9. RLC-Schaltungen

9
9. RLC-Schaltungen
emg
GET
9
Wechselstrom-Netzwerke
Richtungskonvention nicht genauso wie in Gleichstromnetzwerken:
• Richtung kehrt sich ständig um.
• Polarität von Spannung und Strom ist bei Phasenverschiebung
nicht immer in gleicher Richtung.
• Rückspeisung der Quelle
emg
GET
1
9
000000 Hz
Frequenz Hz Funktion
103 104
102
101
105
106
C = 22 nF
R = 720 Ω
uC
uR ∼ i
ue
Messung der
Phasenverschiebung zwischen
der Eingangsspannung ue
und dem Strom i
emg
GET
9
IR
Grundschaltelemente R, L, C im
Wechselstromkreis
IC
IL
UR
UL
UC
Bezugszeiger für alle Zeigerdiagramme ist der Strom I mit ϕi = 0°
Im
Im
ϕ = -90° Re
ϕui =0°
emg
GET
Re
ϕui = 90°
ui
Re
Im
1
ωC
ZR = R
ZL = j ωL
ZC = - j
UR = RI ej0°
UL = ωL ej90°
UC = 1/ωC e-j90°
PR = RI2
QL = ωLI2
QC = - (1/ωC)I2
Blindleistungen
2
9
Grundschaltelemente R, L, C im Wechselstromkreis:
Bei der Zusammenschaltung der Grundschaltelemente
entstehen:
komplexe Impedanzen
komplexe Admittanzen
Z = R + X bzw.
Y = G + B bzw.
Z = R + jX
Y = G + jB
Die in diesen Schaltungen umgesetzte Scheinleistung S
besteht aus:
Wirkleistung P und Blindleistung Q
S=P+Q
bzw. S = P + jQ
emg
GET
9
Serien- und Parallelschaltungen
Serienschaltung
1) Widerstand und Kondensator
2) Widerstand und Spule
Berechung jeweils von
Einzel- und Gesamtspannungen und Leistung
(komplex!)
emg
GET
Parallelschaltung
3) Widerstand und Kondensator
4) Widerstand und Spule
Berechung jeweils von
Einzel- und Gesamtspannungen und Leistung
(komplex!)
3
9
Reihenschaltung von Impedanzen
Vorgehensweise zur Analyse von Wechselstromnetzwerken
analog zu Gleichstromnetzwerken, aber:
•
komplexer Strom ist Bezugsgröße für die Phase
•
einzelne Spannungen zu Gesamtspannung in komplexer
Ebene addieren (komplexe Rechnung oder Zeigerdiagramm)
•
komplexe Scheinleistung aus komplexem Strom und
komplexer Spannung berechnen(komplexe Rechnung oder
Zeigerdiagramm)
emg
GET
Reihenschaltung von R und L im
Wechselstromkreis
Wie schon bei GleichstromI
netzwerken ist bei Reihen-
9
Uges
UR
UL schaltungen die Bezugsgröße
für alle Berechnungen der
Strom I mit ϕi = 0°
Gesucht sind die Impedanz Zges,
die Spannungen UR , UL und Uges
mit ihren Phasenwinkeln.
Für Reihenschaltungen gilt:
Zges = R + j X
emg
GET
Wirkwiderstand R
Blindwiderstand XL = ωL
Zges = R + j ωL
4
9
Die Impedanz Zges in der komplexen Zahlenebene
Im
Zges = R + j ωL
jωL
Zges
Re
Zges =
R2 + (ωL)2
ϕZ = arctan( ωL )
R
R
Berechnung der Spannungen:
Zges = Zges e
UR = R I ej0° = R I
jϕZ
UL
Uges
Im
UL = jXL I ej0° = jωL I = I ωL ej90°
e j90° = cos(90°) + j sin(90°) = 0 + j(1) = j
Uges = UR + UL
emg
GET
9
ϕui = ϕZ
Uges = I ej0° •(R + jωL)
jϕ
= I ej0° • Zges e Z
UR
I
Reihenschaltung von R und L im Wechselstromkreis:
Berechnung der Leistungen
I
Uges
UR
UL
Wirkleistung in R:
P = I2 R
Blindleistung in XL:
Scheinleistung in Z:
Q = I2 ωL
S = P + jQ
S = P2+ Q2
S = I Uges
P = S cos(ϕZ)
emg
GET
Re
Q
S
Im
ϕZ
Re
P
Q = S sin(ϕZ)
Leistungsfaktor = cos(ϕZ)
5
9
Reihenschaltung von R und C im Wechselstromkreis
Wie schon bei Gleichstromnetzwerken ist bei ReihenUC schaltungen die Bezugsgröße
für alle Berechnungen der
Strom I mit ϕi = 0°
I
UR
Uges
Gesucht sind die Impedanz Zges,
die Spannungen UR , UC und Uges
mit ihren Phasenwinkeln.
Für Reihenschaltungen gilt:
Zges = R + j XC
emg
GET
9
Zges = R +
Wirkwiderstand R
Blindwiderstand XC = -
1
ωC
1
1
= R - j ωC
jωC
Die Impedanz Zges in der komplexen Zahlenebene
Im
Zges = R - j
1
ωC
R
Zges
Re
1
ϕZ = -arctan( ωCR )
-j 1/ωC
Berechnung der Spannungen:
UR = R I ej0° = R I
Zges = R2 + (1/ωC)2
Zges = Zges e
I
Im
jϕZ
Re
ϕui= ϕZ UR
UC = jXC I ej0° = -j 1/ωC I = [I/ωC]e-j90°
e − j 90° = cos(−90°) + j sin(−90°) = 0 + j(−1) = − j
Uges = UR + UC
j0°
j0°
emg Uges = I e •(R - j 1/ωC) = I e • Zges e
GET
jϕZ
Uges
UC
6
9
Reihenschaltung von R und C im Wechselstromkreis
Berechnung der Leistungen
I
Uges
UR
UC
P Re
Im
Wirkleistung in R:
P = I2 R
Blindleistung in XC:
Scheinleistung in Z:
Q = I2{-j(1/ωC)}
S = P + jQ
S=
P2 + Q2
ϕZ
S = I Uges
S
Q
P = S cos(ϕZ)
Q = S sin(ϕZ)
emg
GET
Leistungsfaktor = cos(ϕZ)
9
Parallelschaltung von Impedanzen
Vorgehensweise zur Analyse von Wechselstromnetzwerken
analog zu Gleichstromnetzwerken, aber:
•
komplexe Spannung ist Bezugsgröße für die Phase
•
einzelne Ströme zu Gesamtstrom in komplexer
Ebene addieren (komplexe Rechnung oder Zeigerdiagramm)
•
komplexe Scheinleistung aus komplexem Strom und
komplexer Spannung berechnen (komplexe Rechnung oder
Zeigerdiagramm)
emg
GET
7
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Parallelschaltung von R und L im Wechselstromkreis
Iges
R
U
Wie schon bei Gleichstromnetzwerken ist bei Parallelschaltungen die Bezugsgröße
für alle Berechnungen die
Spannung U mit ϕu = 0°
L
IR
IL
Gesucht sind die Admittanz Y,
die Ströme IR , IL und Iges
mit ihren Phasenwinkeln.
Admittanz Y = komplexer Leitwert: Y =
Y = G + jB = 1/R + 1/jωL =
emg
GET
9
1
- j1
R
ωL
1
Wirkleitwert G = R
1
Blindleitwert B = - ωL
Die Admittanz Y in der komplexen Zahlenebene
1
1
Y = R - j ωL
Im
1/R Re
Y
Berechnung der Ströme:
Y = 1/R2 + (1/ωL)2
R
-j 1/ωL ϕY = -arctan( ωL )
Y = Y ejϕY
Im
IR = G • Uej0° = U/R
IL = jBL • Uej0° = U/ωL e-j90°
Iges = IR + IL
Iges = Uej0° •(G + jB) = Uej0° • Ye
emg
GET
1
Z
U
Re
ϕiu= ϕY IR
jϕY
Iges
IL
8
9
Parallelschaltung von R und L im Wechselstromkreis
Iges
Berechnung der Leistungen
P Re
Im
R
IL
IR
U
ϕY
L
S
emg
GET
9
Wirkleistung in G:
P = U2 /R
Blindleistung in BL:
QL = U2/jωL = -j U2/ωL
Scheinleistung in Y:
S = U2(1/R - j 1/ωL)
Q
Parallelschaltung von R und C im Wechselstromkreis
Wie schon bei Gleichstromnetzwerken ist bei Parallelschaltungen die Bezugsgröße
für alle Berechnungen die
Spannung U mit ϕu = 0°
Iges
R
U
C
IR
IC
Gesucht sind die Admittanz Y,
die Ströme IR , IC und Iges
mit ihren Phasenwinkeln.
Admittanz Y = komplexer Leitwert: Y =
1
Z
1
+ jωC
R
1
Wirkleitwert G = R
Blindleitwert B = ωC
Y = G + jB = 1/R + jωC =
emg
GET
9
9
Die Admittanz Y in der komplexen Zahlenebene
1
Y = R + jωC
Im
jωC
Y
Y = 1/R2 + (ωC)2
Re
1/R
ϕY = arctan(ωCR)
Y = Y e jϕY
Berechnung der Ströme:
IR = G • Uej0° = U/R
IC = jB • Uej0° = UωC ej90°
Iges = IR + IC
Iges = Uej0° •(G + jB) = Uej0° • Ye
jϕY
ϕi = ϕY
emg
GET
9
IC
Iges
Im
U
Re
IR
Parallelschaltung von R und C im Wechselstromkreis
Iges
Berechnung der Leistungen
R
U
C
IR
Q
S
Im
IC
ϕZ
Wirkleistung in G:
P = U2 /R
Blindleistung in BL:
QC = U2 jωC
Scheinleistung in Y:
S = U2(1/R + jωC)
Re
P
emg
GET
10
9
Realer Transformator
Als Beispiel für ein Wechselspannungs-Netzwerk mit verschiedenen Impedanzen dient der reale Transformator unter
Berücksichtigung der Drahtwiderstände und der magnetischen
Streuverluste.
R1
R2
i2 u2
u1 i1
L1
L2
Die Gegeninduktivität ist M12 = M21 = M. Die Spannung lassen
sich schreiben als
emg
GET
u1 = L1
di1
di
+ i1R1 + M 2
dt
dt
und
u2 = L2
di 2
di
+ i2 R2 + M 1
dt
dt
Vorzeichen: laut Definition u = L di/dt
9
Streuverluste im realen Transformator
Da die magnetischen Streufelder nicht zur Gegeninduktivität
beitragen, können wir die Induktivitäten in je zwei Anteile aufteilen:
Die Streuinduktivität Lσ und die Hauptinduktivität Lh,
L1 = L1σ + L1h und L2 = L 2σ + L 2h
wobei die Hauptinduktivitäten einen idealen Trafo ohne Verluste
(Kupfer, Streuung) bilden und zur Gegeninduktivität beitragen:
M = L1h L 2h mit Lh1 = ü2 Lh2 ist M = L1h L1h / ü 2 = L1h / ü = üL 2h
u1 = L1σ
emg
GET
u2 = L2σ
L di
di1
di
di
 di 1 di2 
+iR
+ L1h 1 + i1 R1 + 1h 2 = L1σ 1 + L1h 1 +
 dt ü dt  1 1
dt
dt
ü dt
dt
L di
di2 L1h di 2
di L  1 di2 di1 
+i R
+ 2
+ i2 R2 + 1h 1 = L2σ 2 + 1h
+
dt ü dt
ü dt
dt
ü  ü dt dt  2 2
11
9
Ersatzschaltbild mit Streuverlusten
i2/ü
u1
R1
i1
L2σ
L1σ
uh1 L1h
R2
i2
uh2
u2
ü
Man kann zusammenfassen
uh1 = L1h
 di1 1 di2 
+
 dt ü dt 
und
uh 2 =
L1h  1 di2 di1 
+
ü  ü dt dt 
in u h1 = ü u h 2
in einem neuen Ersatzschaltbild
u' 2 = üu 2
emg
GET
u1
R1
i1
L1σ
L1h
L‘2σ
R‘2
uh
i‘2
i' 2 = i 2 / ü
u‘2
R' 2 = ü 2 R 2
L' 2σ = ü 2 L2σ
9
Ersatzschaltbild mit Eisenverlusten
u1
i1
R1
L1σ
uh L1h
L‘2σ
RFE
R‘2
i‘2
u‘2
Durch L1h und RFE fließt der Strom i0=iµ+iFE. Dabei beschreibt
iFE die Ummagnetisierungsverluste im Eisenkern und iµ den
Magnetisierungsstrom.
Für das Wechselstromersatzschaltbild ersetzen wir die
Induktivitäten durch ihre Impedanzen X=ωL
emg
GET
12
9
Blindstromkompensation
Reihenschaltung von R und L im Wechselstromkreis
I
UN
R= 10Ω, L = 318 mH,
UN = 230V, 50 Hz
UR
Im
UL
UL
UN
Zges =
R2 + (ωL)2
Zges = (10Ω)2 + (2π •50•0,318)2
Zges = 100,4 Ω
I = U/Z = 2,3 A
ϕui = ϕZ
Re
UR I
emg
GET
9
I
ϕZ = arctan( ωL )
R
2π •50•0,318
ϕZ = arctan(
)
10
ϕZ = 84,28°
Welche Maßnahme kann ergriffen werden, damit die
Netzspannung UN und der Strom I in Phase liegen?
UN
IRL
UR
IC
UL
Im
UN
Richtung von IC,
senkrecht auf UN,
90° voreilend
emg
GET
I
IC
ϕui = ϕZ
Re
Der Strom I teilt sich
jetzt auf in IRL und IC,
dadurch kann - bei
geeigneter Dimensionierung von C die Phasenverschiebung zwischen UN
und I Null werden.
UN und I sind jetzt
in Phase, d.h. dem
Netz wird nur Wirkleistung entnommen.
IRL
13
9
Richtung von IC,
senkrecht auf UN,
90° voreilend
Im
Aus dem Betrag von
IC kann die Größe
der Kapazität berechnet werden.
emg
GET
9
UN
ϕui = ϕZ
I = IRL + IC
IC
I
Re
IC = UN ωC
IRL
C = IC/UNω
unterkompensiert, die
Im Schaltung verhält sich
noch induktiv
überkompensiert, die
Im Schaltung verhält sich
jetzt kapazitiv.
UN
I = IRL + IC
I
emg
GET
IC
Re
IRL
UN
I
IC
I = IRL + IC
Re
IRL
14
9
Blindstromkompensation
emg
GET
9
Zusammenfassung
RC-Parallel und Reihenschaltung
Zeigerdiagramm
Leistung, Leistungsfaktor cosφ
RL-Parallel und Reihenschaltung
Zeigerdiagramm
Leistung, Leistungsfaktor cosφ
Realer Transformator
Blindstromkompensation
emg
GET
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