Notationen Zusammenhangskomponenten Starker Zusammenhang

Notationen
G’=(V’
=(V’,E’
,E’) (echter
(echter)) Teilgraph von G=(V,E):
V’⊆ V ∧ E’⊆ E (und G’
G’ ≠ G)
Starke
Zusammenhangskomponenten
René
René Weiskircher
G’=(V’
=(V’,E’
,E’) (echter
(echter)) Supergraph von G=(V,E):
V⊆ V’ ∧ E⊆ E’ (und G’
G’ ≠ G)
Maximaler Teilgraph mit Eigenschaft Φ:
G’=(V’
=(V’,E’
,E’) Teilgraph von G mit Eigenschaft Φ
und @ G’’=(V
,E’’’’)) Teilgraph von G und echter
’’=(V’’’’,E
Supergraph von G’
G’ mit Eigenschaft Φ
Pfad P(u,v)
P(u,v) in G mit (u,v)∈
(u,v)∈ V× V:
((w1,w2),(w2,w3),…
),…,(wk-1,wk)),
(wi,wi+1) ∈ E ∀ 1· i < k ∧ w1 = u ∧ wk = v
Zusammenhangskomponenten
Zusammenhängender Graph
Definition 1
Ungerichteter Graph G=(V,E)
zusammenhä
zusammenhängend wenn gilt:
Für jedes Paar von Knoten u,v ∈ V existiert
P(u,v)
P(u,v)
ZHK 1
Definition 2
Sei G=(V,E) ungerichtet.
ungerichtet. G’
G’=(V’
=(V’,E’
,E’)
ist Zusammenhangskomponente (ZHK) von
G, falls G’
G’ maximaler Teilgraph von G mit G’
zusammenhä
zusammenhängend.
ngend.
ZHK 2
Starker Zusammenhang
Stark zusammenhängend?
Defintion 3:
Gerichteter Graph G=(V,E) stark
zusammenhä
zusammenhängend
⇔ ∀ (u,v)
u,v) ∈ V × V: ∃ P(u,v)
P(u,v) (gerichteter Pfad)
Definition 4:
Starke Zusammenhangskomponente (SZK)
von G: Maximaler Teilgraph von G der stark
zusammenhä
zusammenhängend ist
1
Satz 1
Stark zusammenhängend?
Sei G‘
G‘=(V‘
=(V‘,E‘
,E‘) der Graph den man aus
zshgd.
zshgd. Graph G erzeugt, indem man jede
SZK zu einem Knoten schrumpft. Dann ist
G‘ ein gerichteter azyklischer Graph.
Beweis: Trivial
Algorithmus zum Finden der SZK
GT ist der Graph der aus G durch
Herumdrehen aller Kanten entsteht
f(v)
f(v) ist die Fertigstellungsnummer
eines Knoten im DFSDFS-Algorithmus.
Knoten v erhä
erhält nä
nächste nicht vergebene
Nummer wenn Aufruf DFS(v)
DFS(v)
abgeschlossen.
Algorithmus zum Finden der SZK
1. Rufe DFS fü
für G auf, berechne f(v)
f(v) fü
für
jeden Knoten v
2. Rufe DFS fü
für GT auf in absteigender
Reihenfolge von f(v)
f(v)
3. Die Zusammenhangskomponenten im
DFSDFS-Baum von GT sind die SZK
Laufzeit: Linear (offensichtlich?)
11
10
9
8
6
7
1
5
2
3
4
2
11
Korrektheit
10
9
Lemma 1:
8
6
Sei z SZK von G ohne ausgehende Kanten.
Dann besucht ein Aufruf von DFS fü
für einen
Knoten in z genau die Menge aller Knoten in z.
7
Lemma 2:
1
5
2
3
4
Seien C und C’ zwei SZK wobei es eine Kante
von einem Knoten in C zu einem Knoten in C’
gibt.
gibt. Dann hat der von DFS zuerst besuchte
Knoten in C eine höhere
Fertigstellungsnummer als jeder Knoten in C’.
Korrektheit
Lemma 3:
Der Knoten mit der hö
höchsten
Fertigstellungsnummer in G liegt in einer SZK
ohne eingehende Kanten.
Lemma 4:
Korrektheit
Satz 2:
Die Zusammenhangskomponenten des DFSDFSBaums in GT, der vom SZKSZK-Algorithmus
berechnet wird, entsprechen genau den SZK
von G
Die SZK von G entsprechen den gleichen
Knotenmengen wie die SZK von GT
3