1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungsaufgaben
Ü1
FH Campus Wien TM, WS 2016/17
Übungsaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, Blatt 1
1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
1.
Von einem Würfel sei bekannt, dass bei jedem Wurf alle möglichen sechs Augenzahlen
gleich wahrscheinlich sind. Mit dem Würfel werde zweimal gewürfelt.
(a) Wie sieht der Ereignisraum für dieses Zufallsexperiment aus?
(b) Wählen Sie zwei konkrete (nicht disjunkte) Ereignisse A und B, und bilden und
interpretieren Sie deren komplementäre Ereignisse, Vereinigung, Durchschnitt, Differenzen und symmetrische Differenz.
(c) Geben Sie explizit das Ereignis „Die Summe der Augenzahlen beträgt mindestens 10“
an und berechnen Sie die entsprechende Wahrscheinlichkeit.
2.
Eine Warenlieferung bestehe aus 100 Stück, von denen 85 gut und 15 defekt (im Sinn der
Lieferbedingungen) sind. Es werden zufällig 4 Stück herausgegriffen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eines der ausgewählten Stücke defekt ist?
3.
An einem Posten von 10000 Antriebswellen wird der Durchmesser d kontrolliert, dessen
Sollmaß d0 = 25 mm beträgt. Die vorgeschriebenen Toleranzgrenzen sind T− = 25 − 0,05
= 24,95 mm und T+ = 25 + 0,12 = 25,12 mm. Eine Welle, deren Durchmesser über der
oberen Toleranzgrenze T+ liegt, muss nachbearbeitet werden, eine Welle mit einem
Durchmesser unter der unteren Toleranzgrenze T− ist dagegen Ausschuss.
(a) Es sei A das Ereignis, dass der Durchmesser d einer Welle innerhalb der Toleranzgrenzen T− und T+ liegt, und B sei das Ereignis, dass d mindestens gleich dem Sollmaß
d0 ist. Veranschaulichen Sie die Ereignisse A und B graphisch, und drücken Sie das
Ereignis, dass eine Welle zum Ausschuss zählt, durch A und B aus.
(b) Von den 10000 Wellen haben 9300 einen Durchmesser innerhalb der Toleranzgrenzen T− und T+, bei 5100 Wellen war der Durchmesser mindestens gleich d0, und bei
4700 der Wellen lag der Durchmesser zwischen d0 und T+. Wie viel % aller
Antriebswellen sind Ausschuss?
4.
Aus den Wahrscheinlichkeitsaxiomen von Kolmogoroff leite man ab:
(a) P(∅) = 0
(b) A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
(c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
5.
Es werde mit zwei gewöhnlichen Würfeln gewürfelt, so dass man bei jedem Wurf ein
zufälliges Paar von Augenzahlen erhält. Man untersuche die Ereignisse
A: Der erste Würfel zeigt die Augenzahl 1, 2 oder 3
B: Der zweite Würfel zeigt eine ungerade Augenzahl
C: Die Summe der Augenzahlen beider Würfel ist 9
paarweise auf Unabhängigkeit.
Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungsaufgaben
Ü2
6.
Man beweise: Sind zwei Ereignisse A und B eines Ereignisraums Ω unabhängig, dann
sind auch A und B , A und B, sowie A und B unabhängige Ereignisse.
7.
Mit Hilfe des Multiplikationssatzes für n Ereignisse beweise man, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Gruppe von n ≥ 2 Personen mindestens zwei am selben Tag
im Jahr Geburtstag haben, gegeben ist durch
1−
364 ⋅ 363⋯ (365 − n + 1)
.
365n −1
Folgern Sie daraus, dass es in einer Gruppe von mindestens 23 Personen bereits
wahrscheinlicher ist, dass zwei Personen am selben Tag im Jahr Geburtstag feiern als
dass umgekehrt alle Geburtstage auf verschiedene Tage des Jahres fallen (Geburtstagsparadoxon).