APP Versuch 2 - Der Einstein-de-Haas

Bergische Universität Wuppertal
Fachbereich C
Mathematik und Naturwissenschaften
Fachgruppe Physik
Anfänger Projektpraktikum
APP Versuch 2 - Der Einstein-de-Haas-Effekt
Christina Ballnus, Sergej Berdnikow, Adrian Georgiev,
Norman Gundlach, Sandra Katerndahl, Zheng Ke
Abstract
In diesem Versuch wollen wir mit einem Eisenstab und einem Nickelstab den Einstein-de-Haas Effekt nachweisen und dadurch den
Landé-Faktor bestimmen.
Abgabgedatum: 20. August 2012
Betreuerin : Ruth Hoffmann
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Was Einstein noch nicht wusste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
2 Theorie zum Versuch
2.1 Versuchsidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Der gyromagnetische Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Klassische Berechnung von g . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Quantenmechanische Anschauung von g . . . . . . . . . . . .
2.4 Berechnung des Landé-Faktors mit Hilfe von experimentellen Größen
2.5 Das maximale Drehmoment des Torsionspendels . . . . . . . . . . . .
2.6 Die maximale Magnetisierungsänderung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Die finale Formel für g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13
3 Versuchsaufbau
3.1 Historischer Aufbau . . . . . . . .
3.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . .
3.2.1 Der Ferromagnetische Stab
3.2.2 Das Grundgerüst . . . . . .
3.2.3 Die Feldspule . . . . . . . .
3.2.4 Die Induktionsspule . . . .
3.2.5 Die Helmholtzspulen . . . .
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18
4 Das Erdmagnetfeld
4.1 Versuchsaufbau und Durchführung
4.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Erdmagnetfeld Messung . .
4.2.2 Differenzmessung . . . . . .
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31
31
6 Auswertung
6.1 Feldverlauf von verschiedenen Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Die mechanischen Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Resonanzkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
32
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41
7 Fazit
7.1 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Literatur
48
5 Versuchsdurchführung
5.1 Vorbereitende Maßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Messung der Feldspulen . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Mechanische Eigenschaften des Torsionspendels
5.1.3 Nachweis des Einstein-De Hass Effektes . . . .
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Abbildungsverzeichnis
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Hysteresekurve eines ferromagnetischen Systems: HC gibt die Koerzitivkraft an und BR die Remanenzflussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
[
5
]
Der ursprüngliche Aufbau von 1915
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Der Nickelstab mit verschraubter Spiegelaufhängung . . . . . . . . . . . 15
Torsionspendel ohne Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Feld- und mittig Innen die Induktionsspule . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Schematischer Anschluß der Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Helmholtzspulenpaar in Halterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Gesamtaufbau ohne Helmholtzpaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Unterschied zwischen Erdachse und geomagnetischer Achse . . . . . . . 21
Veranschaulichung des Inklinationswinkels . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Versuchsaufbau zur Bestimmung des Erdmagnetfeldes . . . . . . . . . . 23
Schematischer Versuchsaufbau zur Bestimmung des Erdmagnetfeldes . . 24
Plot der Daten des horizontalen Erdmagnetfeldes . . . . . . . . . . . . . 25
Plot der Daten des vertikalen Erdmagnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . 28
Plot der Daten der Differenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Vergleich der theoretischen Werte mit den Messdaten der Differenzmessung 30
Plot der Messwerte für die schwarze Spule in vertikaler Richtung . . . . 33
Plot der Messwerte für die 4 Leyboldspulen in vertikaler Richtung . . . . 34
Plot der Messwerte für die Keramikspulen in vertikler Richtung . . . . . 36
Plot der Messwerte für die selbstgewickelte Spule in vertikaler Richtung
37
Oszilloskopbild für die Messung der Resonanzfrequenz des Eisen-Torsionspendels 38
Schematische Darstellung zur Bestimmung des Winkels . . . . . . . . . . 39
Plot und Fit der Messwerte für die Dämpfung des Eisen-Torsionspendels
mit den Fitparametern a = (5,0798 ± 0,0152)°, b = (0,01883 ± 0,00017)
1/s und einem reduzierten χ2 = 78, 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Plot und Fit der Messwerte für die Dämpfung des Nickel-Torsionspendels
mit den Fitparametern a = (5,2089 ± 0,0361)°, b = (0,01667 ± 0,00035)
1/s und einem reduzierten χ2 = 369, 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Plot der Resonanzkurve des Eisen-Torsionspendels . . . . . . . . . . . . 42
Plot der Resonanzkurve des Nickel-Torsionspendels . . . . . . . . . . . . 43
Plot der Resonanzkurve des Eisen-Torsionspendels mit abgeschirmten
Erdmagnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Plot der Resonanzkurve des Nickel-Torsionspendels mit abgeschirmten
Erdmagnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
Messung des Magnetfeldes der schwarzen Spule in horizontaler Richtung
Messung des Magnetfeldes der 4 Leybold-Spulen in horizontaler Richtung
Messung des Magnetfeldes der 4 Leybold-Spulen in horizontaler Richtung
Messung des Magnetfeldes der selbstgewickelten Spule in horizontaler
Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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35
36
37
5
Lande-Faktor für Nickel und Eisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1 Einleitung
Wir wollen das Anfänger-Projekt-Praktikum mit dem Nachweis des Einstein - De Haas
Effektes abschließen. Nach einem etwas missglückten Start im Wasser, bei dem wir gehörig nass gemacht wurden, ziehen wir uns auf das bekannte, trockenere Gebiet der
Physik zurück und, des Tageslichts überdrüssig, in einen Herz erwärmend verdunkelten Raum. Bei dem angesprochenen Effekt handelt es sich um einen (makroskopischen)
Nachweis der (mikroskopischen) Ursachen für den Ferromagnetismus. Der Ausgangsgedanke ist, dass ein stromdurchflossener Leiter von einem Magnetfeld umgeben ist.
Dazu im Widerspruch stehen allerdings die ferromagnetischen Stoffe, die auch ohne
offensichtlichen (makroskopisch messbaren) Stromfluss ein magnetisches Feld besitzen
können. Betrachtet man das Problem jedoch aus mikroskopischer Sicht und stellt sich
das Atom als einen von Elektronen umkreisten Kern vor, würde jedes Atom ein Magnetfeld besitzen. In dieser Sichtweise stellt jedes Atom eines ferromagnetischen Stoffes
einen Permanentmagneten dar. Zusätzlich zum erzeugten Magnetfeld besitzt jedes Atom
dann aber auch einen Drehimpuls, da das Elektron um den Kern kreist. Daraus folgt unweigerlich, dass eine Ausrichtung des atomaren Magnetfeldes der Drehimpulserhaltung
unterliegt. Aus diesen Vorüberlegungen heraus war für Einstein und De Haas klar, dass
ein von außen auf ein Eisenstab angelegtes Magnetfeld, bei richtiger Justierung, zu einer
Rotation führen muss. Auch die Umkehrung wäre richtig gewesen, wie Barnett gezeigt
hat. (siehe Barnett) Jedoch erhielten sie für das gyromagnetische Verhältnis, dem Quotienten aus magnetischem Moment und Gesamtdrehimpuls, unterschiedliche Ergebnisse,
wodurch anfänglich keine einheitliche Erklärung gefunden wurde. Bei Wiederholungen
von Einstein und De Haas konnten sie durch Optimierungen zwar eine Annäherung an
Barnetts Ergebnis erzielen, vollständig erklären lassen sich die Ergebnisse jedoch erst
mit Einführung der Quantenelektrodynamik.
1.1 Was Einstein noch nicht wusste
Obwohl sich der Effekt näherungsweise mit der klassischen Ansicht in der Physik erklären lässt, beruht er doch auf quantenmechanischen Phänomenen. Wie sich, zum Leid
von Einstein, herausgestellt hat, ist der Effekt sogar zu ungefähr 95 % Ursache der Eigendrehmomente der Elektronen. Für eine einfache Betrachtung des Phänomens ist die
klassische Ansicht aber hinreichend, sodass wir uns nur der Ergebnisse der Elektrodynamik bedienen und nicht ihre Richtigkeit anzweifeln.
2 Theorie zum Versuch
In diesem Abschnitt wollen wir auf die notwendigen theoretischen Grundlagen für den
Versuch nach A. Einstein und W. J. de Haas eingehen und diese erläutern. Um einen
Überblick über die theoretischen Themen zu bekommen die wir notwendigerweise klären
müssen, wollen wir die grundsätzliche Idee des Experiments angeben.
5
2.1 Versuchsidee
Magnetfelder werden vor allem durch bewegte Elektronen erzeugt, wie z.B. durch einen
stromdurchflossenen elektrischen Leiter. Bei ferromagnetischen Materialien hingegen
hat man aber keine Ströme was darauf schließen lässt, dass die Ursache für das Magnetfeld dieser Materialien im atomaren Bereich liegen muss. A. Einstein und W. J. de Haas
vermuteten in ihrem Experiment 1915, dass sich die Elektronen auf Kreisbahnen bewegen, so wie es das Bohrsche Atommodell beschreibt. Dadurch besitzen die Elektronen
~ und daraus resultierend auch ein
die um den Atomkern kreisen einen Bahndrehimpuls L
magnetisches Moment µ
~ , welches sich durch anlegen eines äußeren Magnetfeldes ausrichtet. Dies führt dazu, dass sich auch die Drehimpulse der Elektronen gleichrichten.
Da vorher alle Elektronen einen ungeordneten Drehimpuls hatten und dieser sich nun
gleichgerichtet hat, muss aufgrund der Impulserhaltung der Zylinder eine makroskopische Drehung vollführen und zwar in die entgegengesetzte Richtung. Ziel des Versuchs
war es nun, das Verhältnis zwischen magnetischem Moment und Drehimpuls zu bestimmen. In diesem Verhältnis steckt, neben vielen Konstanten, der Landé-Faktor (g-Faktor,
gyromagnetischer-Faktor), der für ein geladenes Teilchen im Magnetfeld angibt, um wie
viel stärker sich der Spin auf seine Energie auswirkt als ein gleich großer Bahndrehimpuls. In dem originalen Experiment konnte ein g-Faktor von ca. 1 verifiziert werden,
woraufhin A. Einstein und W. J. de Haas davon ausgingen, dass der einzige Beitrag der
Bahndrehimpuls der Elektronen ist. Spätere Experimente konnten hingegen einen Wert
von ca. 2 bestätigen, was darauf schließen lässt, dass die Eigendrehimpuls der Elektronen
(Spin) einen wesentlichen Beitrag zum ferromagnetischen Effekt liefert. Auch wir wollen
in unserem Versuch das gyromagnetische Verhältnis angeben. Da es uns allerdings nicht
möglich ist direkt das Verhältnis zwischen magnetischem Moment und Drehimpuls anzugeben, müssen wir uns überlegen mit welchen experimentell bestimmbaren Größen
wir diese beiden quantenmechanischen Größen ausdrücken können.
2.2 Ferromagnetismus
Da wir in diesem Versuch mit ferromagnetischen Materialien arbeiten werden (Eisen und
Nickel), eine ausführliche Beschreibung des Themas Magnetismus jedoch den Rahmen
des Protokolls sprengen würde, wollen wir kurz erklären was Ferromagnetismus eigentlich ist und wie dieser zu Stande kommt. Für eine ausführliche Erklärung verweisen wir
auf die sehr gut beschriebende Wikipediaseite [7]. Per Definition ist ein Festkörper ferromagnetisch, wenn die elementarenmagnetischen Momente, deren Träger die Elektronenspins sind, parallele Ordnungen aufweisen. Diese permanenten magnetischen Dipole
beeinflussen sich aufgrund der Coulomb-Wechselwirkung gegenseitig, was dazu führt,
dass auch ohne äußeres Magnetfeld die parallele Ordnung bestehen bleibt. Bereiche die
eine gleiche Magnetisierung aufweisen werden Weiß’sche Bezirke genannt, treten in Größen von 0, 01µm bis 1µm auf und sind im unmagnetisierten Zustand der Substanz nicht
einheitlich orientiert. Durch Anlegen eines äußeren Magnetfeldes richten sich die Bezirke
nach und nach parallel zu diesem aus, was dazu führt, dass das Material magnetisiert
wird und so das angelegte Magnetfeld verstärkt. Wird das äußere Feld abgeschaltet, so
bleibt die Ausrichtung zunächst erhalten(Hysterese), was zu einer sog. Restmagnetisierung (Remanenz) führt. Um diese zu kompensieren, muss ein entgegengesetztes Feld
6
angelegt werden. Die Feldstärke, die dann nötig ist um die Magnetisierung komplett
aufzuheben, heißt Koerzitivkraft. Sind innerhalb des Materials alle Bezirke ausgerichtet, so geht es in eine Sättigung über, die von Material zu Material unterschiedlich ist.
In der folgenden Abbildung 1 ist eine typische Hysteresekurve eines ferromagnetischen
Systems gezeigt.
Abbildung 1: Hysteresekurve eines ferromagnetischen Systems: HC gibt die Koerzitivkraft an und
BR die Remanenzflussdichte
Die magnetische Ordnung geht bei hohen Temperaturen verloren, wodurch Ferromagnete nur noch paramagnetisch werden. Die Temperatur wo dies geschieht wird CurieTemperatur TC genannt.
2.3 Der gyromagnetische Faktor
Wie bereits oben in der Versuchsidee beschrieben, wollen wir das Verhältnis zwischen
~ bestimmen. Dieses Verhältnis wird auch
magnetischen Moment µ
~ und Drehimpuls L
gyromagnetisches Verhältnis genannt und lässt sich wie folgt schreiben[8] :
γ=
µ
1
e
= ·g·
L
2
me
(1)
Da die zu messenden Größen senkrecht zueinander stehen, können wir mit ihrem
Betrag rechnen. Hierbei ist e die Elementarladung in As, me die Elektronenmasse in kg
und g der Landé-Faktor den wir im folgenden messen wollen. Es ergibt sich somit für
den Landé-Faktor zunächst folgende Gleichung 2:
g=
2 · me µ
·
e
L
7
(2)
2.3.1 Klassische Berechnung von g
Nun wollen wir einmal klassisch den g-Faktor bestimmen um die Rechnung von A.
Einstein und W. J. de Haas zu verifizieren, d.h. wir werden zeigen, dass g = 1 gilt.
Wir wollen also folgendes Verhältnis bestimmen
γ=
magnetisches Bahnmoment
Bahndrehimpuls
(3)
Dazu machen wir die gleiche Überlegung wie A. Einstein und W. J. de Haas 1915:
Elektronen bewegen sich auf fest definierten Kreisbahnen um den Atomkern, d.h. ihre
ω
resultierende Stromstärke um den Kern ergibt sich zu I = dQ
dt = e · 2π und die von
der Kreisbahn eingeschlossene Fläche ergibt sich zu A = πr2 . Hierbei beschreibt r den
Radius der Kreisban in m, ω die Kreisfrequenz in s−1 und e die Elementarladung in As.
Damit lässt sich nun das magnetische Bahnmoment berechnen
µklassisch = A · I = πr2 · e ·
1
ω
= · e · r2 · ω
2π
2
(4)
Da wir wie bereits oben erwähnt mit den skalaren Größen rechnen können, da alle
Größen senkrecht zueinander stehen, ergibt sich unmittelbar für den Bahndrehimpuls
Lklassisch = me · ω · r2
(5)
und damit für das gyromagnetische Verhältnis nach Gleichung 3 bzw. Gleichung 1:
γ=
1
· e · r2 · ω
µklassisch
e
= 2
=
2
Lklassisch
me · ω · r
2me
(6)
Nach der klassischen Herleitung beträgt der g-Faktor also den Wert 1, so wie es auch
A. Einstein und W. J. de Haas berechnet und erwartet hatten (sie erhielten in ihren
Messungen Werte zwischen 1,02 und 1,45 für g).
2.3.2 Quantenmechanische Anschauung von g
Heutzutage wissen wir, dass sich Elektronen nicht auf fest definierten Kreisbahnen bewegen und das der Elektronenspin den größeren Teil des Ferromagnetismus ausmacht. Die
quantenmechanische Berechnung von g verlangt nach der Dirac-Gleichung und sprengt
somit den Rahmen des Protokolls. Wir nehmen daher den Literaturwert[9] für den gFaktor des Elektrons unter Betrachtung des reinen Spins gs = 2.
Neben der einzel entkoppelten Betrachtung wo wir Bahndrehimpuls und Spin des
Elektrons einzeln betrachtet haben ist es sinnvoll, sich beide Bewegungen gekoppelt
anzuschauen, da sie beide gleichzeitig ausgeführt werden. Hier benötigen wir Hilfsmittel
aus der Quantenchromodynamik, weswegen wir auch hier der Vollständigkeit halber nur
den Literaturwert[6] angeben wollen:
8
gj = 1 +
j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
≈ 2.002319
2j(j + 1)
(7)
Hierbei steht j für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl, s für die Spinquantenzahl und
l für die Drehimpulsquantenzahl.
2.4 Berechnung des Landé-Faktors mit Hilfe von experimentellen Größen
~ direkt bestimmen
Da wir weder das magnetische Moment µ
~ noch den Bahndrehimpuls L
können, wollen wir diese durch Größen ausdrücken, die wir im Experiment bestimmen
können. Zunächst wollen wir das magnetische Moment µ
~ eines Elektrons umschreiben,
~ des Stabes mit dieser verknüpfen. Dazu stellen wir
indem wir die Magnetisierung M
folgende Überlegung an: Teilen wir das Volumen VStab durch die Anzahl der im Stab ausgerichteten Elektronen N und multiplizieren diesen Quotienten mit der Magnetisierung
~ , so erhalten wir das magnetische Moment eines Elektrons:
M
µ
~=
~ · VStab
M
N
(8)
~ = d~µ [10] . Nun müssen wir
Dabei ist Magnetisierung eines Materials definiert als M
dV
~ durch für uns meßbare Größen ausdrücken, was
lediglich noch den Bahndrehimpuls L
mit der gleichen Überlegung wie für die Magnetisierung funktioniert: Der Gesamtbahn~ setzt sich zusammen aus den Bahndrehimpulsen der N
drehimpuls des Stabes LStab
~ = N · L.
~ Nun können wir indem wir
ausgerichteten Elektronen. Damit ergibt sich LStab
die Beträge der gegebenen Größen verwenden, den g-Faktor wie folgt ausrechnen:
g=
2 · me µ
2 · me
· =
e
L
e
M ·VStab
N
LStab
N
=
2 · me M · VStab
e
LStab
(9)
Nun gilt es lediglich zu beachten, dass die Magnetisierung und der Drehimpuls Funktionen der Zeit sind, d.h. M = M (t) und LStab = LStab (t) gilt. Deswegen werden wir
nur die zeitlichen Änderungen dieser Größen betrachten, womit sich
g=
2 · me
Ṁmax
· VStab ·
e
Dmax
(10)
(t)
ergibt. Dabei gilt Dmax = L̇Stab = dLStab
. Damit haben wir die Berechnung des
dt
g-Faktors auf die im Experiment bestimmbaren Größen zurückgeführt. Zur expliziten
Berechnung des g-Faktors betrachten wir die zwei Größen zu dem Zeitpunkt in dem
die jeweiligen Amplituden maximal sind, d.h. Dmax und Ṁmax . In den folgenden Abschnitten wollen wir explizit darauf eingehen, wie man diese beide Größen bestimmen
kann.
9
2.5 Das maximale Drehmoment des Torsionspendels
Unser Ausgangspunkt ist die Differentialgleichung einer erzwungenen, harmonischen
Torsionsschwingung mit schwacher Dämpfung:
α̈ + 2β α̇ + ω02 α =
0
Dmax
· cos(ωt)
θ
(11)
Hierbei beschreibt Dmax die maximale, reelle Amplitude des Torsionspendels, θ das
Trägheitsmoment des Systems, β die Dämpfungskonstante des Systems, ω die Erregerfrequenz und ω0 die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung. Die allgemeine
Lösung einer inhomogenen, linearen DGL 2. Ordnung lautet
√ 2 2
√ 2 2
α(t) = C1 e(β+ β −ω0 )t + C2 e(β− β −ω0 )t
(12)
Die spezielle Lösung ist der Realteil der Gleichung 11. Wir überlegen uns folgendens:
Wird die Spule eingeschaltet und mit einem Wechselstrom einer bestimmten Frequenz
betrieben, so schwingt das Torsionspendel, bestehend aus ferromagnetischen Stab und
Torsionsfaden, nach einer Einschwingzeit in dieser Frequenz. Daher bietet es sich an,
folgenden Ansatz zu verwenden
(13)
α(ω, t) = α0 eiωt
wobei α0 die komplexe Amplitude beschreibt und ω wie oben die Anregungsfrequenz.
Leiten wir den Ansatz entsprechend ab und setzen alles in die Gleichung 11 ein, so
erhalten wir schließlich folgende Gleichung
0
Dmax
eiωt
θ
(14)
0
Dmax
0
⇒ α0 θ(ω 2 − ω02 + 2βiω) = Dmax
θ
(15)
−α0 ω 2 eiωt + 2βα0 iωeiωt + ω02 α0 eiωt =
⇒ −α0 ω 2 + 2βα0 iω + ω02 α0 =
0
Für uns ist der Betrag von Dmax
interessant, da dieser das maximale Drehmoment
angibt
Dmax
0 q
:= Dmax = (α0 θ)2 ((ω 2 − ω 2 )2 + (2βω)2 )
0
(16)
Damit können wir schließlich die maximale Amplitude α0 angeben
Dmax
α0 = p 2
θ (ω0 − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2
(17)
Mit Hilfer dieser, können wir nun die Resonanzfrequenz ωr angeben, indem wir folgende Ableitung bilden
10
dα0
:= 0
dω
(18)
Auf diese Art und Weise stellen wir sicher, dass die Amplitude maximal wird und
somit die Schwingung in Resonanz ist. Wir erhalten demnach die Resonanzfrequenz ωr
und die Resonanzamplitude αr
ωr =
q
ω02 − 2β 2
(19)
Da es sich bei unserem Torsionspendel um eines mit schwacher Dämpfung handelt, gilt
ω02 >> 2β und wir erhalten somit ωr ≈ ω0 . Setzen wir dieses Ergebnis in Gleichung 16
ein, so erhalten wir schließlich die Resonanzamplitude zu
αr =
Dmax
2Θβωr
(20)
und damit für das maximale Drehmoment
Dmax = 2θβωr αr
(21)
wobei der Vollständigkeit halber erwähnt werden sollte, dass sich das Trägheitsmoment θ unter Verwendung von Zylinderkoordinaten wie folgt ergibt
Z
θ=ρ
2
Z lZ
2π
Z
r dV = ρ
V
0
0
0
R
1
1
r3 drdφdh = ρ · R4 · 2π · l = · m · R2
4
2
(22)
2.6 Die maximale Magnetisierungsänderung
Um die Magnetisierung zu bestimmen starten wir zunächst bei der magnetischen Induktion B, die wie folgt definiert ist
B := µ · H
(23)
Dabei beschreibt µ die Permeabilität, die wiederum wie folgt berechnet werden kann
Vs
µ = µ0 · µr , mit µ0 = 1, 2 · 10−6 Am
magnetische Feldkonstante und µr die relative
Permeabilität eines Stoffes, und H das magnetische Feld. Führen wir nun die Magnetisierung ein, die als M := µ0 · H definiert ist, so folgt
B = µ0 (H + M )
und damit
11
(24)
M=
B
−H
µ0
(25)
wodurch wir nun die Magnetisierung berechnen können, wenn wir die magnetische
Induktion B und das Magnetfeld H kennen.
Das Magnetfeld einer langen zylindrischen Spule ist uns wohl bekannt
I ·N
l
H=
(26)
mit der Stromstärke I, der Windungszahl N und der Länge l der Spule. Dieses lässt
sich demnach direkt berechnen. Für die magnetische Induktion müssen wir eine Induktionsspule einsetzen um die durch die Drehung hervorgerufene Induktionsspannung zu
messen, aber auch hier können wir einige theoretische Überlegungnen anstellen und uns
damit auf ein paar wenige Größen beschränken. Mit Hilfe des Induktionsgesetzes lässt
sich die zu messende Induktionspannung Uind wie folgt berechnen
Uind = −Nind
d
Φ
dt
(27)
mit der Windungszahl Nind der Induktionsspule und dem magnetischen Fluss Φ.
Aus diesem ergibt sich direkt, dass durch ein zeitlich veränderliches Magnetfeld eine
Spannung induziert wird. Den magnetischen Fluss Φ können wir für eine beliebige Fläche
wie folgt bestimmen
Z
Φ=
(28)
Bdf
A
Mit der Annahme, dass B innerhalb der Spule homogen ist, lässt sich die Induktionsspannug wie folgt umschreiben
Uind = −Nind · A
d
B
dt
(29)
Das Magnetfeld innerhalb des ferromagnetischen Stabes ist sehr viel stärker als außerhalb (Nickel und Eisen zwischen 3·102 −3·105 vgl. [11]) und daher können wir für die
Fläche A näherungsweise die Querschnittsfläche des ferromagnetischen Stabes nehmen
und die Fläche außerhalb vernachlässigen. Damit ergibt sich für die Magnetisierung
B
−H
µ0
B
I ·N
⇒M =
−
µ0
l
M=
12
(30)
(31)
Woraus wir direkt die Magnetisierungsänderung bestimmen können indem wir einfach
die zeitliche Ableitung bilden
d
1 dB N dI
M=
−
dt
µ0 dt
l dt
N dI
d
Uind
−
M=
dt
−Nind · A · µ0
l dt
(32)
(33)
Da wie bereits erwähnt fast ausschließlich das Magnetfeld des Stabes zur Magnetisierungsänderung beiträgt, können wir den rechten Teil der Formel vernachlässigen und
erhalten schließlich für die Magnetisierungsänderung
Ṁmax =
|Uind |
Nind · A · µ0
(34)
2.7 Die finale Formel für g
Da wir nun in den beiden vorherigen Kapiteln das maximale Drehmoment und die
maximale Magnetisierungsänderung hergeleitet haben können wir alle Größen in Gleichung 10 einsetzen und erhalten schließlich
|Uind |
2 · me
Ṁmax
2 · me
me · V · |Uind |
N ·A·µ0
g=
· VStab ·
· VStab · ind
=
=
e
Dmax
e
2θβωr αr
e · Nind · A · µ0 · θ · β · αr · ωr
(35)
Hier können wir noch zusätzlich das Volumen V = R2 πL, das Trägheitsmoment aus
Gleichung 22 und die Fläche A = πR2 einsetzen, wobei R den Radius, L die Länge und
m die Masse des Stabes bezeichnet.
2me · R2 · π · L · |Uind |
e · Nind · R2 · π · m · µ0 · R2 · β · αr · ωr
g=
(36)
In diesem Ausdruck lassen sich schließlich noch einige Sachen kürzen und wir erhalten eine finale Formel für g, die nur von Parametern abhängt, die wir alle aus dem
Experiment selbst bestimmen können.
g=
2me · L · |Uind |
e · Nind · m · µ0 · R2 · β · αr · ωr
(37)
3 Versuchsaufbau
3.1 Historischer Aufbau
Der ursprüngliche Aufbau von Einstein und De Haas war recht simpel gehalten, daher
wollen wir uns daran orientieren. Zusätzlich haben wir die Möglichkeit auf die Verbesserungsvorschläge von Einstein und de Haas einzugehen. Wir wollen nur einige wenige
13
vorstellen, für wissbegierige Leser finden sich dazu weitere Informationen in der originalen Versuchsanleitung[1] . Einstein und De Haas haben für ihren Aufbau einen 1, 7mm
dicken und 7cm langen Eisenstab entlang seiner Längsachse mit einem 8 cm langen
und 0, 3mm dicken Glasfaden zentriert und mittig in zwei in Reihe geschaltete Spulen
mit 1cm Abstand gehängt. Die Spulen wurden mit Gleichstrom von etwa 10A mittels
der Entladung eines Kondensators betrieben und stellten ein Magnetfeld von 0, 5mT
bereit. Die Auslenkung konnte anhand eines am Eisenstab fixierten Spiegels zwischen
den Spulen auf einem 45cm entfernten Schirm gemessen werden.
Abbildung 2: Der ursprüngliche Aufbau von 1915 [5]
Um die Magnetisierung zu bestimmen, verwendeten sie ein präzisions Galvanometer
und stellten die induzierte Spannung fest. Abweichende Ergebnisse des Verhältnisses
von Magnetisierung zu Drehimpuls von Barnett[5] haben jedoch gezeigt, dass die Homogenität und die Stärke des von der Feldspule erzeugten Magnetfeldes Einfluss auf die
Genauigkeit der Messung haben. Aus diesem Grund wiederholten Einstein und De Haas
einige Jahre später den Versuch mit einer 62cm langen Spule mit ca. 100 Windungen
pro cm, die ein Magnetfeld von etwa 26mT bereit stellte, und konnten ihr Ergebnis dem
von Barnett angleichen. Desweiteren hat Einstein damals schon zu einem Betrieb der
Feldspule mit Wechselstrom geraten, um den Effekt durch die Resonanzeigenschaften
des Pendels zu verstärken. Wir behalten die nützlichen Ratschläge im Hinterkopf.
14
3.2 Versuchsaufbau
3.2.1 Der Ferromagnetische Stab
Als ferromagnetische Materialien stehen uns Eisen und Nickel in Stabform zur Verfügung. Das Gewicht des Eisenstabs beträgt (198, 1 ± 0, 1)g. Er hat einen Außendurchmesser von (25, 0 ± 0, 1)mm auf einer Länge von (52, 0 ± 0, 1)mm. Das Gewicht des
Nickelstabs beträgt (54, 1 ± 0, 1)g. Er hat einen Außendurchmesser von (10, 0 ± 0, 1)mm
auf einer Länger von (78, 6 ± 0, 1)mm.
Abbildung 3: Der Nickelstab mit verschraubter Spiegelaufhängung
3.2.2 Das Grundgerüst
Wir verwenden für eine zentrierte Aufhängung des ferromagnetischen Stabes den Rahmen des Torsionspendels aus dem Anfänger-Praktikum. Dabei handelt es sich um eine
Stahlkonstruktion aus zwei Säulen mit einem Abstand von (22, 0 ± 0, 1)cm und einer
Höhe von (60, 0 ± 0, 1)cm, an denen sich fest positionierbar, über je ein T-Stück, Spannpatronen zur Aufnahme von Draht oder Faden befinden. Um eine schwache Dämpfung
zu erhalten, spannen wir den ferromagnetischen Stab zwischen zwei (13, 6 ± 0, 1)cm und
(22, 9 ± 0, 1)cm lange Stahldrähte von (0, 5 ± 0, 1)mm Durchmesser. Die Zentrierung
des Stabes erreichen wir durch mittige M3-Gewinde auf den Planseiten, in denen eine
längs durchbohrte Schraube mit festgelötetem Draht verschraubt wird. Zur Sicherung
kontert eine Mutter. Um den Aufbau etwas einfacher als den Ursprünglichen zu gestalten, verwenden wir nur eine Feldspule. Zur Ermittelung der Auslenkung installieren wir
eine Laservorrichtung, die auf einen starr mit dem Stab verbundenen Spiegel gerichtet
ist. Dafür ist der Spiegel an einen (15, 0 ± 0, 1)mm dicken und (7, 5 ± 0, 1)cm hohen
15
zylinderförmigen Aluminiumstab geklebt worden, durch den der Draht in einem von
(7, 0 ± 0, 1)mm auf (4, 0 ± 0, 1)mm verjüngten Durchgang geführt wird. Die gesamte
Aufhängung samt Spiegel besitzt ein Gewicht von (32, 5 ± 0, 1)g und ist mit dem Eisenstab verschraubt. Der Spiegel schaut im fertigen Aufbau aus der Feldspule heraus, da
sonst, bei direkter Anbringung am Draht, die Verdrillung des Drahtes selber die Messung verfälschen würde. Dies ermöglicht einerseits die Messung der Resonanzfrequenz
anhand der Durchläufe durch eine Photodiode als auch die Messung der Auslenkung auf
einem mit Millimeterpapier ausgekleideten Schirm. Der Abstand muss allerdings vor jedem Durchgang neu gemessen werden, da unser Aufbau wegen der Justierarbeiten nicht
fest positionierbar ist und der Schirm durch die Wand vertreten wird. Der maximale
Abstand ist durch das plötzliches Ende des Tisches auf 70cm begrenzt.
Abbildung 4: Torsionspendel ohne Spulen
3.2.3 Die Feldspule
Als Feldspulen standen uns folgende vier zur Auswahl. Als erstes eine handelsübliche
Leybold-Laborspule in einem Kunststoffgehäuse mit 500 Windungen, (6, 3 ± 0, 1)cm
lang. Sie ist für eine Anwendung mit Eisenkern ausgestattet, sodass sie einen quadratischen Durchgang von (4, 1 ± 0, 1)cm besitzt. Die zweite Spule wurde aus einem Schleifwiderstand ausgebaut. Sie besitzt 170 Windungen auf einer Länge von (34, 0 ± 0, 1)cm.
Sie ist auf ein quadratisches Keramikrohr mit Durchmesser (5, 5±0, 1)cm gewickelt. Die
dritte Spule war ein Fundstück aus den Tiefen der Kellerlaboratorien, daher ist die An-
16
zahl der Windungen unbekannt. Jedoch sorgt ihr Gewicht von mehr als 10kg (Vergleich
mit einem Kasten Wasser) bei einer Länge von (16, 0 ± 0, 1)cm und einem Außendurchmesser von (17, 5 ± 0, 1)cm für großes Aufsehen und lässt vermuten, dass sie ein vielfach
stärkeres Magnetfeld erzeugt als die bisherigen. Als letztes haben wir den Versuch unternommen, eine für unsere Anwendungen optimale Spule selbst zu wickeln. Da wir von
Einstein wissen, dass die Homogenität und die Stärke von Bedeutung ist, liegt unsere
Bestrebung darin eine möglichst lange, dünne Spule mit möglichst vielen Windungen zu
wickeln. Die Unterlage bildet ein Küchenpapier-Aufwickelrohr aus Pappe. Der Durchmesser und die Länge sind dadurch auf ∅(45, 0 ± 0, 1)mm × (23, 5 ± 0, 1)cm beschränkt.
Gewickelt wurden mit einem (0, 75 ± 0, 05)mm dicken Draht 250 Windungen. Für den
Betrieb der Feldspule hatten wir leider keine so große Auswahl. Das größte Problem
stellte dabei der benötigte Strom dar. Es stand ein Netzteil mit einem Strom über 10A
zur Verfügung. Zu unserem Nachteil liefert er nur Gleichstrom. Um das Problem zu
umgehen, haben wir einen alten 2000W Audioverstärker mit dem Netzteil betrieben
und mit ihm ein einfaches Sinussignal aus dem Funktionsgenerator verstärkt. Dadurch
erhalten wir eine Wechselspannungsquelle, die ohne Probleme 10A und mehr bereitstellt.
Abbildung 5: Feld- und mittig Innen die Induktionsspule
3.2.4 Die Induktionsspule
Wie sich noch heraus kristallisieren wird, besitzt die selbstgewickelte Spule die geeignetsten Eigenschaften. Von diesem Erfolg euphorisiert, stellen wir uns ebenfalls der
Herausforderung die Induktionsspule selbst zu wickeln. Da ihr Zweck die Messung der
Induktionsspannung ist, sind ihre Ausmaße ohne größere Bedeutung und es reicht ein
vom Durchmesser verkleinertes Endlos-Servietten-Aufwickelrohr aus Pappe als Grund-
17
lage. Daraus resultiert ein Durchmesser von (39, 5 ± 0, 1)mm auf einer Länge von
(5, 5 ± 0, 1)cm. Die Anzahl der Windungen beträgt 62. Um das Signal auf dem Oszilloskop zu verdeutlichen und von etwaigen Störeinflüssen zu befreien, ist noch ein
Tiefpassfilter vor das Oszilloskop geschaltet.
Abbildung 6: Schematischer Anschluß der Spulen
3.2.5 Die Helmholtzspulen
Bei jeder Messung, die ein äußeres Magnetfeld erfordert, muss ebenso das Erdmagnetfeld
betrachtet werden, da es stets eine zusätzliche Komponente beiträgt, so klein sie auch
sein mag. Intuitiv betrachtet scheint der Einfluss vernachlässigbar, jedoch wollen wir
uns für den Fall rüsten. Dabei nutzen wir die Eigenschaft eines Helmholtzspulenpaars
aus, dass es entlang der Spulenachse ein weitestgehend homogenes Magnetfeld besitzt,
welches genügend Platz für den Versuchsaufbau liefert (vgl. [2]). Dazu haben wir ein
Holzbrett derart präpariert, dass das Helmholtzspulenpaar parallel im Abstand seines
Innenradius ausgerichtet werden kann. Der Innenradius beträgt (15, 0 ± 0, 1)cm. Zur
Ausrichtung haben wir zusätzlich zu den gesonderten Messungen des Erdmagnetfeldes
noch einen Kompass besorgt. Der Kompass ist aus dem Wissenschaftsmagazin „Mickey
Mouse“.
18
Abbildung 7: Helmholtzspulenpaar in Halterung
Für die eigentlichen Messungen des Einstein-De Haas Effektes ergibt sich daher folgender Aufbau, in dem das Torsionspendel das Grundgesrüst bildet, mit dem nacheinander
einmal der Eisenstab und schließlich der Nickelstab zentriert wird. Dazu müssen zuerst
sowohl die Feld- als auch die Induktionsspule platziert werden. Die Feldspule wird dabei über einen zusätzlichen Arm am Torsionspendel befestigt. Die Induktionsspule kann
aufgrund ihres geringen Gewichtes und der passgenauen Anfertigung in die Feldspule
geklemmt werden. Duch die Induktionsspule hindurch zentrieren wir den ferromagnetischen Stab und richten hinterher die Spulen parallel zum Stab aus, indem wir den
Abstand vom Stab zu den Spulen an beiden Enden angleichen. Die Position der Spule
wird durch die Aufhängung des Spiegels festgelegt, da der Laser, der ebenfalls am Torsionspendel befestigt wird, den Spiegel erreichen muss. Über die Spannhülsen des Drahtes
lässt sich der Laserstrahl genau senkrecht zur Wand ausrichten. Dort befindet sich auf
dieser Höhe Millimeterpapier für die Messung der Auslenkung. Links vom Torsionspendel liegen das Netzteil, der Funktionsgenarator und der Audioverstärker. Rechts sind
die Filterschaltung und das Oszilloskop zu sehen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist
das Helmholtzpaar entfernt worden, jedoch lässt es sich dank seiner Halterung schnell
wieder einfügen.
19
Abbildung 8: Gesamtaufbau ohne Helmholtzpaar
4 Das Erdmagnetfeld
Da in der original Publikation von Einstein und de-Haas die Rede davon ist, dass das
Erdmagnetfeld das Experiment beeinflussen könnte, wollen wir im Vorfeld dieses Vermessen um herauszufinden, ob wir zur gleichen Schlussfolgerung kommen werden (vgl.
[1]). Das Erdmagnetfeld ist ein Magnetfeld, das von dem sogenannten Geodynamo erzeugt wird. Der Hauptanteil des Feldes kann als Feld eines magnetischen Dipols beschrieben werden. Die magnetischen Feldlinien fliessen auf der Nordhalbkugel nach unten, auf
der Südhalbkugel nach oben. Hier sind die geomagnetischen Pole der Erde nicht die glei-
20
chen wie die geographischen Pole der Erde. Zurzeit ist der Winkel zwischen der Achse
des geomagnetischen Dipolfeldes und der Erdachse ca. 11, 5◦ .
Abbildung 9: Unterschied zwischen Erdachse und geomagnetischer Achse
Wenn man den Kompass, um den Verlauf der Feldlinien zu orientieren, benutzt, gibt
es ein Abweichung oder auch Missweisung zwischen der zu bestimmenden Nordrichtung
und der realen Nordrichtung, die man ’Deklinationswinkel’ nennt. Die Deklination ist
nicht konstant, weil die magnetischen Pole wandern. Aus dem Feldlinienbild des Dipolfeldes kann man auch ersehen, dass die magnetischen Feldlinien nicht parallel zur
Erdoberfläche verlaufen. Den Winkel zwischen der Horizontalen der Erdoberfläche und
der Feldlinie heisst Inklinationswinkel.
21
Abbildung 10: Veranschaulichung des Inklinationswinkels
Zurzeit beträgt die Deklination ungefähr 11, 4◦ in westlicher Richtung und die Inklination ungefähr 60◦ in Deutschland. In unserem Versuch spielt die Horizontalkomponente
eine Rolle.
4.1 Versuchsaufbau und Durchführung
In diesem Versuchsteil wollen wir das Erdmagnetfeld bestimmen. Hier haben wir eine
Hallsonde als Messgerät verwendt. Abbildung 11 zeigt unseren Versuchsaufbau:
22
Abbildung 11: Versuchsaufbau zur Bestimmung des Erdmagnetfeldes
Wir haben die Richtung der Wand als 0◦ von unserem System definiert. Und der
Winkel zwischen realer Nordrichtung und unserer Wand ist ca. 38◦ ± 1◦ . Der Fehler
ergibt sich dabei durch die Ableseungenauigkeit.
23
Abbildung 12: Schematischer Versuchsaufbau zur Bestimmung des Erdmagnetfeldes
4.2 Auswertung
4.2.1 Erdmagnetfeld Messung
Zuerst haben wir von 0◦ bis 350◦ jede 10◦ eine Messung von 15s gemessen. Die Messdaten
sind in der nachfolgenden Abbildung 13 geplottet.
24
Abbildung 13: Plot der Daten des horizontalen Erdmagnetfeldes
Zusätzlich haben wir das Magnetfeld für verschiedene Positionen im Raum gemessen.
Hierbei blieb das System immer gleich.
25
26
Hier kann man deutlich erkennen, dass das Minimum der drei Bilder fast in der
gleichen Position (ca. 200◦ ) liegt. Aber die Beitrage des Magnetfelds sind viel größer als
die theoretischen Werte. Damit vermuten wir, dass es ein anderes Nichterdmagnetfeld
gibt, welches unsere Messung verfälscht. Die Beeinflussung ist relativ stark. Deswegen
gehen wir hier davon aus, dass man das Erdmagnetfeld nicht direkt messen kann.
Danach haben wir die gleiche Messung für die vertikale Richtung durchgeführt. Hier
haben wir den Horizont als 0◦ von unserem System definiert. Die Messdaten sind in der
folgenden Abbildung 14 geplottet.
27
Abbildung 14: Plot der Daten des vertikalen Erdmagnetfeldes
Unsere bestimmten Werte passen leider nicht gut zu den theoretischen Werten. Die
Messwerte sind grösser als die theoretischen Werte. Die Maxima liegen bei etwa 0, 35mT
in horizontaler und bei 0, 5mT in vertikaler Richtung. Die theoretischen Werte des
Erdmagnetfeldes sind 0, 02mT in horizontaler und 0, 04mT in vertikaler Richtung.
4.2.2 Differenzmessung
Die Hallsonde hat eine Temperaturabhängigkeits-Eigenschaft. Deswegen ist der Fehler
bei einer langen Messung eines kleinen Magnetfeldes relativ gross. Um die Beeinflussung
dieser Eigenschaft zu verhindern, haben wir eine neue Mess-Methode benutzt. Hier
haben wir die Differenz zwischen 0◦ und 180◦ , 10◦ und 190◦ usw. bis 170◦ und 350◦
gemessen und ausgerechnet. Die Werte sind in Abbildung 15 verdeutlicht.
28
Abbildung 15: Plot der Daten der Differenzmessung
Wir haben unsere Messwerte mit der theoretischen Werte verglichen.
29
Abbildung 16: Vergleich der theoretischen Werte mit den Messdaten der Differenzmessung
Hier sind die Messwerte zu gross und die bestimmte Richtung passt auch nicht richtig
zur realen Nordrichtung.
Wir haben in verschiedenen Positionen im Raum gemessen, doch jedes mal waren die
Messwerte unterschiedlich. Eine mögliche Ursache könnten die elektronischen Apparaturen sein, die elektromagnetische Felder an die Umgebung aussenden und dadurch die
Messung stören. Zusätzlich ist es mit der Hallsonde schwierig das Magnetfeld zu vermessen, da sie ungenau für relativ kleine Magnetfelder ist, wie z.B. das Erdmagnetfeld.
Wir haben uns daraufhin entschieden mit Hilfe von Heimholzspulen, das Erdmagnetfeld
zu kompensieren.
5 Versuchsdurchführung
5.1 Vorbereitende Maßnahmen
5.1.1 Messung der Feldspulen
Wie bereits häufiger erwähnt, ist sowohl die Homogenität als auch die Stärke des von
außen auf den Stab wirkenden Feldes von großer Bedeutung. Daher erscheint es sinnvoll,
zuerst die Magnetfelder der verschiedenen Spulen auszumessen, um für unsere Anwendung die geeignetste zu finden. Für die Messungen der Magnetfelder nutzen wir das
Cassy-Lab-System, welches eine Hallsonde mit dazugehöriger Software beinhaltet. Uns
stehen sowohl eine axiale als auch eine tangentiale Hallsonde zur Verfügung, wodurch
gewährleistet ist, dass wir zu der vertikalen auch die horizontale Komponente an jedem
Punkt innerhalb der Spule bestimmen können. Die Hallsonde besitzt einen Messbereich
bis 100mT und eine Genauigkeit von 2%[4] . Die Feldspule wird bei den Messungen
30
lediglich mit Gleichstrom von (3, 60 ± 0, 01)A betrieben, um sie nicht unnötig aufzuheizen und zu verkomplizieren. Schließlich hängt die Stärke des Magnetfeldes direkt
vom Strom ab, weshalb in erster Linie die Homogenität betrachtet wird. Wir fahren
mit den Hallsonden jeweils die ganze Länge der Spulen, in Schritten von (1.0 ± 0, 1)cm,
von Innen ab und verweilen in jeder Höhe ca. 10s, in der wir gemittelt über 100ms die
Werte aufnehmen. Dadurch lässt sich der Fehler mittels der Standardabweichung gut
im Griff halten. Zusätzlich ermitteln wir mit den Hallsonden die Ausrichtung und Stärke des Erdmagnetfeldes. Hierbei kommt erschwerend hinzu, dass das Erdmagnetfeld in
der Größenordnung von einigen Mikrotesla liegt, die Hallsonden aber im Bereich von
0, 2mT schwanken. Desweiteren unterliegen die Sonden einer Temperaturabhängigkeit,
wodurch das gemessene Magnetfeld über einen längeren Zeitraum leicht ansteigt.
5.1.2 Mechanische Eigenschaften des Torsionspendels
Durch das Torsionspendel erhalten wir eine (gewünschte) schwache Dämpfung. Es ist auf
eine ordentliche Spannung der Drähte zu achten. Sie hat Einfluss auf das Drehmoment
und damit auf den Drehimpuls, weshalb sie nach jeder Justierung ermittelt werden muss,
da die Spannung des Drahtes die Dämpfung beeinflusst. Dazu regen wir das Pendel
von Hand an und nehmen die Auslenkung der dafür vorgesehenen Laservorrichtung
am Schirm für eine gewisse Zeit auf Abschnitt 3. Aus der Hüllkurve der Auslenkung
lässt sich die Dämpfung bestimmen. Richtet man den Laserstrahl stattdessen auf eine
Photodiode und lässt die Auslenkung unbeachtet, kann auf diese Weise sehr genau die
Resonanzfrequenz bestimmt werden. Dazu darf allerdings nur jeder zweite Durchgang
gezählt werden, um eine volle Periode zu erfassen. Ebenso hat sich eine Verdunklung
des Raumes als besonders hilfreich erwiesen.
5.1.3 Nachweis des Einstein-De Hass Effektes
Zunächst wollen wir die Bestimmung der Resonanzkurve ohne Abschirmung des Erdmagnetfeldes durchführen. Nachdem die wesentlichen (mechanischen) Bedingungen bestimmt sind und der geeignetste Aufbau gefunden wurde, kann mit dem Nachweis des
Einstein-De Haas Effektes begonnen werden. Dazu muss das Verhältnis von magnetischem Moment zu Drehimpuls bestimmt werden. Das Ergebnis lässt sich aus den experimentellen Größen der induzierten Spannung und der maximalen Auslenkung berechnen.
Wir hängen zuerst den Eisenstab mittig in die Induktionsspule, welche sich mittig in
der Feldspule befindet. Die Mittelachse der Spulen wird parallel zum Stab ausgerichtet,
da ansonsten eine zusätzliche mechanische Anregung quer zur Stabachse generiert wird.
Da sie nicht ganz zu vermeiden ist, erwarten wir eine leichte vertikale Komponente in
der Auslenkung, die jedoch bei zunehmender Differenz zwischen Betriebsfrequenz und
Resonszfrequenz verschwinden sollte, sodass die Anregung des Einstein - De Haas Effektes überwiegt. Die Amplitude des Stromes stellen wir über den Funktionsgenerator
so ein, dass das Signal gerade nicht beeinträchtigt wird. Nun messen wir zunächst den
Frequenzbereich grob in 1Hz Schritten durch, um potentielle Kandidaten für die Resonanzfrequenz oder eine der Oberschwingungen zu erhalten. Diese kritischen Stellen
messen wir hinterher nochmals genauer in 0, 1Hz Schritten durch. Dabei halten wir die
halbe maximale Auslenkung am Schirm fest. Für jede eingestellte Frequenz messen wir
31
am Oszilloskop die induzierte Spannung. Mit dem Nickelstab wird auf dieselbe Weise
verfahren.
Danach wollen wir die Bestimmung der Resonanzkurve mit Abschirmung des Erdmagnetfeldes durchführen, dazu wiederholen wir den Versuch für beide Materialien, um die
Werte zu vergleichen und seine eigene Intuition zu prüfen. In unserem Fall können wir
die vertikale Komponente des Erdmagnetfeldes außer Acht lassen, da sie genau mit dem
Magnetfeld der Feldspule zusammenfällt. Dadurch sorgt sie zwar für eine asymmetrische
Anregung, was zu einer Schwebung führt [3] . Jedoch ist für uns in erster Linie nur der
maximale Ausschlag von Bedeutung. Daher brauchen wir mit den Helmholtzspulen nur
die horizontale Komponente zu kompensieren. Um die Vorrichtung ordentlich auszurichten, greifen wir auf die Ergebnisse der gesonderten Erdmagnetfeldmessung zurück.
Den benötigten Strom ermitteln wir durch Variation desselben bis der Kompass keine bevorzugte Orientierung mehr besitzt. Eine weitere Möglichkeit ist, den maximalen
Ausschlag während der Justierung zu beobachten. Im ausgerichteten Zustand ist die
Auslenkung minimal. Wir messen wieder die maximale Auslenkung und die induzierte
Spannung in Abhängigkeit der Betriebsfrequenz der Feldspule.
6 Auswertung
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse dieses Versuches dargestellt und diskutiert.
Dafür wird im ersten Abschnitt der Feldverlauf der vorhandenen Spulen näher betrachtet, wobei eine Diskussion über den Einfluss des Erdmagnetfeldes auf unser System
ebenfalls hier besprochen wird. Im zweiten Abschnitt sollen die mechanischen Eigenschaften unserer Torsionspendel untersucht werden. Die Vermessung des Frequenzgangs
und ein Vergleich zwischen Nickelstab und Eisenstab bilden den Schwerpunkt des letzten
Abschnitts.
6.1 Feldverlauf von verschiedenen Spulen
Für die Vorüberlegungen über einen möglichen Aufbau war es wichtig eine geeignete
Spule zu finden. Dabei heißt geeignet, dass das Magnetfeld möglichst homogen in der
Horizontalen sein muss. Der Grund dafür ist die horizontale Ausrichtung des Stabes im
Magnetfeld aufgrund des horizontalen Gradienten, den wir aufgrund der horizontalen
Inhomogenität erwarten müssen. Zur Vermessung des Magnetfeldes stand eine Hallsonde von Cassy Lab zur Verfügung. Den Messbereich der Hallsonde konnte man auf einen
Bereich von -10 bis 10 mT einstellen wobei man eine Genauigkeit von 0,005 mT erreichen konnte. Leider entsprach dies nicht direkt dem Fehler, da Schwankungen von 0,05
bis 0,1 mT zu beobachten waren. Eine Begründung dieser Schwankungen konnte nicht
gefunden werden. Um trotz dieser Tatsache einen geeigneten Fehler für jede Messung
zu erhalten, wurden mehrere Messwerte innerhalb eines Zeitintervalls von 30s mit einer
Messung pro 0,1s aufgenommen. Aus der Mittelung dieser Werte konnte ein Fehler ermittelt werden, wobei dieser aus der Standardabweichung errechnet wurde. Insgesamt
standen drei fertige Spulen und eine selbstgewickelte Spule zur Verfügung. Zuerst wurde die fertige schwarze Spule in der Tiefe vermessen. Es handelt sich dabei um die
Spule mit der unbekannten Windungszahl in Unterunterabschnitt 3.2.3, die in den Tie-
32
fen der Kellerlaboratorien gefunden wurde. Diese Messwerte sind in der Abbildung 17
dargestellt.
Abbildung 17: Plot der Messwerte für die schwarze Spule in vertikaler Richtung
Der Fehler für die Tiefe h beträgt 1mm und entspricht der maximalen Ablesegenauigkeit auf der Längenskala, welche vorne die Hallsonde trägt.
Der Plot lässt erkennen, dass das Magnetfeld der Spule bei einer Tiefe von 8cm sein
Maximum erreicht. Die Tiefen von 6cm und 10cm weichen nur leicht ab von dem Wert
bei 8cm. Weiter zu den Seiten beobachtet man einen starken Abfall des Magnetfeldes,
denn dieses beträgt bei einer Tiefe von 0cm nur noch 31 % des maximalen Wertes. Der
Vorteil an dieser Spule ist, dass man sie mit bis zu 20 A betreiben kann, wodurch ein
starkes Magnetfeld erzeugbar ist. Eigentlich spricht dies für diese Spule, aber vorher
wurde noch das Magnetfeld horizontal bei einer Tiefe von 8cm gemessen. Hier wurde
genau wie in der vertikalen Messung jeweils über 30s alle 0,1s ein Messwert aufgenommen. Die schwarze Spule hat eine runde Öffnung von 4cm Durchmesser. Deshalb wurde
zu dem mittleren Punkt noch vier weitere Messpunkte am Rand aufgenommen, d.h.
jeweils mit einem Abstand von 2cm zum mittleren Punkt, wobei die ungeraden bzw.
geraden Messpunkte jeweils gegenüberliegen. Die Magnetfeldstärke für die jeweiligen
Punkte entnimmt man der Tabelle 1.
33
Tabelle 1: Messung des Magnetfeldes der schwarzen Spule in horizontaler Richtung
Messpunkt
1
2
3
4
B /mT
7,01 ± 0,07
6,97 ± 0,08
7,25 ± 0,11
7,30 ± 0,09
Aus diesen Messwerten erkennt man die Inhomogenität in horizontaler Richtung.
Zu diesem Zeitpunkt lässt sich schwer beurteilen, ob dieser auftretende Feldgradient
in horizontaler Richtung stören kann. Infolgedessen nahmen wir die nächste Spule zur
Vermessung. Als Alternative hatten wir noch 4 Leybold Spulen, die wir aufeinander
gestellt haben. Dadurch erhielten wir ebenfalls eine 32cm lange Spule. Für dieses SpulenQuartett wurde ebenfalls das Feld erstmal in vertikaler Richtung gemessen, wobei diese
mit einem Strom von 3A betrieben wurden. Diese Messwerte sind in Abbildung 18
geplottet.
Abbildung 18: Plot der Messwerte für die 4 Leyboldspulen in vertikaler Richtung
Anhand von diesem Plot entnimmt man, dass die Spulen zusammen als ein Element gesehen stark inhomogen in vertikaler Richtung sind. Weiterhin erkennt man aus
dem Plot heraus, dass man an den Grenzen zwischen zwei Leyboldspulen einen starken
34
Einbruch der Feldstärke sehen kann. Aber auch innerhalb einer Leyboldspule erkennt
man starke Schwankungen der Feldstärke. Natürlich spricht dies noch nicht gegen diese
Spulen, da auch der horizontale Teil zählt. Deswegen wurde für eine Leyboldspule die
horizontale Richtung in einer Tiefe von 4cm ausgemessen. Aufgrund der eckigen Bauweise der Leyboldspulen wurden jeweils die Eckpunkte innerhalb der Spule als weitere
Punkte aufgenommen. Die Messwerte dafür bekommt man aus der Tabelle 2.
Tabelle 2: Messung des Magnetfeldes der 4 Leybold-Spulen in horizontaler Richtung
Messpunkt
1
2
3
4
B /mT
7,40 ± 0,04
7,28 ± 0,07
7,39 ± 0,05
7,25 ± 0,06
Die hier eingesetzte Leybold Spule scheint homogen in horizontaler Richtung, wodurch sich diese als nützlich für unseren Aufbau erweist. Problematisch bleibt dabei
die Inhomogenität in vertikaler Richtung. Deshalb wurde auch noch die Keramikspule
vermessen. Es handelt sich um eine Spule, die um einen Keramikhohlzylinder gewickelt
ist. Bei der Messung wurde diese Spule mit einem Strom von 4A betrieben. Es wurde
genauso vorgegangen wie bei den vorherigen Spulen.
Eine wichtige Bemerkung für diesen Versuch ist, dass hier die Hallsonde gekühlt
werden musste. Der Grund dafür liegt in starken Erhitzung der Spule, wodurch ein
Anstieg der Feldstärke zu bemerken war, obwohl nichts an den anderen Parametern
wie Strom oder Position der Hallsonde vorgenommen wurde. Um eine Diskussion über
den Feldverlauf zu vereinfachen wurden auch diese Daten geplottet und zwar in der
Abbildung 19.
35
Abbildung 19: Plot der Messwerte für die Keramikspulen in vertikler Richtung
Ausgenommen die äußeren Werte, beobachtet man ein sehr homogenes Feld in vertikaler Richtung. Die Tabelle 3 zeigt die Messwerte in horizontaler Richtung für diese
Spule. Auch hier wurden aufgrund der eckigen Bauweise jeweils an den Eckpunkten
weitere Messwerte aufgenommen.
Tabelle 3: Messung des Magnetfeldes der 4 Leybold-Spulen in horizontaler Richtung
Messpunkt
1
2
3
4
B /mT
1,76 ± 0,06
1,77 ± 0,03
1,78 ± 0,08
1,76 ± 0,06
Der horizontale Teil dieser Spule weist ebenfalls ein sehr homogenes Feld auf. Eigentlich wäre diese Spule ideal für unseren Aufbau, aber leider wurde uns erst nach der
Messung mitgeteilt, dass diese Spule eigentlich ein Leistungswiderstand ist und hohe
Ströme hauptsächlich nur zu einer stärkeren Wärmeabgabe führen. Aus diesem Grund
ist diese Spule ungegeeignet. Zur aller Letzt wurde nun die selbstgewickelte Spule in
vertikaler Richtung vermessen. Eine Visualisierung der Messwerte findet sich in Abbildung 20.
36
Abbildung 20: Plot der Messwerte für die selbstgewickelte Spule in vertikaler Richtung
Man beobachtet ein recht homogenes Feld innerhalb der Spule und an den Rändern
ein stark abfallendes Feld. Ausgenommen die Ränder, zeigt sich also ein homogenes
Feld, dass für unseren Versuch geeignet ist. In Tabelle 4 sind die aufgenommenen Werte
in horizontaler Richtung für eine Tiefe von 14cm.
Tabelle 4: Messung des Magnetfeldes der selbstgewickelten Spule in horizontaler Richtung
Messpunkt
1
2
3
4
B /mT
3,81 ± 0,09
3,80 ± 0,10
3,84 ± 0,07
3,83 ± 0,08
Die selbstgewickelte Spule weist auch in horizontaler Richtung ein sehr homogenes
Feld auf. Zum Vergleich zu den anderen Spulen haben wir hier eine maximale Differenz
von den Feldstärke von nur 0,04mT. Bei der schwarzen Spulen sind es 0,33mT und für
die Leyboldspule ist es eine Differenz von 0,15mT. Deshalb ist die selbstgewickelte Spule
am ehesten geeignet für unseren Versuch, da hier die horizontale und vertikale Richtung
die geringsten Schwankungen aufweist.
37
6.2 Die mechanischen Eigenschaften
Nachdem nun eine geeignete Spule gefunden wurde, müssen nun die mechanischen Eigenschaften des Eisen-Torsionspendels und des Nickel-Torsionspendels untersucht werden. Für diesen Versuch sind die Dämpfung und die Resonanzfrequenz besonders wichtig, da diese in die Berechnung des Landé-Faktors mit eingehen. Für die Messung der
Resonanzfrequenz wurde jedes Pendel einmalig mit der Hand angeregt und in den Weg
des reflektierten Laserstrahls wurde eine Photodiode gebracht. Die Photodiode war mit
einem Oszilloskop verbunden, wodurch bei jedem passieren des Laserstrahls, auf der
Photodiode ein Signal auf dem Oszilloskop angezeigt wurde. Auf dem Oszilloskop war
die x-Achse für die Zeit und die y-Achse für die Spannung. Es ist direkt klar, dass der
Abstand zwischen einem Signal und dem übernächsten Signal der Periode der Schwingung entspricht. Das Oszilloskop rechnet diese Periode direkt in eine Frequenz um. Ein
Beispiel für das Eisen-Torsionspendel von solch einem Signal ist in der Abbildung 21
zusehen.
Abbildung 21: Oszilloskopbild für die Messung der Resonanzfrequenz des Eisen-Torsionspendels
Für dieses Bild erhält man für die Resonanzfrequenz (2,415 ± 0,029) Hz. Der Fehler
für die Frequenz ergibt sich durch Gaußsche Fehlerfortpflanzung. Eine Messreihe für die
mechanische Resonanzfrequenz bleibt aus, weil jede kleinste Änderung am Aufbau direkt
eine gravierende Änderung der Resonanzfrequenz hervorrief. Als Beispiel sei das leichte
Verschieben des Aufbaus genannt. Aus diesem Grund wird weiter unten für jede durchgeführte Messung die Resonanzfrequenz separat angegeben. Für die spätere Messung
der Resonanzfrequenz ist nur interessant den ungefähren Bereich der Resonanzfrequenz
zu kennen. Für das Nickel-Torsionpendel wurde genau gleich vorgegangen um die Resoanzfrequenz zu bestimmen. Dabei ergab sich für die Resonanzfrequenz (2,004 ± 0,020)
Hz. Die Periode beträgt (499 ± 5) ms und den Fehler der Resonanzfrequenz erhält man
durch Gaußsche Fehlerfortpflanzung.
Die Dämpfung der Torsionspendel wurde auch durch ein kurzes Anregen gemessen,
wobei die Photodiode entfernt wurde und die Bewegung des Laserstrahls auf einem
38
Millimeterpapier mit einer Kamera gefilmt wurde. Die Methode mit dem Video wurde
gewählt, um möglichst exakt die Zeit aufnehmen zu können. Weiterhin fiel es so leichter
die ständig schwingende Auslenkung abzulesen. Leider ist auf dem Video nur die 5mm
Linie des Millimeterpapiers zu erkennen, somit erhalten wir für die Ablesegenauigkeit
einen Fehler von 5mm. Das aufgenommene Video wurde mit dem Programm Avidemux
2.5 ausgewertet. Für das Eisen-Torsionspendel haben wir ein Video von 70 Sekunden
aufgenommen und Bild für Bild im nachhinein betrachtet. Es wurden nur die Bilder
verwendet, die einen klaren Laser-Punkt zeigten. Während die Schwingung ein Maxima
erreicht, wird genau zu diesem Zeitpunkt belichtet. Alle anderen Bilder wiesen nur
eine verwaschene Linie auf. Der Fehler für die Zeit entspricht einem Zeitintervall indem
belichtet wird. Dementsprechend haben wir 0,03 s als Fehler, da alle 0,03 s ein neues
Bild von der Kamera aufgenommen wird.
Den Winkel für die Auslenkung erhält man durch trigonometrische Relationen. Dabei
nimmt man an, dass der Laserstrahl vollkommen senkrecht auf das Millimeterpapier
auftrifft, sodass die Auslenkung senkrecht zum Laserstrahl steht. Daraus ergeben sich
jeweils zwei Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei die Verbindungs-Linie von
der Auslenkung zum reflektierenden Punkt auf dem Spiegel die Hypothenuse bildet.
Eine schematische Zeichnung zur besseren Übersicht sieht man in Abbildung 22.
Abbildung 22: Schematische Darstellung zur Bestimmung des Winkels
Anhand trigonometrischer Überlegungen folgt folgende Formel für den Auslenkwinkel
α:
α=
x
1
· arctan
2
a
(38)
Der Fehler berechnet sich nach Gaußscher Fehlerfortpflanzung in x und a.
Aufgrund des senkrechten Einfalls des Laserstrahls auf dem Millimeterpapier, musste
der Aufbau jedesmal so ausgerichtet werden, dass der Laserstrahl wieder senkrecht auf
das Millimeterpapier eintrifft, um dann den Abstand zur Wand neu zu messen. In beiden
39
Fällen hatten wir einen Abstand von x = (695 ± 1) mm. Die maximale Auslenkung fällt
exponentiell ab, da unser Torsionspendel eine schwach gedämpfte Schwingung vollführt.
Deswegen wurden die Messwerte mit einer e-Funktion gefittet. Der Plot und Fit der
Messwerte ist in der Abbildung 23 dargestellt.
Abbildung 23: Plot und Fit der Messwerte für die Dämpfung des Eisen-Torsionspendels mit den
Fitparametern a = (5,0798 ± 0,0152)°, b = (0,01883 ± 0,00017) 1/s und einem reduzierten
χ2 = 78, 77
Die Funktion mit der wir gefittet haben sah folgendermaßen aus:
f (x) = a · exp(−b · x)
(39)
Unser Fit lieferte für die Dämpfung β = (0, 01883 ± 0, 00017) 1/s. Optisch betrachtet
passt sich die Fitkurve sehr gut unseren Messwerten an. Problematisch ist das reduzierte
χ2 von 78,77. Dies lässt sich aber durch die recht kleinen Fehler erklären, da bei der
Berechnung des χ2 durch die Fehler geteilt wird. Insgesamt kann dieser augenscheinlich
gute Plot jedoch nur als unzureichend betrachtet werden, da das χ2 zu groß ist. Natürlich
ist auch diese Messung für die Dämpfung für Nickel durchgeführt worden. Aber diesmal
über einen Zeitraum von 80 Sekunden.
Um die Dämpfung zu bestimmen wurden die Messwerte für Nickel geplottet und mit
einer e-Funktion gefittet. Der Plot ist in der Abbildung 24 zu sehen.
40
Abbildung 24: Plot und Fit der Messwerte für die Dämpfung des Nickel-Torsionspendels mit den
Fitparametern a = (5,2089 ± 0,0361)°, b = (0,01667 ± 0,00035) 1/s und einem reduzierten
χ2 = 369, 46
Daraus erhalten wir für die Dämpfung einen Wert von β = (0, 01667 ± 0, 00035)
1/s. Qualitativ kann man sagen, dass wenig Punkte auf der Fitkurve liegen. Weiterhin erkennt man dies auch an dem sehr großen Wert des reduzierten χ2 von 369,46.
Selbstverständlich liegt dieser große Wert auch wieder an den kleinen Fehler. Trotzdem
erscheint diese Dämpfung realistisch.
6.3 Resonanzkurve
Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit der Auswertung der Resonanzkurven. In diesem
Fall heißt Resonanzkurve, dass wir verschiedene Frequenzen für das magnetische Wechselfeld eingestellt und die jeweilige Auslenkung dazu aufgenommen haben. Aus dieser
Messung wollen wir versuchen Besonderheiten für gewisse Frequenzen zu beobachten.
Von den Resonanzkurven haben wir erwartet, dass wir für die Resonanzfrequenzen und
Vielfache davon die stärksten Auslenkungen sehen. Aus diesem Grund wurde erstmal
eine Resonanzkurve für Eisen ohne Abschirmung des Erdmagnetfeldes aufgenommen.
Wir haben uns entschieden in 0,1 Hz Schritten die Resonanzkurve zu durchfahren.
Dabei sind wir nicht über die 5 Hz gegangen, weil ab diesem Wert die Genauigkeit
des Funktionsgenerator von 0,001 Hz auf 0,01 Hz übergeht. Die Auslenkung wurde
41
manuell am Millimeterpapier abgelesen, weil bei diesen kleinen Auslenkungen exaktes
Ablesen von bis zu 1mm möglich war. Dadurch haben wir einen relativ kleinen Fehler im
Gegensatz zur Dämpfungsmessung. Die Messwerte für Eisen wurden in der Abbildung 25
geplottet.
Abbildung 25: Plot der Resonanzkurve des Eisen-Torsionspendels
Anhand dieses Plots beobachtet man drei signifikante Stellen. Natürlich ist wie erwartet eine große Auslenkung für die Resonanzfrequenz zu beobachten. Leider beobachtet
man nichts für Frequenzen um 4,8 Hz, obwohl es sich hier um ein Vielfaches der Resonanzfrequenz handelt. Für gewisse Frequenzen steht der Laserpunkt komplett still.
Eine interessante Beobachtung waren ellipsenförmige Bewegungen des Laserstrahls am
Millimeterpapier, d.h. man erhält eine vertikale Komponente. Komischerweise entdeckt
man weitere starke Auslenkungen bei der halben Resonanzfrequenz und dem 3-fachen
der halben Resonanzfrequenz. Für dieses Phänomen fehlt uns jegliche Begründung. Eine
Eigenart an den Auslenkungen bei den halben Frequenzen ist, dass man hier überhaupt
keine vertikale Komponente bei der Auslenkung beobachtet. Natürlich stellt sich nun
die Frage, ob unsere Erwartung richtig war. Deswegen wurde auch die Resonanzkurve
für Nickel durchfahren. Dabei ist zu beachten, dass hier in 0,5 Hz Schritten gemessen
wurde und man eine Änderung der Fehler der Frequenz ab einem Wert von 5 Hz zu
erwarten hat. Bei signifikanten Punkten wurden feinere Schritte gewählt zur Messung.
Auch diese Messwerte wurden geplottet und sind in der Abbildung 26 dargestellt.
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Abbildung 26: Plot der Resonanzkurve des Nickel-Torsionspendels
Interessanterweise entsprechen die Peaks der Resonanzkurve von Nickel eher unseren Erwartungen von starken Auslenkungen bei der Resonanzfrequenz und Vielfachen
davon. Des Weiteren hat Nickel wesentlich schärfere Peaks. Deswegen kann man davon
ausgehen, dass manche Auslenkungen durch die größeren Messschritte verloren gegangen
sind. Unter anderem fehlen hier die Auslenkungen für die halben Resonanzfrequenzen
im Gegensatz zu Eisen. Die Auslenkungen für Nickel erscheinen auf Millimeterpapier
ohne vertikale Komponente. Dies lässt vermuten, dass wenn wir wirklich den Einsteinde-Haas-Effekt sehen dann am ehesten für den Nickelstab. Weiterhin erkennt man für
Nickel bei keiner Frequenz ein Stillstehen des Laserpunktes wie es bei Eisen zu sehen
war.
Nun wurden nochmal jeweils eine Resonanzkurve für Nickel und Eisen bei abgeschirmten Erdmagnetfeld gemessen. Bei einer Abschirmung des Erdmagnetfeld sollten
geringere Auslenkungen zu beobachten sein, weil die zusätzliche Komponente des Erdmagnetfels fehlt.
Diese Messwerte sind in der Abbildung 27 geplottet.
43
Abbildung 27: Plot der Resonanzkurve des Eisen-Torsionspendels mit abgeschirmten Erdmagnetfeld
An dem Plot stellt man schnell fest, dass die gesamte Resonanzkurve stark verrauscht
ausschaut. Bis auf einen Peak bei der Resonanzfrequenz tritt kein weiterer auf oder sticht
wirklich hervor. Wie erwartet beobachtet man eine Verkleinerung der Peaks. Diesmal
treten auch die Peaks für halbe Vielfache der Resonanzfrequenz nicht mehr auf. Anscheinend konnte durch die Abschirmung dies behoben werden. Die ellipsenförmigen
Bewegungen bei gewissen Peaks sind auch verschwunden. Nun entdeckt man V-förmige
Schwingungen, die einer rollenden Kugel in einer Schale ähneln. Glücklicherweise treten
diese Formen nicht bei der Resonanzfrequenz auf. Man erkennt für die Resonanzfrequenz
eine reine Auslenkung in horizontaler Richtung.
Eine weitere Resonanzkurve wurde auch für den Nickelstab aufgenommen.
Der Plot zu den Messwerten ist in der Abbildung 28 dargestellt.
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Abbildung 28: Plot der Resonanzkurve des Nickel-Torsionspendels mit abgeschirmten Erdmagnetfeld
Die Resonanzkurve hat sich für Nickel kaum geändert bis auf die geringeren Auslenkungen. Man erkennt etwas breitere Peaks bei den gleichen Frequenzen wie vorhin. Im
Grunde genommen hat die Abschirmung außer der geringeren Auslenkung keinen Unterschied gebracht. Als Besonderheit ist vielleicht der dritte Peak zu nennen. Aber dieser
war durch die großen Messschritte nicht zu entdecken und befindet sich wie erwartet
bei den vielfachen der Resonanzfrequenz.
Aus all diesen Messwerten ergibt sich nun die Berechnung des Landé-Faktors. Wie
bereits in der Abschnitt 2 erwähnt, sollten wir für den Landé-Faktor einen Wert in
der Größenordnung von 2 erhalten, da wir mit dem Einstein-de-Haas-Effekt rechnen
und dieser durch die Spins hervorgerufen wird. Dabei erhält man bei Berechnung des
Landé-Faktors die Werte aus der Tabelle 5.
Tabelle 5: Lande-Faktor für Nickel und Eisen
Eisen ohne Abschirmung
Eisen mit Abschirmung
Nickel ohne Abschirmung
Nickel mit Abschirumg
45
0.01137
0.02726
0.1388
2.524
±
±
±
±
0.00036
0.00040
0.0053
0.077
Als Resonanzfrequenz für Eisen wurde im Fall ohne Abschirumg eine Frequenz von 2,4
Hz genommen, da hier die maximalste Auslenkung gemessen wurde. Dementsprechend
wurde für Eisen mit Abschirmung eine Resonanzfrequenz von 2,45 Hz genommen. Im
Fall von Nickel wechselte dies von 1,995 Hz bei keiner Abschirmung auf 1,990 Hz mit
Abschirmung. Der Fehler des Landé-Faktors berechnet sich nach der Formel
s
∆g = g ·
(
∆l 2
∆m 2
∆ |Uind | 2
∆R 2
∆Nind 2
∆β 2
) +(
) +(
) +(
) +(
) +(
) +
l
m
|Uind |
R
Nind
β
(
∆αres 2
∆ωres 2
) +(
) (40)
αres
ωres
Zur besseren Übersicht sind alle Größen, die in die Berechnung eingehen, mit ihren
Fehlern nochmal hier aufgelistet:
• Nind = 62, 0 ± 1
• lEis = (52, 0 ± 0, 1) mm
• lN ick = (78, 6 ± 0, 1) mm
• REis = (18, 5 ± 0, 1) mm
• RN ick = (5, 0 ± 0, 1) mm
• mEis = (198, 1 ± 0, 1) g
• mN ick = (54, 1 ± 0, 1) g
• βEis = (0, 01883 ± 0, 00017) 1/s
• βN ick = (0, 01667 ± 0, 00035) 1/s
• αEis = (0, 3297 ± 0, 0007)°
• αN ick = (0, 8423 ± 0, 0007)°
• αEisM = (0, 4122 ± 0, 0007)°
• αN ickM = (0, 5200 ± 0, 0007)°
• ωEis = (2, 400 ± 0, 001) Hz
• ωN ick = (1, 995 ± 0, 001) Hz
• ωEisM = (2, 450 ± 0, 001) Hz
• ωN ickM = (1, 990 ± 0, 001) Hz
• |UindEis | = (26, 4 ± 0, 8) mV
• |UindN ick | = (8, 0 ± 0, 2) mV
46
• |UindEisM | = (80, 8 ± 0, 8) mV
• |UindN ickM | = (89, 6 ± 0, 8) mV
Die errechneten Werte für den Landé-Fakotr liegen alle neben der Theorie. Für Eisen haben wir die größte Abweichung von der Theorie. Nickel kommt am nächsten,
wenn man den Wert mit der Abschirmung betrachtet. Leider entspricht auch dieser
Wert nicht der Theorie. Beeindruckend ist, dass wir eine große Schwankung der Werte
für Nickel beobachten, sobald das Erdmagnetfeld abgeschirmt wird, nähert man sich
anscheinend stark den richtigen Wert des Landé-Faktors an. Insgesamt kann man sagen, dass höchstwahrscheinlich in keinem der Fälle der Einstein-de-Haas-Effekt wirklich
gesehen wurde.
7 Fazit
In diesem Versuch wollten wir den Einstein-de-Haas Effekt nachweisen indem wir verschiedene ferromagnetische Materialien in Form eines Stabes in ein sich ständig wechselendes Magnetfeld gebracht haben. Anhand von theoretischen Überlegungen sollten sich
die Spins der Elektronen der Stäbe je nach Feldrichtung des Magnetfeldes ausrichten
und dadurch ein makroskopisches Drehmoment des Stabes erzwingen, welches sichtbar wäre. In diesem Versuch haben wir gemerkt, dass sich eine einfach anhörende Idee
nicht immer leicht beweisen lässt. Wir hatten zunächst Schwierigkeiten mit unserem
Aufbau. Es stand uns zunächst kein vernünftiger Faden zur Verfügung, der ferromagnetische Stab konnte nicht achsensymmetrisch befestigt werden und das Magnetfeld
unserer Feldspulen war alles andere als homogen. Im Laufe des Versuches konnten wir
jedoch viele dieser Probleme lösen, so war uns z.B. exakt in der Mitte der jeweiligen
ferromagnetischen Stäbe ein Gewinde geschnitten worden, so dass wir diese so exakt wie
möglich mittig befestigen konnten. Auch die Konstruktion zur Befestigung des Stabes
konnte im Verlauf des Versuches weiterentwickelt werden. Das Problem des inhomogenen Magnetfeldes konnten wir dadurch lösen, dass wir eine Spule selbstwickelten. Den
Einfluss des Erdmagnetfeldes auf die Messung haben wir ebenfalls untersucht, indem
wir dieses separat in Stärke und Richtung bestimmten und mit Hife von Helmholtzspulen abschirmten und so je eine Messung mit und eine ohne Magnetfeld durchführten
um diese miteinander vergleichen zu können. Wir orientierten uns bei unserem Aufbau
stark an dem von Einstein und de-Haas, mit der Ausnahme, dass wir einen Laser verwendeten um die Auslenkung des Stabes an Millimeterpapier messen zu können und
wir den Wechselstrom mit Hilfe von Frequenzgenerator und Verstärker erzeugten und
nicht per Kondensatorentladungen. Insgesamt war dieser Versuch für uns ernüchternd.
Wir konnten zwar eine makroskopische Drehung der Stäbe verifizieren, stellten jedoch
bei der Auswertung fest, dass der von uns zu ermittelnde Wert des Landé-Faktors z.T.
deutlich verfehlt wurde. Dennoch verbuchen wir den Versuch als Erfolg, da wir zeigen
konnten, dass es sich lohnt mit einem Nickelstab zu arbeiten und nicht nur mit einem
Eisenstab wie es meistens gemacht wird.
47
7.1 Ausblick
Wir wollen hier einige Überlegungen zur Verbesserung des Aufbaus anstellen und mögliche Ursachen diskutieren warum unsere Messung z.T. deutlich von dem zu erwartenden
Wert des Landé-Faktors abweichen. Als erstes sei hierbei der Faden erwähnt, der unseren Stab innerhalb der Induktions- und Feldspule halten sollte. Dieser war bei uns
ein metallischer Draht, was innerhalb eines Magnetfeldes keine gute Idee ist, da dieser
immer eine Störung mit sich bringt. Hier wäre es z.B. von Vorteil gewesen, wenn wir
einen Glasfaden gehabt hätten, da dieser gute mechanische Eigenschaften hat. Ebenfalls könnte man den Versuch dahingehend verbessern, dass wir eine Spule verwenden,
die mehr Windungen auf einer größeren Länge hat und mit einem dickeren Draht gewickelt ist. Auf diese Art und Weise wäre ein homogeneres Magnetfeld gesichert und
man könnte einen größeren Strom verwenden, so die Magnetfeldstärke erhöhen und den
Effekt vergrößern. Zusätzlich wäre es noch vorteilhaft, wenn diese gekühlt wäre, da wir
bei einigen Messungen hohe Temperaturen verzeichnen konnten die dazu führten, dass
sich der Aufbau an den Aufhängungen erhitzte und so der metallische Draht expandierte, was zu einer Änderung der Resonanzfrequenz führte. Man könnte noch als drittes
Material einen Cobaltstab verwenden und zusätzlich mit diesem die ferromagnetischen
Materialien komplett abdecken. Ein luftgefederter Tisch und ein Raum ohne elektrische Störfelder wäre ebenfalls eine gute Idee, da man häufig beobachten konnte, dass
schon die Anwesenheit vieler Personen im Praktikumsraum die Apparatur aufgrund von
Vibrationen empfindlich störte. Einen der schwerwiegendsten Probleme war jedoch die
Ableseungenauigkeit des Laserpunktes am Millimeterpapier. Ein automatisierter Ablesemechanismus wäre hier eine starke Verbesserung der Ergebnisse des Versuchs.
8 Literatur
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of Ampère’s molecular currents. http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/
PU00012546.pdf, Abruf: 20. August 2012
[2] Kind, Peter: Elektronen in elektrischen und magnetischen Feldern. http://www.
atlas.uni-wuppertal.de/~kind/E3.pdf, Abruf: 20. August 2012
[3] Kind, Peter:
Schwingungsformen gekoppelter Pendel.
uni-wuppertal.de/~kind/M5.pdf, Abruf: 20. August 2012
http://www.atlas.
[4] Leybold: Geräteeigenschaften. http://www.ld-didactic.de, Abruf: 20. August
2012
[5] Schuster, Maximillian: Einstein-de Haas Effekt. www.physik.kit.edu/Studium/
F-Praktika/Downloads/Einstein_de_Haas_Juli08.pdf, Abruf: 20. August 2012
[6] Wikipedia: Elektron. http://de.wikipedia.org/wiki/Elektron, Abruf: 20. August 2012
[7] Wikipedia:
Ferromagnetismus.
Ferromagnetismus, Abruf: 20. August 2012
48
http://de.wikipedia.org/wiki/
[8] Wikipedia: Gyromagnetisches Verhältnis. http://de.wikipedia.org/wiki/
Gyromagnetisches_Verhältnis, Abruf: 20. August 2012
[9] Wikipedia: Landé-Faktor. http://de.wikipedia.org/wiki/Landé-Faktor#
Elektron, Abruf: 20. August 2012
[10] Wikipedia: Magnetisierung. http://de.wikipedia.org/wiki/Magnetisierung,
Abruf: 20. August 2012
[11] Wikipedia: Permeabilität. http://de.wikipedia.org/wiki/Permeabilität_
(Magnetismus), Abruf: 20. August 2012
49