5. Statische Spiele mit unvollständiger Information

5. Statische Spiele mit unvollständiger
Information
Klaus M. Schmidt
LMU München
Spieltheorie, Wintersemester 2014/15
Klaus M. Schmidt (LMU München)
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Literaturhinweise zu Kapitel 5:
Osborne (2004), Kapitel 9
Gibbons (1992), Kapitel 3
MasColell, Whinston, Green (1995), Kapitel 8E+F
Fudenberg und Tirole (1991), Kapitel 6 und 7
c 2014 Klaus M. Schmidt
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5.1 Einleitung
Bisher haben wir angenommen, dass alle Spieler vollständig über die Struktur
des Spiels informiert sind. In diesem Kapitel werden wir zeigen, wie Spiele mit
unvollständiger Information modelliert und analysiert werden können:
Spiele, in denen die Spieler die Auszahlungsfunktionen der anderen
Spieler nicht kennen,
Spiele, in denen die Spieler die Strategieräuem der anderen Spieler nicht
kennen,
Spiele, in denen die Spieler die Informationen der anderen Spieler nicht
kennen.
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5.2 Ein Beispiel
Als einführendes Beispiel betrachten wir das folgende (simultane)
Marktzutrittsspiel:
Spieler 1 (der bisherige Monopolist) entscheidet, ob er eine neue
Produktionsanlage zur Kapazitätserweiterung baut oder nicht.
Spieler 2 entscheidet, ob er in den Markt eintritt.
Spieler 1 kennt die Kosten seiner Kapazitätserweiterung, nicht aber
Spieler 2. Dieser weiß nicht, ob die Kosten 3 oder 0 sind. Er glaubt, dass
die Wahrscheinlichkeit hoher Kosten p ist.
Die Profitabilität des Marktzutritts für Spieler 2 hängt von der
Kapazitätserweiterung und damit indirekt von deren Kosten ab:
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Niedrige Inv.-Kosten
für Spieler 1
(Wahrscheinlichkeit 1 − p)
Hohe Inv.-Kosten
für Spieler 1
(Wahrscheinlichkeit p)
2
1@
@
Zutritt
Kein Z.
Investition
0, -1
Keine I.
2, 1
2
1@
@
Zutritt
Kein Z.
2, 0
3, -1
5, 0
3, 0
2, 1
3, 0
Abb. 5.1: Marktzutrittsspiel (Variante 1)
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Analyse des Spiels:
Spieler 1 hat eine dominante Strategie:
“Investiere nicht”, falls die Kosten hoch sind;
“Investiere”, falls sie niedrig sind.
Für Spieler 2 ist es optimal zuzutreten, wenn p ≥ 12 .
Gleichgewicht:
Spieler 1 investiert genau dann, wenn seine Kosten niedrig sind.
Spieler 2 tritt zu, wenn p ≥
1
2
Beachten Sie, dass wir das Spiel durch iterierte Elimination von strikt
dominierten Strategien lösen konnten.
Die Lösung des Spiels wird etwas komplizierter, wenn die niedrigen Kosten
statt 0 betragen:
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2
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Niedrige Inv.-Kosten
für Spieler 1
(Wahrscheinlichkeit 1 − p)
Hohe Inv.-Kosten
für Spieler 1
(Wahrscheinlichkeit p)
2
1@
@
2
1@
@
Zutritt
Kein Z.
Zutritt
Investition
0, -1
2, 0
3
2,
Keine I.
2, 1
3, 0
2, 1
-1
Kein Z.
7
2,
0
3, 0
Abb. 5.2: Marktzutrittsspiel (Variante 2)
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Analyse des Spiels:
Wenn Spieler 1 hohe Kosten hat, hat er wieder die dominante Strategie,
nicht zu investieren.
Wenn Spieler 1 niedrige Kosten hat, hat er keine dominante Strategie
mehr. Seine optimale Strategie hängt jetzt von der Wahrscheinlichkeit y e
ab, die er dem Ereignis zuordnet, dass Spieler 2 zutritt. Er wird
investieren, falls
3 e 7
y + (1 − y e ) > 2 y e + 3 (1 − y e ).
2
2
Sei x die Wahrscheinlichkeit mit der Spieler 1 investiert. Seine
Beste-Antwort-Korrespondenz ist dann


falls y e < 1/2
1
∗ e
x (y ) = [0, 1] falls y e = 1/2


0
falls y e > 1/2.
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Was wird Spieler 2 tun? Sei x e die Wahrscheinlichkeit, die Spieler 2 dem
Ereignis zuordnet, dass Spieler 1 investiert, gegeben, dass Spieler 1
niedrige Kosten hat. (Wenn er hohe Kosten hat, wird er nie investieren).
Spieler 2 wird zutreten, falls
p + (1 − p) [−x e + (1 − x e )] > 0.
Also ist die Beste-Antwort-Korrespondenz von Spieler 2

falls x e <

1
y ∗ (x e ) = [0, 1] falls x e =


0
falls x e >
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1
2(1−p)
1
2(1−p)
1
2(1−p) .
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Ein (Bayesianisches) Nash-Gleichgewicht in diesem Spiel ist ein Paar
(x, y ) von wechselseitig besten Antworten (und korrekten Erwartungen), d.h.
x = x ∗ (y ) und y = y ∗ (x).
Fallunterscheidung: (Beachte:
1
2(1−p)
≥ 1 ⇔ p ≥ 21 )
p > 12 . Dann wählt Spieler 2 stets y ∗ = 1. Das eindeutige Gleichgewicht
ist ((0, 0), 1), d.h., “Keine Investition bei hohen und niedrigen Kosten,
Marktzutritt”. Warum ist das auch intuitiv sofort einleuchtend?
p < 12 . Hier gibt es drei Gleichgewichte:
1) ((0, 0), 1): Keine Investition bei hohen und niedrigen Kosten, Marktzutritt.
2) ((0, 1), 0): Keine Investition bei hohen Kosten, Investition bei niedrigen
Kosten,
kein
Marktzutritt.
1
3)
0, 2(1−p)
, 12 : Keine Investition bei hohen Kosten, ansonsten gemischte
Strategien.
p = 12 . Dieser Fall ergibt unendlich viele Gleichgewichte: ((0, 0), 1) wie
oben, und ((0, 1), y ) mit 0 ≤ y ≤ 12 .
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y
.......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...................................................................................................................
x
Abb. 5.3: Beste-Antwort-Korrespondenzen
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5.3 Typen und Beliefs über Typen
Im Allgemeinen kann sich unvollständige Information auf viele verschiedene
Aspekte des Spiels beziehen:
die Auszahlungsfunktion der Gegenspieler;
die Strategienräume der Gegenspieler;
die Informationslage der Gegenspieler.
Harsanyi (1967) hat eine allgemeine Methode vorgeschlagen, die es
ermöglicht, all diese Informationsunvollständigkeiten auf dieselbe Weise sehr
elegant zu modellieren.
Dazu fassen wir die private Information von Spieler i in seinem “Typ” ti ∈ Ti
zusammen. Ti ist die Menge der möglichen Typen (Typenraum) von Spieler i.
Die Auszahlungsfunktion von Spieler i hängt jetzt nicht nur von den gewählten
Strategien aller Spieler, sondern auch von seinem Typ ab:
ui = ui (ai , a−i , ti ).
Etwas formaler heißt das ui : Ai × A−i × Ti → R.
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Was ist ein “Typ”? Beispiele:
Spieler i hat private Information über seine Auszahlungen, z.B. über seine
Kostenfunktion, seine Zahlungsbereitschaft für ein öffentliches Gut etc.
Spieler i hat private Information über seine möglichen Strategien. Sei Ai
der Aktionenraum aller grundsätzlich wählbaren Aktionen. Wenn einem
bestimmten “Typ” t̂i von Spieler i eine Aktion âi ∈ Ai nicht zur Verfügung
steht, können wir einfach annehmen, dass
ui (âi , a−i , t̂i ) = −∞ ∀ a−i ∈ A−i .
Spieler i ist mit positiver Wahrscheinlichkeit “irrational” und wählt immer
eine bestimmte Aktion āi , auch wenn diese seine Auszahlung nicht
maximiert. Dann existiert mit positiver W. ein Typ t̄i , dessen
Auszahlungsfunktion so ist, dass āi eine dominante Strategie ist:
ui (āi , a−i , t̄i ) > ui (ai , a−i , t̄i ) ∀ ai ∈ Ai \ {āi }, a−i ∈ A−i .
Beachten Sie: Die Auszahlungsfunktion von Spieler i hängt nur von seinem
eigenen Typ ti ab, nicht vom Typenprofil seiner Gegenspieler. Allerdings
beeinflusst das Typenprofil der Gegenspieler deren Strategien und damit
indirekt die Auszahlung von Spieler i.
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Harsanyis Idee:
Es gibt einen zusätzlichen Spieler: die “Natur”.
Bevor das eigentliche Spiel beginnt, zieht die “Natur” eine
Typenrealisierung für jeden Spieler gemäß einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung über alle möglichen Typenprofile.
Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung ist common knowledge.
Jeder Spieler erfährt seinen eigenen Typ (aber nicht den der anderen),
bevor das eigentliche Spiel beginnt.
Der Trick bei Harsanyis Idee ist, dass er aus einem Spiel mit unvollständiger
Information ein Spiel mit vollständiger, aber unvollkommener Information
macht. Wie ein solches Spiel analysiert werden kann, wissen wir bereits!
Im Beispiel des Marktzutrittsspiels können wir Harsanyis Idee durch den
folgenden Spielbaum darstellen:
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N
u
............................. 1 − p
p ..............
..........
..........
.........
.
.
.
.
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......... 1
.
1 .......
.
.....u
.
.
.
.
u..
.
.
.
.
.. .....
............
.
.
.
.
Inv.
Inv.
.Keine
.Keine
Inv.....
Inv.....
.....
.....
.....
.....
..
...
.
.
.
.
.
.....
.....
.
.
2
....u
....u
....
....
.. ..u...
..
.. ...
.. ..u...
.. . .....
.. ...
.. ....
.. ....
.
Zutritt ..
..Kein
.. .....
.. ....
... Zutritt ... .....
.
.
.
...
.
.
.. .
.
...
...
...
..
.
.
..
..
.
..
.
0
−1
2
0
2
1
3
0
3/2
−1
7/2
0
2
1
3
0
Abb. 5.4: Spielbaum, der unvollkommene als imperfekte Information abbildet
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Betrachten wir Spiele mit asymmetrischer Information nun etwas formaler.
Dazu benötigen wir folgende Notation:
t = (t1 , t2 , . . . , tn ) ist ein Vektor der realisierten Typen der Spieler 1 bis n.
T = T1 × T2 × . . . × Tn ist der Typenraum für alle Spieler.
p(t) ist eine n-dimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung über die
Menge der möglichen Typenprofile.
pi (t−i |ti ) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Spieler i über die
Typen der Gegenspieler {−i}, gegeben sein eigener Typ ti . Somit ist
pi (t−i |ti ) eine (n − 1)-dimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung.
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Bemerkungen:
Beliefs: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung pi (t−i |ti ) eines Spielers über
die Typen seiner Gegenspieler wird Spieler i’s “Belief” genannt. Beliefs
werden nach Bayes’ Regel als bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnet:
pi (t−i |ti ) =
p(t−i , ti )
p(ti )
Erinnerung: Wenn wir zwei Ereignisse A und B haben. Dann sagt Bayes’
Regel:
W (A ∩ B)
W (B | A) =
.
W (A)
Wichtig ist die Annahme, dass alle Spieler von derselben
ex-ante-Wahrscheinlichkeitsverteilung p(t)
ausgehen, mit der die Natur die Typen auswählt. Dies gewährleistet,
dass die Beliefs miteinander kompatibel sind (z.B. halten alle Spieler
dieselben Ereignisse für möglich) und dass es Common Knowledge ist,
welche Beliefs Spieler i mit Typ ti hat.
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Die Wahrscheinlichkeiten der Typen der verschiedenen Spieler können
miteinander korreliert sein. Dann lernt ein Spieler, wenn er seinen
eigenen Typ erfährt, auch etwas über die Typen seiner Gegenspieler
(Beispiel: Auktion um Schürfrechte).
Meistens werden wir jedoch den Fall stochastisch unabhängiger Typen
betrachten. Dann gilt:
pi (t−i |ti ) =
p(t−i ) · p(ti )
= p(t−i ) ∀ti ∈ Ti
p(ti )
In diesem Fall sind die Beliefs eines jeden Spielers also unabhängig von
seinem Typ.
Wegen der Bedeutung von Bayes’ Regel (siehe unten) in der
Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten werden Spiele mit
unvollständiger Information auch Bayesianische Spiele genannt.
Nach diesen Vorbereitungen können wir nun die Normalform eines Spieles
mit unvollständiger Information definieren:
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Definition 5.1 (Normalform eines Bayesianischen Spiels)
Die Normalform eines Bayesianischen Spiels
G = {A1 , . . . , An ; T1 , . . . , Tn , p1 , . . . , pn , u1 , . . . , un }
spezifiziert:
1) die Menge der Spieler, {1, . . . , n};
2) die Aktionenräume A1 , . . . , An ;
3) die Typenräume T1 , . . . , Tn der Spieler;
4) die Beliefs p1 , . . . , pn der Spieler, wobei
pi (t−i |ti ) =
p(t−i , ti )
p(ti )
durch Bildung bedingter Erwartungswerte aus der gemeinsamen
Wahrscheinlichkeitsverteilung p(t) abgeleitet werden kann, nach der die
Natur die Typen aller Spieler auswählt;
5) die Nutzenfunktionen u1 , . . . , un der Spieler.
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5.4 Bayesianisches Nash-Gleichgewicht
Unterschiedliche Typen eines Spielers können unterschiedliche Aktionen
wählen. Darum müssen wir den Strategiebegriff etwas erweitern:
Definition 5.2 (Strategie in einem Bayesianischen Spiel)
Eine reine Strategie von Spieler i ist eine Funktion si : Ti → Ai , die jedem
möglichen Typ von Spieler i eine Aktion ai ∈ Ai zuordnet. Entsprechend
ordnet eine gemischte Strategie jedem Typen eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung σi (ti ) über die möglichen Aktionen zu.
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Bemerkungen:
Eine Strategie muss für alle Typen spezifiert sein, auch für die, die von
der Natur nicht gezogen worden sind.
Begründung: Spieler i’s optimale Strategie hängt ab von den Strategien
seiner Gegenspieler. Diese hängen wiederum von den Strategien aller
Typen von Spieler i ab. Also muss sich Spieler i zur Vorhersage der
Strategien seiner Gegenspieler Gedanken darüber machen, was er tun
würde, wäre er ein anderer möglicher Typ.
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Erwartete Auszahlungen:
Betrachten wir Spieler i und nehmen wir an, dass Spieler i erwartet, dass
seine Gegenspieler das reine Strategienprofil s−i = (s1 , . . . , si−1 , si+1 , . . . , sN )
spielen.
Wenn Spieler i vom Typ ti ist, dann erwartet Spieler i, dass das Aktionenprofil
s−i (t−i ) = (s1 (t1 ), . . . , si−1 (ti−1 ), si+1 (ti+1 ), . . . , sN (tN ))
mit Wahrscheinlichkeit p(t−i |ti ) gespielt wird.
Wenn Spieler i mit Typ ti die Aktion ai wählt, so erhält er also mit
Wahrscheinlichkeit p(t−i |ti ) die Auszahlung
ui (ai , s−i (t−i ), ti ).
Insgesamt ist seine erwartete Auszahlung daher
X
E (ui (ai , s−i , ti )) =
pi (t−i |ti ) ui (ai , s−i (t−i ), ti ).
t−i ∈T−i
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Dies führt uns zu der folgenden Gleichgewichtsdefinition.
Definition 5.3 (Bayesianisches Nash-Gleichgewicht)
Ein Strategientupel s∗ = (s1∗ , . . . , sn∗ ) ist ein Bayesianisches
Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien eines Spiels mit unvollständiger
∗
, ti ) von
Information, wenn ai = si∗ (ti ) die erwartete Auszahlung E ui (ai , s−i
Spieler i maximiert, für alle i = 1, . . . , n und alle ti ∈ Ti .
Bemerkungen:
1) Die Idee ist genau dieselbe wie beim Nash-Gleichgewicht: Gegeben die
Strategien der Gegenspieler muss jeder Spieler eine beste Antwort
wählen. Hinzu kommt lediglich, dass dies für jeden Typ eines Spielers
gelten und dass der Erwartungswert über die Typen der anderen Spieler
gebildet werden muss.
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2) Bei gemischten Strategien muss zusätzlich für jedes Typenprofil t−i der
anderen Spieler der Erwartungswert über die Aktionsprofile a−i gebildet
werden. Sei σk (ak |tk ) die Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler k vom Typ tk
die Aktion ak wählt. Ist das Typenprofil
Q t−i , wird a−i mit der
Wahrscheinlichkeit σ−i (a−i |t−i ) = k 6=i σk (ak |tk ) gespielt. Die erwartete
Auszahlung ūi (ai , σ−i , ti ) für Spieler i vom Typ ti , wenn er ai wählt, ist
somit
X
X
pi (t−i |ti )
σ−i (a−i |t−i ) ui (ai , a−i , ti ).
t−i ∈T−i
a−i ∈A−i
3) σi ist genau dann eine beste Antwort auf σ−i , wenn für alle ti ∈ Ti jede
Aktion ai mit σi (ai |ti ) > 0 die erwartete Auszahlung ūi (ai , σ−i , ti )
maximiert.
4) In endlichen Spielen mit unvollständiger Information existiert stets ein
Bayesianisches Nash-Gleichgewicht, eventuell in gemischten Strategien.
Der Beweis ist fast identisch mit demjenigen bei vollständiger Information.
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5.5 Purifizierung gemischter Strategien
Wir hatten in Kapitel 2 bereits angedeutet, dass man ein Gleichgewicht in
gemischten Strategien eines Spiels mit vollständiger Information als
Gleichgewicht in reinen Strategien eines Spiels mit unvollständiger
Information interpretieren kann.
Der entscheidende Punkt eines Gleichgewichts in gemischten Strategien ist in
der Tat nicht, dass beide Spieler randomisieren, sondern dass jeder Spieler
unsicher darüber ist, welche Aktion sein Gegenspieler wählen wird.
Betrachten Sie erneut den “Kampf der Geschlechter”. Allerdings kennen nun
beide Spieler die Auszahlungsfunktion ihrer Gegenspieler nicht genau:
Spieler 2 weiß nicht genau, welche Auszahlung Spieler 1 erhält, wenn
beide zum Boxen gehen. Sie glaubt, dass seine Auszahlung 2 + t1 ist,
wobei t1 gleichverteilt im Intervall [0, x] ist.
Spieler 1 weiß nicht genau, welche Auszahlung Spieler 2 erhält, wenn
beide zum Ballett gehen. Er glaubt, dass ihre Auszahlung 2 + t2 ist,
wobei t2 wieder gleichverteilt im Intervall [0, x] ist.
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2
@
1 @
@
Boxen
Ballett
Boxen
2 + t1 , 1
0, 0
Ballett
0, 0
1, 2 + t2
Abb. 5.5: Kampf der Geschlechter
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Wir werden ein Gleichgewicht in reinen Strategien konstruieren, in dem
Spieler 1 genau dann zum Boxen geht, wenn t1 ≥ c1 ;
Spieler 2 genau dann zum Ballett geht, wenn t2 ≥ c2 .
In diesem Gleichgewicht ist
die Wahrscheinlichkeit, die Spieler 2 dem Ereignis zuordnet, dass Spieler
1
1 zum Boxen geht, gleich x−c
x ;
die Wahrscheinlichkeit, die Spieler 1 dem Ereignis zuordnet, dass Spieler
2
2 zum Ballett geht, gleich x−c
x .
Wie groß müssen die Werte von c1 und c2 sein, damit diese Strategien ein
Bayesianisches Nash-Gleichgewicht bilden?
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Spieler 1 wird Boxen vorziehen, falls:
E(u1 |Bo) ≥ E(u1 |Ba)
(1 −
x − c2
) · (2 + t1 ) ≥
x
t1
≥
x − c2
·1
x
x
− 3 ≡ c1
c2
Spieler 2 wird Ballett vorziehen, falls:
E(u2 |Ba) ≥ E(u2 |Bo)
(1 −
x − c1
) · (2 + t2 ) ≥
x
t2
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≥
x − c1
·1
x
x
− 3 ≡ c2
c1
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Daraus folgt für c1 und c2 :
c1 = c2 = c und c 2 + 3c − x = 0
Auflösen nach c:
3
c=− +
2
r
9 + 4x
4
Daraus ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler 1 Boxen bzw.
Spieler 2 Ballett wählt:
√
x −c
9 + 4x − 3
=1−
x
2x
Was passiert, wenn die unvollständige Information sehr klein wird, d.h., wenn
x → 0?
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√
lim
x→0
9 + 4x − 3
2x
√
√
( 9 + 4x − 3)( 9 + 4x + 3)
√
x→0
2x( 9 + 4x + 3)
9 + 4x − 9
√
= lim
x→0 2x( 9 + 4x + 3)
2
1
= lim √
=
x→0
3
9 + 4x + 3
=
lim
Fazit: Wir können das Gleichgewicht in gemischten Strategien 23 , 13
des Spiels mit vollständiger Information als Gleichgewicht in reinen
Strategien eines Spiels mit unvollständiger Information interpretieren,
bei dem die Informationsunvollständigkeit sehr klein ist.
Harsanyi (1973) hat gezeigt, dass diese “Purifizierung” von Gleichgewichten
in gemischten Strategien bei (fast) allen Spielen möglich ist.
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5.6 Auktionen
Ein Objekt soll versteigert werden.
Es gibt zwei Bieter mit den Zahlungsbereitschaften v1 ≥ 0 und v2 ≥ 0.
Diese Zahlungsbereitschaften sind private Information.
Wir nehmen an, dass v1 und v2 stochastisch unabhängig voneinander
sind (“independent private values”).
Sei p der zu zahlende Preis. Dann ist die Auszahlung von Spieler i
(
vi − p falls er das Gut erhält,
ui =
0
falls er das Gut nicht erhält.
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5.6.1 Die Zweitpreis-Auktion
Regeln der Zweitpreis-Auktion (sealed-bid second-price auction):
Beide Spieler schreiben simultan ihre Gebote bi auf einen Zettel.
Der Spieler mit dem höheren Gebot bekommt das Gut zum Preis des
zweithöchsten Gebotes.
Bei identischen Geboten erhält jeder Bieter das Gut mit
Wahrscheinlichkeit 12 .
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Die Zweitpreis-Auktion ist strategisch äquivalent zu einer offenen englischen
Auktion mit den folgenden Regeln:
Bei 0 beginnend, hebt der Auktionator den Preis kontinuierlich an.
Beide Bieter “gehen mit”, solange sie sich an der Auktion beteiligen
wollen.
Wenn einer der beiden als erster “aussteigt”, erhält der andere das Gut
zum Preis p, bei dem der erste aufgibt.
Bei gleichzeitiger Aufgabe erhält jeder Bieter das Gut mit
Wahrscheinlichkeit 12 .
Bemerkungen:
Warum sind diese beiden Auktionen äquivalent?
Gilt das auch, wenn “common values” vorliegen?
Beachten Sie, dass in der Zweitpreisauktion das Gebot bi von Spieler i
keinen Einfluss auf den Preis hat, den i zahlen muss, falls er die Auktion
gewinnt. Dieser wird allein durch bj bestimmt. Aber das Gebot bi
beeinflusst, ob i die Auktion gewinnt.
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Satz 5.1
In der Zweitpreis-Auktion ist es für jeden Spieler eine schwach dominante
Strategie, seine tatsächliche Zahlungsbereitschaft zu bieten.
Beweis: Sei bj das höchste Gebot aller übrigen Bieter. Angenommen Spieler i
bietet bi < vi :
Falls bj ≥ vi , ist es egal, ob Spieler i bi oder vi geboten hat, da seine
Auszahlung in beiden Fällen 0 ist.
Falls bj < bi , ist es auch egal, ob Spieler i bi oder vi geboten hat, da er in
beiden Fällen die Auktion gewinnt und bj zahlen muss.
Wenn aber bi ≤ bj < vi , hätte Spieler i mit dem Gebot vi die Auktion
gewonnen und die Auszahlung vi − bj > 0 bekommen, während er mit
dem Gebot bi die Auktion verliert und die Auszahlung 0 bekommt.
Also dominiert das Gebot vi alle Gebote bi < vi schwach.
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Nehmen wir jetzt an, Spieler i bietet bi > vi .
Falls bj > bi , ist es egal, ob Spieler i bi oder vi geboten hat, da seine
Auszahlung in beiden Fällen 0 ist.
Falls bj ≤ vi , ist es auch egal, ob Spieler i bi oder vi geboten hat, da er in
beiden Fällen die Auktion gewinnt und bj zahlen muss.
Wenn aber vi < bj ≤ bi , hätte Spieler i mit dem Gebot vi die Auktion
verloren und eine Auszahlung von 0 bekommen, während er mit dem
Gebot bi die Auktion gewinnt und den Verlust vi − bj ≤ 0 macht.
Also dominiert das Gebot vi auch alle Gebote bi > vi schwach.
Q.E.D.
Also existiert in der Zweitpreis-Auktion ein Bayesianisches
Nash-Gleichgewicht, in dem alle Spieler ihre wahre Zahlungsbereitschaft
bieten.
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Im Spezialfall, dass die Zahlungsbereitschaften vi auf dem Intervall [0, 1]
gleichverteilt sind, ist die erwartete Auszahlung von Spieler i mit Typ vi in
diesem Gleichgewicht der Zweitpreis-Auktion
Z
E[ui |vi ] =
0
vi
vj =vi
1
1
= vi2 .
[vi − vj ]dvj = vi vj − vj2
2
2
vj =0
Dieses Gleichgewicht ist das einzige symmetrische Gleichgewicht. Es gibt
aber auch andere, asymmetrisch Bayesianische Nash-Gleichgewichte. Zum
Beispiel ist es ein Gleichgewicht, wenn ein Bieter einen Preis bietet, der höher
ist als die höchstmögliche Zahlungsbereitschaft aller anderen Bieter und die
anderen Bieter bieten alle 0.
Zeigen Sie, dass das tatsächlich ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht ist.
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5.6.2 Die Erstpreis-Auktion
Regeln der Erstpreis-Auktion (sealed-bid first-price auction):
Beide Spieler schreiben simultan ihre Gebote bi auf einen Zettel.
Der Spieler mit dem höheren Gebot bekommt das Gut zum Preis seines,
d.h. des höchsten Gebotes.
Bei identischen Geboten erhält jeder Bieter das Gut mit
Wahrscheinlichkeit 12 .
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Die Erstpreis-Auktion ist äquivalent zu einer holländischen Auktion mit den
folgenden Regeln:
Bei einem sehr hohen Preis beginnend, senkt der Auktionator den Preis
kontinuierlich, bis ein Bieter zugreift.
Bei gleichzeitigem Zugreifen erhält jeder Bieter das Gut mit
Wahrscheinlichkeit 12 .
Bemerkungen:
Warum sind diese beiden Auktionen äquivalent?
Gilt das auch, wenn “common values” vorliegen?
Ist es dieser Auktion ist immer noch eine schwach dominante Strategie,
seine tatsächliche Zahlungsbereitschaft zu bieten?
Im Gleichgewicht wird jeder Bieter etwas weniger als seine
Zahlungsbereitschaft bieten. Wieviel er genau bieten sollte, hängt von
der Anzahl der Bieter und der Verteilung der möglichen
Zahlungsbereitschaften ab. Für ein einfaches Beispiel können wir das
Gleichgewicht ausrechnen.
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Satz 5.2
Wenn es zwei Bieter gibt, deren Zahlungsbereitschaften vi auf dem Intervall
[0, 1] unabhängig gleichverteilt sind, so ist es ein Bayesianisches
Nash-Gleichgewicht in der Erstpreis-Auktion, dass jeder Spieler i den Betrag
bi = vi /2 bietet.
Beweis:
Auszahlung von Spieler i mit Typ vi in Abhängigkeit von bi , gegeben dass
Spieler j den Betrag bj = vj /2 bietet:
(
vi − bi falls bi > vj /2
ui =
0
falls bi < vj /2
(Warum können wir den Fall bi = vj /2 vernachlässigen?)
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Aufgrund der Gleichverteilung von vj über [0, 1] ergibt das:
E[ui |vi ]
=
(vi − bi ) · W (vj < 2bi )
=
(vi − bi ) · 2bi
Dies ist maximal, wenn bi = vi /2.
Q.E.D.
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Bemerkungen:
Hier war der Gleichgewichtskandidat schon gegeben und wir mußten nur
prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Gleichgewicht handelt. In einer der
Übungsaufgaben sollen Sie das Gleichgewicht selbständig herleiten.
Im Gleichgewicht bietet jeder Spieler weniger als seine
Zahlungsbereitschaft: Das optimale Gebot löst den Trade-off zwischen
einer möglichst hohen Rente und einer möglichst hohen
Wahrscheinlichkeit, die Auktion zu gewinnen.
Wenn es mehr als zwei Bieter gibt, die Zahlungsbereitschaften aber
immer noch statistisch unabhängig und gleichverteilt sind, ist es ein
Bayesianisches Nash-Gleichgewicht, wenn jeder Spieler
bi = (1 −
1
)v
n
bietet. Je größer n, umso näher ist das Gebot an der tatsächlichen
Zahlungsbereitschaft und umso größer ist der erwartete Erlös des
Auktionators.
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Übungsaufgabe: Vergleichen Sie den erwarteten Erlös des Auktionators im
symmetrischen Gleichgewicht der Zweitpreis-Auktion mit seinem erwarteten
Erlös im symmetrischen Gleichgewicht der Erstpreis-Auktion. In beiden Fällen
gibt es zwei Bieter und der Auktionator weiß nur, dass beide
Zahlungsbereitschaften unabhängig gleichverteilt sind. Zeigen Sie, dass der
erwartete Erlös in beiden Auktionen gleich ist.
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Bemerkungen:
Das “Erlös-Äquivalenz Theorem” (revenue equivalence theorem) besagt,
dass bei risikoneutralen Bietern, die stochastisch unabhängige Signale
über ihre Zahlungsbereitschaften bekommen, die symmetrischen
Gleichgewichte der Erstpreis- und Zweitpreis-Auktion immer denselben
erwarteten Erlös erzielen.
Diese beiden Auktionsformen maximieren die Erlöse des Auktionators
jedoch nicht. In unserem einfachen Beispiel wird der erwartete Erlös des
Auktionators durch eine Erstpreisauktion mit Mindestgebot maximiert.
Diese Auktion ist aber nicht effizient, weil das Gut mit positiver
Wahrscheinlichkeit nicht verkauft wird.
Welche Auktionsform bei komplizierteren Problemen erlösmaximierend
oder effizient ist, ist eine wichtige Frage der Theorie des
Mechanismen-Designs.
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5.6.3 Ein Beispiel mit Common Values
Es gibt zwei Bieter i = {1, 2}, von denen jeder vor Beginn der Auktion ein
unabhängiges Signal ti ∈ [0, 1] über den Wert des Gutes bekommen hat. Die
Zahlungsbereitschaft von Bieter i hängt nicht nur von seinem eigenen Signal,
sondern auch vom Signal des anderen Bieters ab:
vi = αti + γtj ,
mit α ≥ γ ≥ 0 Beachten Sie:
Wenn α = 1 und γ = 0, sind wir wieder im Fall mit independent private
values.
Wenn α = γ sind die Zahlungsbereitschaften beider Bieter immer
identisch. (Beispiel: Schürfrechte für Ölfeld)
Wenn α > γ > 0 sind die Zahlungsbereitschaften zwar verschieden, aber
positiv miteinander korreliert.
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Satz 5.3
Bei einer Zweitpreis-Auktion gibt es ein eindeutiges symmetrisches
Bayesianisches Nash-Gleichgewicht, in dem jeder Bieter
bi = (α + γ)ti
bietet.
Beweis: Angenommen Spieler 2 benutzt diese Bietstrategie. Wenn Spieler 1
das Gebot b1 macht, gewinnt er die Auktion, wenn b1 > (α + γ)t2 . Da t2 auf
dem Interval [0, 1] gleichverteilt ist, gewinnt das Gebot b1 mit
b1
.
Wahrscheinlichkeit α+γ
Wenn b1 > b2 und das Gebot b1 gewinnt, bezahlt Spieler 1 den Preis b2 , der
auf dem Interval [0, b1 ] gleichverteilt ist. Beachten Sie, dass wir hier die
bedingte Verteilung von b2 betrachten, gegeben, dass b2 < b1 . Also ist der
erwartete Preis, den Bieter 1 im Erfolgsfall zahlen muss 12 b1 .
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Jetzt berechnen wir die erwartete Auszahlung von Spieler 1, wenn er b1
bietet.
Mit Wahrscheinlichkeit
Erwartungswert 21 b1 .
b1
α+γ
gewinnt er die Auktion und bezahlt im
Der Erwartungswert des Signals von Bieter 2, gegeben, dass Bieter 2 die
b2
b1
. [Beachten Sie, dass t2 = α+γ
. Das
Auktion verloren hat, ist 2(α+γ)
erwartete Gebot von Bieter 2, gegeben, dass er die Auktion verliert, ist
b1
1
2 b1 . Also ist das erwartete Signal 2(α+γ) .]
Also ist der erwartete Gewinn von Bieter 1, gegeben, dass er die Auktion
gewinnt,
1
b1
− b1 .
αt1 + γ
2(α + γ) 2
Mit der Restwahrscheinlichkeit verliert Bieter 1 die Auktion und bekommt
eine Auszahlung von 0.
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Also ist seine erwartete Auszahlung beim Gebot b1
b1
b1
1
EU1 (b1 | t1 ) =
αt1 + γ
− b1
α+γ
2(α + γ) 2
αb1 (2(α + γ)t1 − b1 )
=
2(α + γ)2
Bieter 1 wählt sein Gebot b1 so, dass dieser Ausdruck maximiert wird. Wenn
wir nach b1 ableiten bekommen wir die BEO
dEU1 (b1 | t1 )
2α(α + γ)t1 − 2αb1
=
=0
db1
2(α + γ)2
bzw.
b1 = (α + γ)t1 .
Also ist die vorgeschlagene Bietstrategie für Bieter 1 optimal, wenn Bieter 2
sich an diese Strategie hält. Wegen der Symmetrie des Spiels muss auch das
umgekehrte gelten. Also liegt hier tatsächlich ein Bayesianisches
Nash-Gleichgewicht vor.
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Bemerkungen:
Ein naiver Bieter 1 würde sagen, dass das erwartete Signal des anderen
Bieters 12 ist. Also ist seine Zahlungsbereitschaft αt1 + γ · 12 . Da es eine
Zweitpreisauktion ist, sollte er auch genau diesen Betrag bieten.
Diese Argumentation ist aber falsch, weil sie nicht berücksichtigt, dass
Bieter 1 die Auktion nur dann gewinnt, wenn das Signal von Bieter 2
niedriger als sein eigenes Signal ist. Er gewinnt also nur dann, wenn das
Gut für ihn relativ wenig wert ist.
Im Gleichgewicht berücksichtigt Bieter 1 diesen Effekt. Wenn sein
eigenes Signal niedrig ist, bietet er weniger, weil er weiß, dass er die
Auktion nur dann gewinnt, wenn das Signal seines Gegenspielers noch
niedriger und das Gut darum nur wenig wert ist. Wenn sein eigenes
Signal dagegen hoch ist, bietet er mehr als der naive Bieter.
Übungsaufgabe: Zeigen Sie, dass es bei einer Erstpreis-Auktion in diesem
Beispiel ein Gleichgewicht ist, wenn jeder Bieter bi = α+γ
2 ti bietet.
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