sei (X, d) ein vollständig metrischer Raum. Man zeige, dass F ⊆ X genau dann
abgeschlossen ist, wenn der metrische Raum (F, d) (hier ist d die Einschränkung
von der Metrik von X auf die Teilmenge F) vollständig ist.
6. Seien f : (0, +∞) → Y und g : (0, 1) → Y mit einem metrischen Raum (Y, d).
Angenommen es gilt limt→+∞ f (t) = y1 ((0, +∞) wird mit t s :⇔ t ≤ s zur gerichteten Menge) und limt→0+ g(t) = y2 . Mann zeige, dass dann limt→+∞ f (t4 ) =
y1 und limt→0+ g(t2 ) = y2 .
7. Sei X = R, D = Q und f (r) = ar , wobei a > 0 eine feste reelle Zahl ist. Man
zeige, dass limr→0 f (r) = 1.
Hinweis: Nehmen Sie zunächst an, dass a ≥ 1. Zeigen Sie, dass es zu > 0 ein
±1
n ∈ N gibt, sodass |a n − 1| < . Verwenden Sie dann die Monotonie von r 7→ ar .
8. Man bestimme lim x→+∞
k
−ξk
lim x→ξ xx−ξ
√ √
√
x( x + 1 − x) und lim x→0
x2
.
|x|+x2
Weiters zeige man:
= kξk−1 für feste ξ ∈ R und k ∈ N.
(−1)[x]
und lim x→+∞ (1 + 1x )[x] .
x
1
(1 + 1x )[x] ≤ (1 + [x]+1
)[x] .
9. Man berechne lim x→+∞
Hinweis (1 +
1 [x]
[x] )
≤
10. Sei f : (a, b)∪(b, c) → Y, wobei (Y, d) ein metrischer Raum ist. Weisen Sie nach,
dass y = limt→b f (t) genau dann, wenn limt→b− f (t) = y = limt→b+ f (t), daher
beide Limites existieren und stimmen überein.
Übungen zu Analysis 1, 11. Übung
1. Seien f, g : X → Y zwei stetige Funktionen, wobei X, Y zwei metrische Räume
sind. Man zeige, dass, wenn f (t) = g(t) für alle t ∈ D, wobei D dicht in X ist,
sogar f (x) = g(x) für alle x ∈ X.
2. Betrachte die Funktion f : R2 → R, die definiert ist als f (x, y) := max{x, y}.
Hierbei ist R2 versehen mit der euklidischen Metrik. Man zeige: f ist stetig.
Hinweis: Ein Möglichkeit ist, zuerst zu zeigen, dass max(x, y) =
dann Lemma 6.1.6. bis Korollar 6.1.8. zu verwenden.
3. Sei f : R → R definiert als



0 , x irrational
f (x) := 

 1 , x rational, x =
n
m
n
mit ggT{m, n} = 1
x+y+|x−y|
2
und
.
Zeige, dass f in jedem irrationalen Punkt stetig ist.
Hinweis: Zeigen Sie, dass es zu jeder irrationalen Zahl x und vorgegebenen ϵ > 0
ein Intervall (x − δ, x + δ) gibt, sodass wenn qp ∈ (x − δ, x + δ) ∩ Q sicher q1 < ϵ.
4. An welchen Punkten ist die folgende Funktion stetig und welche Art von Unstetigkeit liegt an den Unstetigkeitsstellen vor?



 x2 + 2x + 1 , − 1 ≤ x ≤ 0,
f (x) = 

1 − x
, ¸sonst.
Weiters bestimme man, für welche Wahl
f : R → R stetig ist:



1 + x2




f (x) = 
ax − x3




bx2
von a, b ∈ R die folgende Funktion
, x ≤ 1,
, 1 < x ≤ 2,
, x > 2.
5. Sei (X, d) ein metrischer Raum und x in X. Zeigen Sie mit Hilfe der FolgenCharakterisierung der Stetigkeit (vgl. Proposition 6.1.4, (iv)), dass eine Abbildung f = ( f1 , . . . , f p ) : X → R p genau dann in x stetig ist, wenn alle Komponentenfunktionen f j : X → R, j = 1, . . . , p, im Punkt x stetig sind.
Anmerkung: f j kann man auch als π j ◦ f anschreiben (vgl. 5tes Bsp. von 6.1.2).
6. Seien Rn , Rn × Rn R2n und Rm versehen mit der euklidischen Metrik.
Ist A eine m × n-Matrix, so ist die lineare Abbildung Rn → Rm , x 7→ Ax stetig.
Man zeige auch, dass (Rn ×Rn ) → Rn , (x, y) 7→ x+y und (R×Rn ) → Rn , (λ, y) 7→
λx (skalare Multiplikation) stetig sind.
7. Man betrachte folgende Funktion als Funktion von C \ N nach C (beide mit der
euklidischen Metrik versehen), wobei N die Menge der Nullstellen des Nenners
ist.
z3 + 2z2 − 13z + 10
f (z) = 4
.
z + 5z3 − z2 − 5z
Man zeige, dass f stetig ist, und man gebe die maximale Teilmenge von C an,
auf die sich f stetig fortsetzen läßt.
8. Gegeben sei ein Polynom p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn mit reellen Koeffizienten
und an , 0. Zeigen Sie:
Ist n ungerade, so hat p mindestens eine reelle Nullstelle.
Ist n gerade und a0 an < 0, so hat p mindestens zwei verschiedene reelle Nullstellen.
9. Weisen Sie nach, dass eine Teilmenge I von R genau dann
∀x, y ∈ I, x < y ⇒ [x, y] ⊆ I.
erfüllt, wenn I eine der folgenden Formen hat
∅, (a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (a, +∞), (−∞, a), [a, +∞), (−∞, a], R.
Hinweis: Für die ⇒ Richtung unterscheiden Sie, ob I nach oben (unten) beschränkt ist, und ob in diesem Fall die Menge ihr Supremum (Infimum) enthält
oder nicht.
10. Für n ∈ N, n ≥ 2 seien die Funktionen fn (x) auf (0, 1) definiert wie folgt:



−n3 x + n2 , 0 < x < 1n ,
fn (x) = 
.

1
, 1 ≤ x < 1.
n
n
Skizzieren Sie diese Funktionenfolge! Konvergiert diese Folge von Funktionen
punktweise oder sogar gleichmäßig? Wenn ja, wo gegen? Berechnen Sie weiters,
die Fläche an zwischen der Funktion fn und der x-Achse! Wohin konvergiert die
Folge dieser Flächen?
Übungen zu Analysis 1, 12. Übung
1. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionenfolgen (fn ) die jeweilige
Grenzfunktion f (x) = lim fn (x). Konvergieren die Funktionenfolgen
n→∞
gleichmäßig auf D?
a) fn (x) =
n
,
n2 + x2
D = R b) fn (x) =
nx
,
1 + nx2
D = [0, 1]
∑∞
∑∞
2. Seien f (z) = n=0 an z n , g(z) = n=0 bn z n zwei Potenzreihen mit Konvergenzradius Ra ∈ (0, +∞] bzw. Rb ∈ (0, +∞] mit o.B.d.A. Ra ≤ Rb und
λ ∈ C, N ∈ N ∪ {0}. Man betrachte die Funktionen
f (z) + g(z), f (z) − g(z), λf (z), z n f (z),
∑N
f (z) − n=0 an z n
z N +1
auf {z ∈ C : |z| < Ra }. Man zeige, dass es zu jeder dieser Funktionen
eine Potenzreihe gibt, die die jeweilige Funktion als Grenzfunktion hat.
Wie schauen die Koeffizienten dieser Potenzreihen aus, und was kann man
über die jeweiligen Konvergenzradien sagen?
∑
an−1 n
Weiters
bestimme man die Konvergenzradii von
und
n=1 n z
∑
n
n=0 (n + 1)an+1 z .
∑n
j
3. Man zeige: limn→∞ ( j=0 zj! − (1 + nz )n ) = 0 gleichmäßig auf jeder beschränkten Teilmenge der Form {z : |z| ≤ R} von C.
Man leite daraus exp(z) = limn→∞ (1+ nz )n (gleichmäßig auf {z : |z| ≤ R})
ab.
∑n zj
Hinweis: Zuerst zeige man, dass die Differenz gleich
j=2 j! aj,n mit
∏j−1
l
aj,n = (1 − l=0 (1 − n )) ist, und beachte, dass |aj,n | ≤ 1 und somit
∑n
zj
j=m j! aj,n < ϵ für N (ϵ) ≤ m < n, |z| ≤ R für N (ϵ) hinreichend groß.
Beachte auch, dass aj,n → 0 für n → ∞ und festes j.
4. Man zeige mit Hilfe der Potenzreihendarstellung von exp, dass
limx→+∞ exp(x)
= +∞ für beliebiges n ∈ N ∪ {0}.
xn
Man berechne daraus limx→−∞ xn exp(x), sowie limy→0+ y(ln y)n .
5. Man zeige mit Hilfe der Potenzreihendarstellung von cos und sin, dass
= 12 .
limt→0 sint t = 1, limt→0 costt−1
2
Weiters berechne man limt→0+ t sin 1t .
Hier ist t immer so zu verstehen, dass es in R läuft.
und sinh z := exp(z)−exp(−z)
.
6. Für z ∈ C seien cosh z := exp(z)+exp(−z)
2
2
Man gebe die Potenzreihendarstellung dieser Funktionen und ihren Konvergenzradius an.
Für x
∈
R berechne man limx→+∞ sinh x, limx→−∞ sinh x,
limx→+∞ cosh x, limx→−∞ cosh x, und skizziere die Funktionsgraphen von
cosh |R : R → R, sinh |R : R → R.
Man stelle cosh z mit Hilfe der cos Funktion und sinh z mit Hilfe der sin
Funktion dar (z ∈ C).
Weiters bestimme man die z ∈ C, sodass cosh z = 0 und die z mit sinh z =
0.
7. Man zeige, dass sinh |R : R → R streng monoton wachsend
√ist, dass)
(
sinh |R (R) = R, und dass die Inverse arsinh : R → R mit ln x + x2 + 1
übereinstimmt und stetig ist.
√
(
)
Hinweis: Um arsinh(x) = ln x + x2 + 1 zu zeigen, setzen Sie unbestimmt sinh t = x und lösen sie diese Gleichung.
Bemerkung: cosh |R : R → R hat nicht diese Eigenschaft. Schränkt man
diese Funktion auf [0, +∞) ein, dann gilt aber schon, dass cosh |[0,+∞) :
[0, +∞) → [0, +∞) streng monoton
und
√
( wachsend
) bijektiv ist. Ihre Inverse
ist gegeben durch arcosh(x) := ln x + x2 − 1 .
8. Man beweise aus den aus der Vorlesung bekannten Tatsachen folgende
Tatsachen (z, w ∈ C):
cos(z + kπ) = (−1)k cos z, k ∈ Z,
sin(z + kπ) = (−1)k sin z, k ∈ Z,
cos( π2 − z) = sin z,
sin( π2 − z) = cos z,
sin(−z) = − sin z, cos(−z) = cos z,
cos 2z = (cos z)2 − (sin z)2 , sin 2z = 2 sin z cos z,
9. Man betrachte P := {f ∈ C(R, C) : g(x + 2πk) = g(x), ∀x ∈ R, k ∈ Z},
also alle 2π periodischen, stetigen und komplexwertigen Funktionen.
Weiters sei C(T, C) die Menge aller stetigen und komplexwertigen Funktionen auf T = {z ∈ C : |z| = 1}.
Seien + und die Skalarmultiplikation punktweise auf diesen Räumen definiert. Dann zeige man, dass P und C(T, C) Vektorräume sind.
Weiters zeige man, dass genau dann g ∈ P, wenn g(x) = f (exp(ix)) für
eine Funktion f ∈ C(T, C).
Schließlich weise man nach, dass Φ : C(T, C) → P mit Φ(f ) = g, wobei
g(t) = f (exp(it)), ein Vektorraumisomorphismus, also eine lineare Bijektion, ist.
10. Für n ∈ Z sei gn : R → R definiert durch gn (x) = exp(nix). Man zeige, dass gn ∈ P. Weiters bestimme man fn ∈ C(T, C), sodass gn (x) =
fn (exp(ix)).
Schließlich zeige man, dass die Funktionen fn , n ∈ Z in C(T, C) und die
Funktionen gn , n ∈ Z in P linear unabhängig sind.
Übungen zu Analysis 1, 13. Übung
1. Betrachten Sie sin : R → [−1, 1], und zeigen Sie mit Mitteln der Vorlesung,
dass sin t > 0 für t ∈ (0, π) und sin t < 0 für t ∈ (π, 2π) sowie cos(t) > 0
π
π 3π
für t ∈ (− π2 , π2 ) und cos(t) < 0 für t ∈ (− 3π
2 , − 2 ) ∪ ( 2 , 2 ).
s−t
2. Man rechne nach, dass sin s − sin t = 2 cos( s+t
2 ) sin( 2 ). Weiters verwende man diese Tatsache um zu zeigen, dass sin : [− π2 , π2 ] → [−1, 1]
streng monoton wachsend und bijektiv ist. Man zeichne eine Skizze der
Umkehrfunktion arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ] (Arcussinus). Schließlich berechne man die erste und zweite Ableitung der Umkehrfunktion arcsin :
(−1, 1) → (− π2 , π2 ).
3. Man berechne die Ableitung folgender Funktionen auf R+ mit α ∈ R:
x
xα , xx , (xx )x , xx , ln(x + cos2 (
1
)).
x2
4. Berechnen Sie (n ∈ N)
lim
x→0
1 − 12
e x ,
xn
lim
x→+∞
x ln x
1 − cos nx
, lim
.
x2 − 1 x→0 sin(n2 x2 )
sin x
5. Die Funktion tan x ist für alle x ∈ R \ ( π2 + πZ) definiert als cos
x . Man berechne die erste und die zweite Ableitung dieser Funktion. Weiters bestimme man die Nullstellen der Funktion, und zeige, dass sie streng monoton
wachsend ist. Skizze!
Schließlich zeige man limt→± π2 tan t = ±∞ und damit, dass tan das Intervall (− π2 , π2 ) bijektiv auf R abbildet, und berechne man die Ableitung der
Umkehrfunktion arctan : R → (− π2 , π2 ) (Arcustangens).
6. Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden trigonometrischen Funktionen.
π π
sin(4x), cos(3x), tan2 (5x3 ), ln | cos x| (x ∈ (− , )), sinh(x), cosh(x).
2 2
7. Berechnen Sie für f : R → R, g : R → R, h : R → C mit
f (x) = x3 ex ,
¡
¢
g(x) = exp x999 , h(x) =
1
2 + exp(i4x)
f (1000) (x), g (1000) (0) und h0 (x).
8. Die Exponentialfunktion hat eine in der Theorie der Differentialgleichungen wichtige Eigenschaft: (eax )0 = aeax .
Nun sei f : (a, b) → R eine differenzierbare Funktion, die f 0 (x) = af (x)
erfüllt. Man zeige: f (x) = ceax für eine reelle Konstante c.
Hinweis: Leiten Sie f (x)e−ax ab!
9. Für welchen Punkt (a, b) ∈ R2 im ersten Quadranten (⇔ a, b > 0) auf
der Parabel y = 4 − x2 besitzt das Dreieck, das von der Tangente in
(a, b) an die Parabel und den Koordinatenachsen begrenzt wird, minimalen
Flächeninhalt?
¢(n)
¡
10. Sei Pn (x) := 2−n (n!)−1 (x2 − 1)n
das n-te Legendre-Polynom für
n ≥ 0.
1. Bestimme P0 (x), P1 (x), P2 (x). 2. Bestimme Pn (0). 3. Bestätige
(xf (x))(n) = xf (n) (x) + nf (n−1) (x) für eine n-fach differenzierbare Funk0
tion f . 4. Bestätige Pn+1
(x) = xPn0 (x) + (n + 1)Pn (x).
Mit (2) und (4) lassen sich die Legendrepolynome rekursiv berechnen.