blatt06

Institut für Informatik
Lehrstuhl für Informatik 15
Computer Graphik & Visualisierung
Diskrete Strukturen I
Wintersemester 2006/2007
Übungsblatt 6
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Prof. R. Westermann, J. Schneider, J. Georgii, S. Pott
TU München, 27.11.2006
Übungen zu Diskrete Strukturen I (Blatt 6)
Aufgabe 25 [1+2+3+3 Punkte]
Kombinatorik
a) Wieviele verschiedene Dominosteine gibt es? Ein Dominostein besteht aus zwei Quadraten, in
jedem Quadrat ist eine Zahl von 1 bis 8 in Punkten dargestellt.
b) Bestimmen Sie die Anzahl aller Wörter (ein Wort ist hier ”nur” eine Buchstabenfolge, ohne Bedeutung), die sich aus den Buchstaben des Wortes
GENERALISIERUNGSMASSNAHMEN
bilden lassen. Dabei darf jeder Buchstabe nur genau einmal verwendet werden.
c) Wieviele Zahlen zwischen 1 und 1.000.000 gibt es, so dass die Summe der einzelnen Ziffern
∈ {0, . . . , 9} genau 15 beträgt?
d) Wieviele Binärwörter der Länge n (nur Buchstaben 0 und 1) gibt es, die die Ziffernfolge ”01”
genau zweimal enthält?
Aufgabe 26 [3 Punkte]
Knobelei
In einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a befinden sich 5 Punkte. Ist
es immer möglich ein Punktepaar zu finden, deren Abstand höchstens 2a ist?
Aufgabe 27 [1+1+1+1+1+2 Punkte]
Induzierte Teilgraphen
Ein Graph G = {V, E} heißt vollständig, wenn je zwei Knoten durch eine Kante verbunden sind. Ein
(Knoten-) induzierter Teilgraph ist eine Teilmenge G ′ = {V ′ , E′ } 6= ⊘ (also keine leeren Teilgraphen!),
so daß V ′ ⊆ V und E′ = (vi , v j ) ∈ E : vi ∈ V ′ ∧ v j ∈ V ′ . Ein vollständiger Graph mit |V | = N wird
auch mit KN notiert.
a) Wieviele Kanten hat der Graph KN ?
b) Wieviele vollständige induzierte Teilgraphen enthält der KN ?
c) Wieviel Sterne vom Grad k enthält der KN ? Ein Stern vom Grad k besteht aus k + 1 Knoten
und k Kanten. Ein Knoten (die Mitte) hat Grad k, alle anderen Knoten haben Grad 1. “Enthalten
sein” bedeutet in diesem Fall, dass man solange Kanten entfernt, bis ein Stern übrig bleibt (d.h.
formal: Kanten-induziert).
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d) Nun entfernt man eine Kante in KN . Wieviele vollständige induzierte Teilgraphen gibt es nun?
e) Betrachten Sie nun einen induzierten Teilgraphen G ′ := {V ′ , E′ } des KN . Welcher vollständige
Graph G ′ maximiert die Anzahl induzierter Teilgraphen von G ′ pro Kante aus E′ ?
Hinweis: Betrachten Sie den Quotienten aus Anzahl induzierter Teilgraphen zu |E′ |.
f) Wieviele Kanten muss man mindestens entfernen, damit es höchstens ⌊ 3·2N ⌋ vollständige Teilgraphen gibt ? Wie groß ist dann der größte dieser Teilgraphen ?
Hinweis: Verwenden Sie das Ergebnis aus Aufgabe e.
Aufgabe 28 [3×1 Punkte] Wiederholung
Kreuzen Sie pro Teilaufgabe höchstens ein Kästchen an. Für ein falsches Kreuz gibt es einen Minuspunkt, für ein richtiges einen Pluspunkt. Wenn Sie kein Kreuz setzen, bekommen Sie auch keine
Punkte. Eine negative Gesamtpunktzahl dieser Aufgabe wird zu 0 aufgerundet. Maximieren Sie Ihre
Punktzahl!
a) Eine boolesche Formel ist eine Tautologie genau dann wenn es genau ein Modell gibt.
Hinweis: Eine Belegung der Variablen einer Formel mit wahr/falsch ist ein Modell, wenn die
“Auswertung” (Interpretation) der Formel unter dieser Belegung wahr ist.
Richtig
Falsch
b) O( f (n)) ∩ [Θ( f (n)) ∪ Ω( f (n))] = Θ( f (n)).
c) ∃ f (n) : f (n) ∈
/ O( f (n)) ∪ Ω( f (n)).
Richtig Falsch
Richtig Falsch
Freiwillige Abgabe: In der jeweiligen Tutorübung in der Woche vom 04.12.2006 - 08.12.2006.