Einfüfung in die Statistik Kapitel 3: Erwartungswerte

J.K. Canci Erwartungswerte
Einfüfung in die Statistik
Kapitel 3: Erwartungswerte
Jung Kyu Canci
Universität Basel
HS2015
1 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
Literatur Kapitel 3
Statistik in Cartoons : Kapitel 4
Krengel : 3.3 und 3.5 in
§
3 und (Extras) 11.4 in
§
11
Storrer : 37, 38, 39, 40, 41, 49
2 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
3.1 Erwartungswert und Varianz einer diskreten und stetigen Zufallsgrösse
Ziele dieses Teils :
Die StudentInnen kennen die Denition des Erwartungswerts / der
Varianz von diskreten und stetigen Zufallsgrössen.
Sie können einfache Erwartungswerte / Varianzen selber berechnen
und kennen weitere Erwartungswerte / Varianzen von bekannten
Zufallsgrössen (mehr dazu in Kapitel 4).
Gefühl für Erwartungswerte / Varianzen (z.B. Schwerpunkt ;
"normalerweise" etwas wie "mittlerer Wert").
3 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
Falls wir Daten
x1 , x2 , . . . , xn
haben (mehr dazu in 3.3), können wir einen
sogenannten Stichproben-Mittelwert berechnen :
x :=
Es ist denkbar, dass einige der
könnten also obiges
von
x
x
xi
1
n
n
X
xi .
i=1
den gleichen Wert darstellen. Wir
umschreiben, indem wir über alle möglichen Werte
summieren und mit
nx
angeben, wie häug Wert
x
vorgekommen
ist. Damit erhalten wir :
x :=
1
n
X
n
i=1
xi =
1
n
X
alle x
Warum haben wir das gemacht ? Weil
wie häug kommt
x
in
n
xnx =
nx
n die
X
x
alle x
relative
Daten vor, geteilt durch
n.
nx
.
n
Häugkeit darstellt :
Wir werden in
Kapitel 5 sehen, dass diese Grösse gegen die wahre Wahrscheinlichkeit für
dieses Ereignis konvergiert
P[X = x],
wenn
n → ∞.
4 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
Denition (3.1 Erwartungswert)
Der Erwartungswert E [X ] einer Zufallsgrösse X ist deniert als
(P
xi P[X = xi ]
E [X ] := R ∞xi
−∞ xf (x)dx
falls X diskret
falls X stetig.
Sei g (x) eine (messbare) Funktion von R nach R. Dann denieren∗ wir :
(P
g (xi )P[X = xi ]
E [g (X )] = R ∞xi
−∞ g (x)f (x)dx
falls X diskret
falls X stetig.
Diese Denitionen gelten, falls die Summe bzw. das Integral der Absolutwerte existiert
(siehe Bemerkung 4 nachfolgend). Dabei wird jeweils über den gesamten Wertebereich
der Zufallsgrösse summiert respektive integriert. Diese einfachen Denitionen reichen
für unsere Vorlesungen aus. Es gibt allgemeinere Denitionen von E (siehe Vlsg WT).
∗
Die Denition von E [g (X )] ist übrigens streng genommen ein kleines Resultat und
keine Denition (vgl Vlsg WT).
5 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
Bemerkungen 1. Eine andere Bezeichnung für Erwartungswert ist
Mittelwert.
2. Die Zufallsgrösse muss den Erwartungswert nicht annehmen : "Reality
diers from Expectations !" Dazu noch das einfache Beispiel von Be(p ),
wo
p ∈ (0, 1)
und
P[X = 1] = p = 1 − P[X = 0].
Berechnen Sie den
Erwartungswert dieser Zufallsgrösse :
Rechnung 3.1
Er wird oenbar von
X nie
angenommen, weil
X
entweder 0 oder 1 ist.
3. Obschon wir im täglichen Leben oft mit Erwartungswerten
argumentieren, ist es gar nicht so einfach, zu verstehen, was das genau
ist. Denition 3.1 ist algebraisch (eine Summe) bzw. von der Analysis her
(ein Integral) klar. Physikalisch ist der Mittelwert ein Schwerpunkt. Die
Wahrscheinlichkeiten sind dann Gewichte bzw. Gewichtsverteilungen.
6 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
4. In Denition 3.1 haben wir eine Summe (bzw. Integral) über potentiell
unendlich viele Summanden / unendliches Intervall. Es können 4 Fälle
auftreten :
a) Summe/Integral ist
∈ (−∞, ∞)
b) Summe/Integral ist
= +∞ ;
"Normalfall" ; Bsp. aus Bemerkung 2.
Beispiel 3.1
c) Summe/Integral ist
= −∞ ;
Bsp. aus b) mit
Y := −X .
Beispiel 3.2
d) Summe/Integral ist nicht deniert : negativer Teil und positiver Teil
geben
−∞
bzw.
+∞ ;
Beispiel 3.3
7 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
Beispiele I
0.Eine Roulette hat 37 Zahlen.
eine bestimmte Zahl
eingesetzt haben. Sei
α∈Ω
X die
{0, 1, 2, . . . , 36}.
Nehmen wir an, dass wir
gewählt haben, auf welche wir N CHF
Zufallsgrösse Gewinnsummein CHF, d.h.
Ω = {g , v }
(
X (a) =
Für
a=g
(bzw.
a = v)
·N −N
−N
35
erhaletn wir 35
falls
falls
a=g
.
a=v
·N −N
(bzw.
N CHF gespielt haben. Welche ist der Erwartungswert
−N ), da
E (X ) ?
wir schon
Rechnung 3.2
8 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
1. Berechnen Sie in der Stunde den Erwartungswert der Anzahl Augen
beim Wurf eines perfekten Würfels. Überlegen Sie sich zuerst, was es
geben sollte.
Rechnung 3.3
2. Berechnen Sie in der Stunde den Erwartungswert einer
U[−2, 1]-Zufallsgrösse.
Überlegen Sie sich zuerst, was es geben sollte.
Rechnung 3.4
9 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
Die Poissonverteilung soll die Häugkeit des Auftretens von Ereignissen
beschreiben, die bei einem einzelnen Element sehr selten auftreten. Da
aber eine sehr grösse Anzahl von Elementen existiert, bei der das Ereignis
eintreten könnte, ist das Ereignis aber derart beobachtbar, dass ein Wert
für das durchschnittliche Auftreten in einem Zeit- oder Raumintervall
angegeben werden kann. Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein
bestimmter Einwohner einer Stadt morgen zwischen 10 :00 Uhr und
10 :05 die Postliale der Stadt betritt, sehr gering. Da aber in der Stadt
sehr viele Menschen leben, liegt die Zahl der Leute, die die Postliale
betreten, in einer recht anschaulichen und mit unserem Zahlverständnis
begreifbaren Grössenordnung. Eine Poisson-Zufallsgrösse hat die
Verteilung :
P[X = k] = e −λ
λk
, k ≥ 0.
k!
10 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
3. Erwartungswert einer Po(λ)-Zufallsgrösse,
λ>0
: Eine
Poisson-Zufallsgrösse hat die Verteilung :
P[X = k] = e −λ
λk
, k ≥ 0.
k!
Damit steigen wir folgendermassen ein :
E [X ] =
X
k≥0
ke −λ
X λk
X λk
λk
k
k
= e −λ
= e −λ
=
k!
k!
k!
k≥0
k≥1
X λk−1
X λk−1
X λk
= λe −λ
k
= λe −λ
= λe −λ
=
k!
(k − 1)!
k!
= λe
k≥1
−λ λ
k≥1
k≥0
e = λ.
11 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
4. Auf Übungsblatt 6 sind weitere Erwartungswerte zu berechnen. Wir
fügen hier noch ein gerechnetes Beispiel an, nämlich der Erwartungswert
einer
N (µ, σ 2 )-Zufallsgrösse.
Je nach Zeit wird das Beispiel in der
Vorlesung auch besprochen. Der Erwartungswert sollte denitionsgemäss
µ
sein. Die Dichte ist (vgl. Aufgabe auf Blatt 4) :
√
1
1
2πσ
2
e − 2σ2 (x−µ) .
Damit steigen wir folgendermassen ein :
Z
∞
E [X ] =
−∞
∞
Z
=
−∞
∞
Z
=
−∞
∞
(x − µ) + µ − 12 (x−µ)2
√
e 2σ
dx =
2πσ
2πσ
−∞
Z ∞
1
2
(x − µ) − 12 (x−µ)2
µ
√
√
e 2σ
e − 2σ2 (x−µ) dx
dx +
2πσ
2πσ
−∞
1
2
(x − µ) − 2 (x−µ)
√
e 2σ
dx + µ = 0 + µ = µ.
2πσ
x√
1
1
2
e − 2σ2 (x−µ) dx =
Z
12 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
Oenbar ist der Erwartungswert
ein
Mass für die Lage der Zufallsgrösse
("wo werden Werte etwa erwartet ?"). Wir werden jetzt
ein
Mass für die
Streuung der Zufallsgrösse um diesen Erwartungswert kennenlernen.
13 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
Varianz/Standardabweichung
Denition (3.2 Varianz/Standardabweichung einer diskreten und
stetigen Zufallsgrösse)
Sei E [X 2 ] < ∞. Mit µX := E [X ] denieren wir die Varianz V [X ] einer
Zufallsgrösse X als
(P
(xi − µX )2 P[X = xi ]
V [X ] := E [(X − µX )2 ] = R ∞xi
2
−∞ (x − µX ) f (x)dx
falls X diskret
falls X stetig.
Dabei wird auch hier über den gesamten Wertebereich der Zufallsgrösse
summiert respektive integriert. Die Standardabweichung sd (Standard
Deviation) ist die Wurzel aus der Varianz :
sd[X ] :=
p
V [X ].
14 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
Man beachte : der Ausdruck
E [(X − µX )2 ]
besteht aus 3 ( !) Teilen. Welchen und weshalb ?
∆(a) = X (a) − µX
(·)2
E [·]
15 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
Bemerkung zu Denition 3.2 :
Varianz bzw. Standardabweichung sind
zwei
Masse für die Streuung einer
Zufallsgrösse. Es gibt aber viele weitere Masse für die Streuung. Otto
Normalverbraucher würde unter Standardabweichung übrigens eher den
Ausdruck :
E [|X − µX |]
(3.1)
vermuten. Dies ist die absolute ("| · |"), erwartete ("E ") Abweichung
vom Erwartungswert ("X − µX ") : Mean absolute deviation. In den
Übungen ist ein einfaches Beispiel anzugeben, das zeigt, dass
E [|X − µX |] = sd[X ]
im Allgemeinen
nicht
gilt. In späteren Semestern wird man in der
Analysis übrigens lernen, dass wegen der Hölder-Ungleichung immer gilt :
E [|X − µX |] ≤ sd[X ].
Man verwendet aus mathematischen Gründen (einfachere Rechnungen)
in der Statistik eher die Varianz anstatt die Mean absolute deviation.
16 / 17
J.K. Canci Erwartungswerte
Beispiele II
5. Berechnen Sie die Varianz einer Be(p )-Zufallsgrösse, wo
p ∈ (0, 1)
:
Rechnung 3.5
6. Berechnen Sie die Varianz einer
U[0, 1]-Zufallsgrösse
:
Rechnung 3.6
7. Was vermuten Sie : wie wird die Varianz einer
U[0, 3]-Zufallsgrösse
sein
(Auösung nach Lemma 3.7) ?
17 / 17