WS 2008/09

Elemente der Arithmetik, Algebra und
des Sachrechnens
GS – WS 2008/09
Aufgabenblatt 6
Multiplikation II
Russische Bauernmethode
Aufgabe 1
Wie können Sie möglichst geschickt herausfinden, wie viele Zeilen für die
Rechnung nötig sind, ohne den Faktor selbst sukzessive zu halbieren?
Veranschaulichung durch ein Baumdiagramm
Eine weitere Erschließungsmöglichkeit ist die Untersuchung des 1.
Faktors auf seine Beziehungen zu Zweier-Potenzen
Erschließung durch Vergleich mit Binärzahlen
Dafür muss der 1. Faktor in eine anderes Zahlensystem, zur Basis
2 umgeschrieben werden.
Bsp.
2910=11101 2
An der Anzahl der Stellen im Binärsystem (Zweier-Zahlsystem) kann
man ablesen, wie viele Zeilen man für eine Multiplikation nach der
Russischen Bauernmethode benötigt.

Dabei zeigen Nullen an, welche Zeilen gerade sind und bei der
abschließenden Addition gestrichen werden.

Die Binärcodes werden allerdings so gelesen, dass die erste Zeile die
letzte Zahl darstellt.

Der Nachteil dieser Methode liegt darin, dass bei großen Zahlen eine
aufwändige Umrechnung nötig ist, sofern man keine Binärzahlentabelle
zur Hand hat.

Betrachtung der Zerlegung des 1. Faktors
Schlussfolgerung
Der Nenner besteht aus den Potenzen von 2
2n 
Die Zahl die nun halbiert wird, darf nicht kleiner als ihr Nenner sein,
da das Ergebnis ansonsten kleiner als 1 würde. Daher ist klar,
dass die kleinstmögliche Zahl für a ihrem Nenner entspricht.
Die Bedingung lautet also:
a
 n 1
[2 ]
Da n angibt, wie oft der Faktor durch 2 geteilt werden kann, zeigt
er uns an, wie viele Zeilen bei einer Multiplikation nach der
Russischen Bauernmethode verwendet werden müssen.
Ein Beispiel:
Seia=129
129
1
n
[2 ]
 2n129 ;128=27
 es werden 8 Zeilen benötigt
Hier wurde mit Kanonen geschossen:
n−1
n
Wegen
2
Z2
kann berechnet werden :
2n−1 Z2n
n−1
n
log2 2
nlog2  2 
ln Z
ln Z
n
1
ln 2
ln 2
Dabei werden die Zahlen immer auf die nächste natürliche Zahl
gerundet
Hier wurde die Bedeutung von n und Z nicht beschrieben, ebenso
fehlt jede Erklärung, wie es zu den einzelnen Schritten kommt.
Aufgabe 2: Wenden Sie die gefundene Methode an und bestimmen Sie die Zahlen
(von...bis...), bei denen die Rechnung a) 5-zeilig, b) 7-zeilig, c) 10-zeilig ist.
Nachdem schon in Aufgabe 1 eine Verbindung zwischen den linken
Faktoren und deren Darstellung im binären Zahlensystem und der
Anzahl der Zeilen einer Multiplikation nach der Russischen
Bauernmethode entdeckt wurde, kann daraus abgeleitet werden:
- Für eine 5-zeilige Rechnung kommen alle Zahlen in Betracht, die im
Binärsystem eine fünfstellige Darstellung besitzen.
Also alle Zahlen die folgende Bedingung erfüllen:
4
5
2 =16Z32=2
- Für eine 7-zeilige Rechnung kommen alle Zahlen in betracht, die im
Binärsystem eine siebenstellige Darstellung besitzen.
Also alle Zahlen aus:
6
7
2 =64Z128=2
- Für eine 10-zeilige Rechnung dann analog:
9
2 =512Z1024=2
10
Nutzt man die Möglichkeit der Binärdarstellung, so kann man alle
Zahlen aus einer Tabelle entnehmen
Wenn nicht mehr dabei steht, ist das ein bisschen zu wenig als
Lösung
Aufgabe 3
Bilden Sie durch systematisches Überlegen je eine Aufgabe, bei der das Schema der
russischen Bauernmethode
(i) 5 Zeilen lang ist, und die 1. und 4. Zeile gestrichen werden.
(ii) 7 Zeilen lang ist, und die ersten 3 Zeilen gestrichen werden.
(iii) 9 Zeilen lang ist, und die 4. bis 7. Zeile gestrichen werden.
Mit der Binärcode-Methode:
(i) es soll eine fünfzeilige Rechnung sein;
die erste und vierte Zeile sollen gestrichen werden:
→ die binäre Darstellung hat 5 Stellen, dabei sind die zweite und die
letzte Stelle mit Nullen belegt;
→ die Zahl lautet im Binärcode: 10111
im Dezimalsystem: 22
(ii) die Rechnung soll 7-zeilig sein:
die ersten drei Zeilen sollen gestrichen werden:
→ die binäre Darstellung hat sieben Stellen, dabei sind die letzten drei
Stellen mit Nullen besetzt.
→ die Zahl in Binärform: 1111000
im Dezimalsystem: 120
(iii) 9-zeilige Multiplikation;
die Zeilen 4,5,6 und 7 werden gestrichen;
→ 9 stelliger Binärcode; auf den Positionen 3,4,5 und 6 stehen Nullen;
→ Binärdarstellung: 110000111
im Dezimalsystem: 391
(iii) 9-zeilige Multiplikation
9. Zeile
8. Zeile
7. Zeile
6. Zeile
5. Zeile
4. Zeile
3. Zeile
2. Zeile
1. Zeile
1
3
6 gerade , wird gestrichen
12
24
48
97
195
391
Eine andere Methode der Bestimmung der Zahlen ist das
Rückwärtsrechnen.
(i) 5-zeilige Multiplikation
5. Zeile
4. Zeile
3. Zeile
2. Zeile
1. Zeile
1
2 gerade weilsie gestrichen werden soll
5
11
22 gerade weil sie gestrichen werdensoll
(ii) 7-zeilige Multiplikation
7. Zeile
6. Zeile
5. Zeile
4. Zeile
3. Zeile
2. Zeile
1. Zeile
1
3
7
15
30 gerade wird gestrichen
60
120
Ausführliche Darstellung des Rückwärtsrechnens an Aufgabe 3 (i)
(i) fünf Zeilen, 1. und 4. Zeile werden gestrichen
* Bei der russischen Bauernmethode gilt: wenn der erste Faktor einer Zeile
gerade ist, wird diese Zeile gestrichen
* Der erste Faktor in Zeile 1 und Zeile 4 wird gestrichen, d.h. dieser Faktor ist
gerade
* Zeile 2 und 3 bleiben stehen, d.h. diese Zeilen sind ungerade
* Der erste Faktor in Zeile 5 ist 1, da in der letzten Zeile immer die 1 steht
* Aus Aufgabe 1 wissen wir, dass in jeder Zeile zwei mögliche Zahlen stehen
können, wenn man die Zahl der darunter liegenden Zeile kennt, entweder 2*z
oder 2*z+1
* Wir kennen die Zahl der fünften Zeile: es ist 1
→ es ergeben sich folgende Möglichkeiten für Zeile 4: 2 * 1 = 2 oder 2*1+1 = 3
Da Zeile 4 gestrichen wird und somit gerade sein muss, kann in dieser Zeile nur
2 stehen.
* die Zeile 3 bleibt stehen, daher ungerade: 2*2+1 = 5
* die Zeile 2 bleibt ebenfalls stehen und ist daher ungerade: 2*5+1 = 11
* Zeile 1 wird gestrichen, ist also gerade: 2*11 = 22
Man erhält also folgende Rechnung:
Zeile 1
22 * x
Zeile 2
11 * 2x
Zeile 3
5 * 4x
Zeile 4
2 * 8x
Zeile 5
1 * 16x
Für x kann eine beliebige Zahl eingesetzt werden
Lösung für 3(i) mittels eines Baumdiagramms
Lösungsansatz zu 3(ii)
Das Rechnungsschema soll 7-zeilig sein.
 der erste Faktor muss zwischen 64 und 127 liegen
 Die ersten drei Zeilen sollen gestrichen werden.
 der 1. Faktor ist gerade
 teilt man ihn dreimal hintereinander durch 2, so erhält man eine ungerade Zahl
 der für uns interessante Faktor wird durch 2³, also 8 geteilt
 die Zahl muss das Ergebnis einer Multiplikation einer ungeraden Zahl mit 8 sei,
denn der 1. Faktor in der 4. Zeile ist ungerade, da diese nicht gestrichen wird.
 Danach darf die Division durch 2 ebenfalls zu keinem geraden Ergebnis mehr
führen.


Mit diesen Informationen kann nun die Ausgangszahl gesucht werden.
a) Ungerade Vielfache von 8 zwischen 64 und 127 sind:
72,88,104 und 120
b) Bei der Division durch 8 erhält man:
9,11,13 und 15
c) Im Fall von 72 ist bereits die fünfte Zeile wieder gerade (4) im Fall 104 (6)
ebenfalls.
d) Für 88 geht es noch eine Zeile weiter, aber in der 6. Zeile steht dann mit der
Zahl 2 wieder eine gerade Zahl.
e) Nur für 120 bleiben außer den ersten drei Zeilen alle weiteren stehen:
120 → 60 → 30 → 15 → 7 → 3 → 1
Aufgabe 4
Bestimmen Sie den ersten Faktor einer Multiplikationsaufgabe, deren Rechnung
9-zeilig ist und bei der die rechts stehenden Zahlen aus der 2,,3.,4.,7. und 9.
Zeile addiert werden müssen, um das Ergebnis zu erhalten.
Binärzahlmethode
Rückwärts gerechnet