Potenzfunktionen

Übungen
Potenzfunktionen
1.
Aus einem Draht der Länge s soll ein Kantenmodell eines Würfels hergestellt werden.
a) Geht dies, ohne den Draht zu zerstückeln, wenn jede Kante nur einfach konstruiert wird?
b) Welchen Oberflächeninhalt und welches Volumen hat der grösstmögliche Würfel für s = 60 cm?
c) Wie lange ist der Draht für eine Oberfläche von 900 cm2 ?
2.
Wie lauten die Funktionen r(t), O(t) und V(t) in der Form a·tk, welche das Wachstum des Radius r,
der Oberfläche O und des Volumens V einer Kugel in Abhängigkeit der Zeit t beschreiben?
Bestimmen Sie für jede Funktion die Konstanten a und k und zudem die Werte für t = 10 s.
a) Der Radius wächst pro Sekunde konstant um 2 cm. Für t = 0 s gilt r = 0 cm.
b) Der Radius wächst mit der Funktion r(t) = 0.1·t2 , t in s, r in cm.
c) Der Radius schrumpft mit der Funktion r(t) = 20/t, t in s, r in cm.
d) Die Oberfläche wächst pro Sekunde konstant um 5 cm2 . Für t = 0 s ist O = 0 cm2 .
e) Das Volumen wächst pro Sekunde um 8 cm3 . Für t = 0 s ist V = 0 cm3 .
f) Die Oberfläche wächst mit der Funktion O(t) = 5·t2 , t in s, O in cm2 .
g) Die Oberfläche schrumpft mit der Funktion O(t) = 5/t2 , t in s, O in cm2 .
3.
a) Der Graph von f(x) = a·xk geht durch die Punkte P(1/4) und Q(2/32). Berechnen Sie a und k.
b) Der Graph geht durch R(–1/–4) und S(0.5/0.125). Wie lauten a und k jetzt?
4.
Die Leuchtkraft eines Sterns ist proportional zu seiner Oberfläche und zur vierten Potenz der
Oberflächentemperatur.
a) Geben Sie die Formel für L in Abhängigkeit von r und T an. Die Proportionalitätskonstante heisst
s (Stefan–Bolzmann–Konstante).
b) Bestimmen Sie mit dem Radius, der Oberflächentemperatur und s die Leuchtkraft unserer Sonne
in W. (Werte siehe Formelsammlung)
c) Stern A hat den doppelten Radius und die fünffache Oberflächentemperatur wie Stern B. Vergleichen Sie ihre Leuchtkraft.
d) Stern A hat einen Millionstel der Leuchtkraft, aber die doppelte Oberflächentemperatur wie Stern
B. Vergleichen Sie ihre Radien.
e) Instabile Sterne verändern ihren Radius periodisch. Nehmen wir an, der maximale Radius sei um
10% grösser als der mittlere und die Veränderung geschehe proportional zur Sinusfunktion.
Weiter sei die Leuchtkraft des Sterns konstant. Wann ist die Oberflächentemperatur maximal?
Vergleichen Sie diesen Wert mit der mittleren (minimalen) Temperatur.
Lösungen
1a) nein; b) 150 cm2, 125 cm 3; c) 147 cm. 2a) V = 3.35·104 cm3; b) V = 4190 cm3; c) V = 33.5 cm 3; d) V = 33.2 cm 3;
e) O = 89.8 cm3; f) V = 1050 cm3; g) V = 1.05·10 –3 cm3. 3a) f(x) = 4·x 3; f(x) = 4·x5.
4a) L = s ·4πr2·T4; b) 3.8·1026 W; c) L A = 2500·L B; d) r A = 1/4000·r B; e) Bei rmin , T max = 1.054·Tmit.
Übungen
Potenzen und Potenzfunktionen: Weitere Übungen
1.
Vereinfachen Sie die Ausdrücke:
a)
2.
(a2b3) 2 ⋅
b5
b2
(ab) 3
b)
a12- 4
2- a6
c)
3 2 12
a
Die Gravitationskraft zwischen zwei Massen hängt von den beteiligten Massen m1 und m2 und ihrem
Abstand r ab. Es gilt: FG = G·(m1 ·m2 )/r2 , wobei G die Proportionalitätskonstante ist.
a) Wie ändert sich die Gravitationskraft, wenn die beiden Massen, aber auch ihr Abstand halbiert
(verdoppelt) wird?
b) Die Gravitationskraft zwischen zwei Planeten wächst um den Faktor 5, die Masse des einen
Planeten um den Faktor 3, die des anderen um den Faktor 2. Wie muss sich der Abstand der
beiden Planeten verändert haben?
c) Wie ändert sich die Masse des einen Planeten, wenn die des anderen halbiert, ihr Abstand
verdoppelt und Gravitationskraft verdreifacht wird?
Lösungen
1a) a; b) –(a 6+2); c) a. 2a) keine Änderung; b) Zunahme um Faktor 1.095, d.h. ca. 10%; c) Nimmt um Faktor 6 zu.
†