P5 Elektromagnetische Induktion C

Physikalisches Praktikum für Pharmazeuten
P5: Elektromagnetische Induktion
C. Nachbereitungsteil (NACH der Versuchsdurchführung lesen!)
4. Physikalische Grundlagen
4.1 Wechselspannungen und Wechselströme
Im Gegensatz zu Gleichspannung und Gleichstrom, bei denen sich die Spannung U= bzw. der Strom I=
zu jeder Zeit den gleichen Betrag und die gleiche Richtung haben, ändert sich bei Wechselspannung
U≈ und Wechselstrom I≈ sowohl der Betrag als auch die Richtung als Funktion der Zeit. Da im Folgenden nur noch Wechselspannungen und -ströme untersucht werden, wird der Übersichtlichkeit halber das Zeichen „≈“ weggelassen.
Häufig hat man es mit sinusförmigen Wechselspannungen zu tun, obwohl in Spezialfällen auch andere
Formen (z.B. Rechteck- oder Dreieckspannungen) verwendet werden. Für die Zeitabhängigkeit der
sinusförmigen Wechselspannung gilt die Gleichung:
F (3)
U (t ) = U 0 ⋅ sin ωt
Die Spannung variiert also zwischen den Werten –U0 und +U0. Der Wert U0 wird als Scheitelspannung
bezeichnet. Die Größe ω wird Kreisfrequenz genannt, für die die Beziehung
2π
1
, da ν =
T
T
gilt. Hier ist ν die Frequenz, die angibt, wie oft eine komplette Sinusschwingung pro Zeiteinheit
durchlaufen wird. Die Einheit der Frequenz ist 1 Hertz (1 Hz = 1 s-1), was 1 Schwingung pro Sekunde
entspricht. T bezeichnet man als Periodendauer und gibt an, wie lange eine komplette Sinusschwingung dauert. Um Verwechslungen zwischen Frequenz ν und Kreisfrequenz ω zu vermeiden, gibt man
die Kreisfrequenz in der Regel nicht in der Einheit „Hz“ an, sondern schreibt hier explizit „ s-1 “ aus.
Der sinusförmige Verlauf der Wechselspannung gemäß F (3) ist in der Abb. 3 dargestellt.
F (4)
ω = 2πν
bzw.
ω=
Abb. 3: Wechselspannung mit einer sinusförmigen Zeitabhängigkeit
Neben der Scheitelspannung U0 ist die Effektivspannung Ueff eine weitere wichtige Kenngröße der
Wechselspannung. Der Effektivwert einer Wechselspannung entspricht derjenigen Gleichspannung,
bei der bei gleichem elektrischen Widerstand der gleiche Betrag an Joule’scher Wärme entsteht.
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Der Effektivwert einer Wechselspannung errechnet sich aus der Scheitelspannung nach
U0
F (5)
U eff =
Beispiel:
Die Angaben an elektrischen Haushaltsgeräten beziehen sich immer auf die Effektivspannung. Man findet dort: „230 V, 50 Hz“. Das bedeutet:
2
U eff = 230 V
→
U 0 = 2 ⋅ U eff = 325 V
ν = 50 Hz = 50 s −1
→
T = 0,02 s
ω = 2πν = 100π s −1 = 314,16 s −1
Alle hier für die Wechselspannung definierten Größen gelten entsprechend genauso für den Wechselstrom.
4.2 Induktivität von Spulen
In einem Gleichstromkreis, in dem sich ein elektrischer Widerstand R befindet, gilt zwischen Spannung U und Strom I das Ohm’sche Gesetz:
F (6)
U = R⋅I
Daher nennt man den Widerstand R auch Ohm’schen Widerstand. Baut man in den Gleichstromkreis
eine Spule ein, die ja nichts anderes als ein gewickelter Draht ist, so hat diese Spule einen in der Regel
kleinen Ohm’schen Widerstand (nämlich nur denjenigen des Drahtes), und auch für diesen Widerstand
gilt natürlich das Ohm’sche Gesetz F (6).
Im Wechselstromkreis hingegen verhalten sich Spulen anders als in Gleichstromkreisen. Hat die Spule
im Gleichstromfall noch einen sehr geringen Widerstand, so wird im Wechselstromfall an der Spule
eine Gegenspannung induziert, die proportional zur Stromänderung dI/dt ist. Je schneller sich der
Strom ändert, also je höher dessen Frequenz ist, desto größer wird diese Gegenspannung und behindert
damit den Stromfluss. Eine Spule ist also bestrebt, den in ihr fließenden Strom konstant zu halten; sie
„wehrt“ sich anschaulich gegen Stromänderungen. Sich nicht ändernde Gleichströme lässt eine Spule
demzufolge (abgesehen vom kleinen Ohm’schen Widerstand) gut durch.
Die an der Spule induzierte Spannung UL beträgt:
F (7)
U L = −L ⋅
dI
,
dt
wobei das Minuszeichen signalisiert, dass UL der anliegenden Spannung U entgegengerichtet ist. Die
Größe L bezeichnet man als Induktivität der Spule und gibt anschaulich an, wie stark sich die Spule
den Stromänderungen entgegenstellt. Die Einheit der Induktivität ist 1 Henry (1 H = 1 Vs/A).
Die Tatsache, dass der Strom durch eine Spule bei hohen Frequenzen behindert wird, lässt sich durch
einen induktiven Blindwiderstand RL darstellen, der im Gegensatz zum Ohm’schen Widerstand von
der Frequenz ω abhängt:
F (8)
RL = ω ⋅ L
Übrigens:
Auch Kondensatoren verhalten sich in Wechselstromkreisen anders als im Gleichstromfall. Ein Kondensator besteht im Prinzip aus zwei voneinander isolierten Platten,
die man durch eine angelegte Spannung elektrisch auflädt. Durch einen Kondensator
kann also kein Strom hindurchfließen. Daher ist der Widerstand im Gleichstromfall
unendlich groß.
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Wieviel Ladung Q ein Kondensator bei einer bestimmten angelegten Spannung U aufnehmen kann, wird durch die Kapazität C ausgedrückt:
F (9)
C=
Q
,
U
die in der Einheit „Farad“ (1 F = 1 C/V) angegeben wird.
Im Wechselstromfall hingegen fließt ständig Ladung auf die Platten und von den Platten ab. Je höher die Frequenz ist, desto weniger setzt der Kondensator dem Stromfluss
im Stromkreis entgegen. Einem unendlichen Ohm’schen Widerstand im Gleichstromfall steht hier also ein geringer kapazitiver Blindwiderstand RC im Wechselstromkreis
entgegen, der auch hier wieder von der Frequenz ω abhängig ist:
F (10)
RC =
1
ω ⋅C
4.3 Magnetfeld von Stabmagneten und stromdurchflossenen Leitern
Unter einem Magneten versteht man einen magnetischen Dipol (ähnlich einem elektrischen Dipol mit
den Punktladungen −q und +q ). Der wichtige Unterschied zwischen magnetischem und elektrischem
Dipol ist, dass sich der magnetische Dipol nicht in zwei einzelne magnetische Pole (Nord- und Südpol)
zerlegen lässt.
Da in der Umgebung eines Magneten jeder andere Magnetpol eine Kraft erfährt, sagt man, dass in
diesem Raum ein magnetisches Feld besteht. Die Feldlinien (siehe Abb. 4) geben für jeden Raumpunkt an, in welche Richtung ein hypothetischer (weil nicht existierender) einzelner magnetischer
Nordpol gezogen würde, bzw. den Bahnverlauf, auf dem dieser Nordpol zum entgegengesetzten Magnetpol (Südpol) wandern würde. Weil es solche einzelnen magnetischen Pole nicht gibt, sind die magnetischen Feldlinien immer in sich geschlossen (z.B. Rücklauf im Innern des Magneten, siehe Abb. 4).
(Im Gegensatz dazu können elektrische Feldlinien an einer positiven Ladung beginnen und an einer
negativen enden).
Abb. 4: Magnetfeld eines Stabmagneten
Magnetismus ist eine Eigenschaft, die prinzipiell auf elektrischen Strom (= bewegte elektrische Ladungen) zurückzuführen ist. Die Ströme können makroskopisch (Draht, Spule) oder mikroskopisch
(atomare Kreisströme) sein.
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Die Abb. 5 zeigt die Feldlinien eines geraden stromdurchflossenen Leiters. In diesem Feldlinienbild
entspricht die Dichte der Feldlinien der Stärke des Feldes. Die Richtung der Feldlinien kann man ermitteln, indem man mit dem Daumen der rechten Hand in Stromrichtung zeigt; die gekrümmten Finger geben dann die Richtung der magnetischen Feldlinien an.
Abb. 5: links: Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters;
rechts: Rechte-Faust-Regel zur Bestimmung der Richtung der Magnetfeldlinien
4.4 Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule
Fließt ein Strom durch eine Spule, so baut sich in und um diese Spule ebenfalls ein Magnetfeld auf.
Die Berechnung der Magnetfeldstärke einer Spule an einem beliebigen Punkt ist zwar exakt möglich,
jedoch im Allgemeinen aufwändig. Für lange, streng genommen unendlich lange Zylinderspulen vereinfacht sich die Situation: Die Feldlinien einer solchen Spule verlaufen im Innern parallel, und das
Magnetfeld ist an jeder Stelle des Spulenquerschnitts und unabhängig vom Ort auf der Längsachse
gleich groß, es ist also homogen (s. a. Abb. 6).
Abb. 6: Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule
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Eine unendlich lange Spule ist natürlich experimentell nicht zu verwirklichen. Eine Spule, die die Bedingung l ≫ r (l = Spulenlänge, r = Radius) erfüllt, verhält sich jedoch praktisch sehr ähnlich einer
unendlich langen Spule.
Das homogene Feld im Innern einer solchen Spule ist in Abb. 5 dargestellt. Im Außenraum der Spule
fällt das Magnetfeld sehr rasch auf kleine Werte ab, bei einer langen Spule mit 1 / z² (z = Abstand vom
Spulenende). Für den Betrag der magnetischen Feldstärke H (in A/m) im Innern einer unendlich langen Spule gilt folgende Beziehung:
F (11)
H∞ = I ⋅
n
l
I = Spulenstrom, n / l = Zahl der Windungen je Länge („Windungsdichte“)
r
Die Feldstärke H ist genau genommen eine gerichtete Größe, also ein Vektor H . Die Richtung in
jedem Punkt des Raumes gleicht derjenigen der Feldlinie, die durch diesen Punkt verläuft. Für die
weiteren Betrachtungen reicht es jedoch aus, nur die Beträge zu berücksichtigen. Der Betrag H der
Feldstärke wird umso größer, je dichter die Feldlinien zusammenliegen.
Für kurze Zylinderspulen, die die Bedingung l ≫ r nicht mehr erfüllen, kann eine Näherungsrechnung
durchgeführt werden. Die Magnetfeldstärke im Mittelpunkt einer solchen Spule lässt sich mit der bereits bekannten Formel F (1) berechnen.
F (1)
n
H =I⋅ ⋅
l
1
 2⋅r 
1+ 

 l 
2
r
Die magnetische Feldstärke H hat die Bedeutung einer Ursache, denn sie ist nur (bis auf die Spulenabmessungen) von der Größe des elektrischen Stroms I abhängig, der das Magnetfeld verursacht.
Die Wirkung des Magnetfelds einer Spule ist jedoch u. a. vom Medium abhängig und wird beschrier
ben durch die magnetische Flussdichte B . Für den Fall des physikalisch einfachsten Mediums, des
r
r
Vakuums (Luft verhält sich in magnetischer Hinsicht praktisch genauso), sind B und H einander
proportional, und es gilt:
F (12)
r
r
B = µ0 ⋅ H
Dabei ist µ 0 = 4π ⋅10 −7 Vs/Am die magnetische Feldkonstante (Permeabilität) des Vakuums.
Die magnetische Flussdichte im Innern einer unendlich langen, luftgefüllten Spule beträgt damit:
F (13)
B = µ0 ⋅ I ⋅
n
l
Wird ein magnetisches Material in das Feld gebracht, wird dies in den einfacheren Fällen durch einen
zusätzlichen dimensionslosen Faktor in Formel F (12) berücksichtigt, die relative Permeabilität µ r. Es
ist dann:
F (14)
r
r
B = µ0 ⋅ µr ⋅ H
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µ r kann bei ferromagnetischen Materialien Werte über 10 000 annehmen. Ein solches Material
„saugt“ die Feldlinien an, es konzentriert sie.
r
r
Die magnetische Flussdichte B ist genauso wie die magnetische Feldstärke H eine Vektorgröße,
r
wobei die Richtungen (Feldlinienverlauf) übereinstimmen. Der Betrag von B ist, wie der Name
„Flussdichte“ bereits andeutet, direkt durch die Feldliniendichte gegeben, d.h. durch die Zahl der je
Querschnitts-Flächenelement durchtretenden Feldlinien:
F (15)
B=
Φ
A
A ist dabei die von den Flusslinien durchsetzte Fläche. Der magnetische Fluss Φ (skalare Größe analog
der elektrischen Ladung, Einheit von Φ: 1 Vs) gibt also im Feldlinienbild die Anzahl der Feldlinien in
der jeweils betrachteten Querschnittsfläche an.
Fasst man die Formeln F (13) und F (15) zusammen, erhält man für den magnetischen Fluss Φ durch
eine in der Spule befindliche Fläche A:
F (16)
n
Φ = µ0 ⋅ I ⋅ ⋅ A
l
4.5 Induktionsgesetz und Lenz’sche Regel
In Abschnitt 4.2 wurde bereits beschrieben, dass eine Spule bestrebt ist, den Strom konstant zu halten
und damit natürlich auch ihren magnetischen Zustand, beschrieben durch den magnetischen Fluss Φ,
beizubehalten. Gegen Änderungen „wehrt“ sie sich durch Induzieren einer Gegenspannung, die den
Stromfluss durch die Spule auf den alten Wert zu bringen versucht. Die Größe dieser Induktionsspannung ist gegeben durch die zeitliche Änderung von Φ, d.h. durch die Ableitung von Φ nach der Zeit:
F (17)
U ind = −
dΦ
dt
(Induktionsgesetz)
Die Tatsache, dass die Induktionsspannung ein negatives Vorzeichen besitzt, also immer ihrer Ursache
entgegengerichtet ist, wird als Lenz’sche Regel bezeichnet.
Hat die Induktionsspule ni Windungen, vervielfacht sich die Induktionsspannung entsprechend, denn
in jeder Spulenwindung wird eine Spannung nach F (17) induziert, und die Spule stellt nichts anderes
als eine Reihenschaltung von Windungen dar:
F (18)
U ind = −ni ⋅
dΦ
dt
In Ihrem Versuch haben Sie gesehen, dass die Induktionsspannung proportional zur Windungszahl ni
der Induktionsspule ist. Diese Beobachtung wird durch die Gleichung F (18) wiedergegeben.
Ebenso haben Sie festgestellt, dass die induzierte Spannung zur Querschnittsfläche der Induktionsspule proportional ist. Dieser Umstand ergibt sich auch aus Gleichung F (18), wenn man sich klar macht,
dass der magnetische Fluss Φ = B ⋅ A ebenfalls proportional zur Fläche A ist. Würde man die Querschnittsfläche relativ zu den Feldlinien mit der Zeit verkleinern, beispielsweise indem man die Spule
im Magnetfeld rotiert, so würde sich der magnetische Fluss in der Spule ebenfalls ändern. Das erkennt
man leicht, indem man den magnetischen Fluss nach der Zeit unter Beachtung der Produktregel ableitet:
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F (19)
U ind = −ni ⋅
P5: Elektromagnetische Induktion
dΦ
d ( B ⋅ A)
dA 
 dB
= − ni ⋅
= − ni ⋅ 
⋅ A+ B⋅ 
dt
dt
dt 
 dt
Es wird also eine Spannung induziert, wenn sich die Flussdichte B (und damit das äußere Magnetfeld
H) oder die Querschnittsfläche A relativ zu den Feldlinien ändert (oder auch beides!).
4.6 Transformator
Mit einem Transformator werden Spannungen und Ströme in einem Wechselstromkreis herauf- oder
heruntertransformiert, also erhöht oder verringert.
Der Transformator besteht im Prinzip aus zwei nebeneinander liegenden Spulen mit gleicher oder
unterschiedlicher Wicklungsanzahl (Abb. 7). An die Eingangswicklung (Primärspule) N1 wird eine
Wechselspannung U1 angelegt. Der daraufhin fließende Wechselstrom I1 erzeugt in der Spule N1 ein
sich änderndes Magnetfeld. Der magnetische Fluss Φ wird über den ferromagnetischen Eisenkern
geschlossen und durchdringt damit auch die Sekundärspule mit der Windungszahl N2.
Abb. 7: Transformator
Da sich der Fluss Φ zeitlich ständig ändert (I1 ist ein Wechselstrom!), wird in der Sekundärspule nach
dem Induktionsgesetz F (17) eine (Wechsel-)Spannung U2 induziert, die in der Spule einen Wechselstrom I2 fließen lässt.
Die Höhe der Spannung U2 ist abhängig vom Wicklungsverhältnis der Primär- und Sekundärseite des
Transformators. Ist die Anzahl der Wicklungen auf der Sekundärseite N2 größer als auf der Primärseite,
dann ist die Ausgangsspannung U2 größer als die Eingangsspannung U1.
Für die Ströme gilt genau das Umgekehrte: Ist die Anzahl der Wicklungen auf der Sekundärseite N2
größer als auf der Primärseite, dann ist der Ausgangstrom I2 kleiner als der Eingangsstrom I1. Das
Verhältnis zwischen Spannung und Strom ist also umgekehrt proportional zueinander und wird bestimmt durch das Verhältnis der Windungszahlen N1 und N2:
F (20)
U 2 I1 N 2
= =
U 1 I 2 N1
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5. Aufgaben
Versuchen Sie, die folgenden Aufgaben zu beantworten, und diskutieren Sie Ihre Lösungsvorschläge
mit Ihrem Assistenten im Kolloquium.
5.1
Ein langer gerader Metalldraht werde vom Gleichstrom I durchflossen. Welches Bild gibt den
Verlauf der magnetischen Feldlinien (gestrichelt) in Luft qualitativ zutreffend wieder?
5.2
An den freien Enden einer Leiterschleife kann eine induzierte Spannung beobachtet werden,
wenn man…
5.3
(1)
…die Leiterschleife in einem Magnetfeld um eine geeignete Achse dreht.
(2)
…die Stärke des Magnetfeldes, in dem sich die Leiterschleife befindet, ändert.
(3)
…die Leiterschleife durch ein zeitlich konstantes, inhomogenes Magnetfeld geeignet
verschiebt.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
nur (1)
nur (2)
nur (1) und (3)
nur (2) und (3)
(1) bis (3) (alle)
Ein idealer verlustfreier Transformator besitze primärseitig 40 Windungen, sekundärseitig
2000 Windungen. An der Primärseite liege einer Wechselspannung von 200 Volt. Welche
Spannung liegt an der Sekundärseite?
(A)
4V
(B)
10 V
(C)
4000 V
(D)
5000 V
(E)
10000 V
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