Zahlenrätsel/Zahlenmuster Vorhersagen einer Summe Lassen Sie jemanden eine vierstellige Zahl aufschreiben. Es werden nun abwechselnd jeweils 2 vierstellige Zahlen darunter geschrieben. Der Spieler/die Spielerin beginnt eine Zahl unter die eben ausgedachte zu schreiben, anschließend sind Sie an der Reihe. Bevor diese Zahlen aber aufgeschrieben werden, wissen Sie bereits das Ergebnis der Summe der fünf Zahlen. Vollziehen Sie folgendes Beispiel genau nach und versuchen Sie herauszufinden, warum Sie bereits nach der ersten Zahl die Summe kennen und wie Sie auf die dritte und vierte Zahl kommen. SpielerIn: 3845 → vorhergesagte Summe: 23843 2. Zahl (SpielerIn): 2571 3. Zahl (Sie): 7428 4. Zahl (SpielerIn): 3679 5. Zahl (Sie): Summe: 6320 23843 Lösung: In dem oben vorgeführten Beispiel ist die erste Ziffer der vorhergesagten Summe eine 2. Das bedeutet: Es müssen zwei Zahlenpaare, deren Ziffern sich zu 9 addieren, genommen werden, man muss also insgesamt fünf Zahlen addieren. Trick: Da zweimal 9999 addiert wird, weiß man bereits nach der ersten Zahl das Endergbnis. Trick: 20000 addieren und 2 abziehen! Natürlich gibt es viele Varianten, um diesen Trick auszuführen. Es können beispielsweise mehrere Zahlen addiert werden oder der Spieler selbst schreibt die Summe auf und Sie schreiben die erste Zahl zum Addieren an oder … . Zahlensummen Summe von 1 bis 10 = 55 Summe von 1 bis 100 = 5050 Können Sie nach diesem Muster die Summe der Zahlen 1 bis 1000 bzw. 1 bis 10000 angeben? Begründen Sie Entstehung des Musters. Lösung: Summe von 1 bis 1000 = 500500 Summe von 1 bis 10000 = 50005000 n 2 Summe von 1 bis n: S=(n+ 1)⋅ n a−1 mit a ∈ℕ n=10a → 2 =5⋅10 → a (10 + 1)⋅5⋅10 a −1 = 5⋅10 2(a−1)+ 1+ 5⋅10 a−1 1 Palindromzahlen oder „Das 196er Problem“ Das Wort „Palindrome“ stammt aus dem Griechischen und bedeutet soviel wie „rückwärts laufend“. Meist sind hier Wörter oder Sätze gemeint, die von vorne und hinten gelesen gleich bleiben (z.B. Rentner, Anna, Otto, Lagerregal, Trug Tim eine so helle Hose nie mit Gurt?). Neben Palindromen von Wörtern gibt es auch Zahlenpalindrome. Egal, ob vorwärts oder rückwärts gelesen, die Zahlen haben den gleichen Wert (z.B. 2442). Ein besonderes Phänomen ist, dass sich aus beliebigen positiven ganzen Zahlen oft durch ein einfaches Verfahren Palindrome erzeugen lassen. Eine Zahl wird dabei mit der Zahl in umgekehrter Reihenfolge addiert. Ist die entstehende Summe (=Zahl1) ein Palindrom, dann ist man fertig, wenn nicht, dann wird zu Zahl1 die Zahl1 in umgekehrter Reihenfolge addiert, usw. Beispiele: 85 + 58 = 143 143 + 341 = 484 kein Palindrom 36584 + 48563 = 85147 Palindrom 85147 + 74158 = 159305 (… 5 Zwischenschritte...) 13213123 + 32131231 = 45344354 Funktioniert dies immer? Das 196er-Problem wird so genannt, weil 196 die kleinste Zahl ist, mit der es noch nicht gelungen ist, ein Palindrom zu erzeugen. Jedoch gibt es auch keinen Beweis dafür, dass nie ein Palindrom mit dieser Zahl entstehen wird. Der Rekord lag im Februar 2002 (übrigens die einzige palindromische Jahreszahl in unserem Jahrhundert) bei 67 Millionen Umkehrungen und einer Zahl mit über 28 Millionen Stellen. Im Jänner 2003 lag man bei einer Zahl mit 100 Millionen Ziffern. Vieles spricht dafür, dass es für die 196 schlicht kein Palindrom gibt. Bisher fehlt jedoch der mathematische Beweis. Bemerkung: Wenn man die Zahlen bis 10000 untersucht, dann stellt man fest, dass es zwar 246 Zahlen gibt (das sind allerdings nicht einmal 2,5%), die sich hartnäckig widersetzen (196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, ...), bei allen anderen Zahlen stellt sich der Erfolg sehr schnell ein (die 89 ist da schon eine Ausnahme (24 Umkehrungen), keine der anderen "erfolgreichen" Zahlen bis 10000 braucht mehr als 24 Schritte bis zum Erfolg). Es drängt sich also die These auf: Entweder es funktioniert relativ schnell oder gar nicht. Aber jenseits der 10000 gibt es schließlich doch Zahlen, die sich erst sehr hartnäckig widersetzen und dann doch ein sehr langes Palindrom liefern (z.B. wird aus 10911 erst nach 55 Umkehrungen: 4668731596684224866951378664). Im Jahr 2005 fand Jason Doucette heraus, dass die Zahl 1186060307891929990 nach 261 Umkehrungen zum 119-stelligen Palindrom 44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544 führt. (Hier kann dies mit einem Script einfach und schnell nachvollzogen werden: http://www.rzbt.hawhamburg.de/dankert/Palindrom/Zahlen-Palindrome (Stand: August 2015)) 2 Sommergewitter (Eugen Jost) Nehmen Sie irgendeine Zahl. Wenn sie gerade ist, halbieren Sie sie. Wenn sie ungerade ist, multiplizieren Sie sie mit drei, und geben Sie eins dazu. Und dann machen Sie das mit dem, was Sie herausbekommen haben, wieder und wieder und wieder. Fällt Ihnen etwas auf? Beispiel: Wir starten mit der Zahl 38. 38 : 2 = 19 19 · 3 +1 = 58 58 : 2 = 29 29 · 3 +1 = 88 88 : 2 = 44 44 : 2 = 11 11 · 3 +1 = 34 34 : 2 = 17 17 · 3 +1 = 52 52 : 2 = 26 usw. Wieso ist das immer so? Rudolf Taschner: „Das Problem ist noch offen und sehr schwer zu behandeln. Es ist natürlich völlig sinnlos, aber es ist ärgerlich, dass wir es nicht lösen können.“ Immer wieder 4 Denken Sie sich eine Zahl aus. Schreiben Sie diese Zahl in Worten. Zählen Sie die Anzahl der Buchstaben und notieren Sie diese Zahl. Schreiben Sie nun diese Zahl in Worten. Zählen Sie anschließend wieder die Buchstaben und notieren Sie die Anzahl der Buchstaben. Wiederholen Sie diese Schritte (Zahl in Worten schreiben – Buchstaben zählen – diese Zahl in Worten schreiben – Buchstaben zählen – …) solange, bis Sie fertig sind. Fertig? – Sie werden schon sehen, was ich damit meine! 3 Der Zahlensack des Méziriac Bereits im Jahr 1612 errechnete Bachet de Méziriac die Gewinnposition eines einfachen kombinatorischen Spiels. Der Zahlensack des Méziriac Es hält der Sieur de Méziriac Für Euch bereit den Zahlensack: Greift mit Bedacht die erste Zahl; Von 1 bis 10 habt Ihr die Wahl. Danach fügt Méziriac im Nu Zu Eurer seine Zahl hinzu. Und, wechselweise, ernst und heiter Klettert man hoch die Zahlenleiter. Doch seid beim Kraxeln auf der Hut Und wählet klug und wählet gut! Gewinn sich fröhlich jedem zeigt, Der erstmals auf die 100 steigt. Zwei Gegner fügen abwechselnd eine Zahl zwischen 1 und 10 der allseits bekannten Zwischensumme hinzu. Das Spiel beginnt bei 0 und es endet für denjenigen Spieler siegreich, der als Erster die Gesamtsumme 100 erreicht. Lösung: Méziriacs Lösung des Zahlensack-Problems verwendet implizit das erst später entwickelte Verfahren der Rückwärtsrechnung, um die magischen Zahlen abzuleiten, die jeweils dem ersten (oder dem zweiten) Spieler einen sicheren Gewinn zugestehen. Anhand einer einfachen Überlegung lassen sich diese Strategien leicht entwerfen. Es gewinnt nämlich stets derjenige Spieler, der als Erster die 100 erreicht. Um den eigenen Gewinn abzusichern, müsste somit ein Spieler bei seiner vorletzten Zahlenwahl nur die Zahl 89 erreichen, um seinem Gegenspieler in dessen letztem Zug maximal das Erreichen der 99 zu ermöglichen. Diese siegreiche vorletzte Zahlenwahl ist jedoch nur dann nicht zu verhindern, wenn der Spieler bei seiner i-ten Zahlenwahl zuvor jeweils die Zwischensumme (i-1)*10+i, falls er der erste Spieler ist, oder i *11+1, ansonsten, bilden kann. Falls nun beide Spieler dies nachvollziehen können, steht bereits zu Spielbeginn der Sieger fest: es ist derjenige Spieler, der die erste Zahl nennt. Er wählt die 1 und hat das Spiel bereits zu seinen Gunsten entschieden. 4 Drei Stellen und mehr Wählen Sie eine beliebige dreistellige Zahl – sagen wir 123. Nun schreiben Sie diese drei Ziffern noch einmal daneben, so dass Sie eine sechsstellige Zahl erhalten; 123 wird also zu 123123. Nun teilen Sie diese durch 7, dann durch 11 und schließlich durch 13, und ich sage Ihnen voraus, dass Sie bei der dreistelligen Zahl landen, von der Sie ausgegangen waren. Das geht mit jeder dreistelligen Zahl. Können Sie sagen, warum? Funktioniert der Trick auch mit einer vierstelligen Zahl? Wenn ja, durch welche Zahlen müsste man dann dividieren? Lösung: 7 · 11 · 13 = 1001 Multipliziert man eine dreistellige Zahl abc mit 1001, so ergibt das immer abcabc. Mit vierstelligen Zahlen abcd muss man mit der Zahl 10001 multiplizieren, um abcdabcd zu erhalten. Man muss durch 73 und 137 dividieren, da 10001 = 73 · 137. Wie alt sind Sie? Methode 1: „Sie wollen es mir nicht sagen? Na gut, nennen Sie mir einfach das Ergebnis folgender kleinen Rechnung: Multiplizieren Sie Ihr Alter mit 10. Davon ziehen Sie irgendeine einstellige Zahl neunmal ab. Sagen Sie mir das Ergebnis. ... Jetzt weiß ich, wie alt Sie sind.“ Wie funktioniert der Trick? Funktioniert der Trick bei jeder Person? Lösung: A … Alter; Z … einstellige Zahl A · 10 – 9 · Z = A · 10 – 10 · Z + Z = (A – Z) · 10 + Z Der letzte Schritt des Tricks besteht darin, die Ziffer ganz rechts (Z) zu den anderen beiden zu addieren, die nun zu Zehnern und Einern, statt Hunderten und Zehnern werden! Vorsicht: Die Person muss älter als 9 Jahre sein! Methode 2: Um das Alter von jemanden zu ermitteln, lasse ihn einfach folgende Rechnung durchführen: Multipliziere dein Alter mit 2. Addiere 5 hinzu und multipliziere die Summe mit 5. Nenne mir nun das Ergebnis. Streiche nun die letzte Ziffer des Ergebnisses weg und ziehe vom Rest 2 ab. Jetzt hast du das Alter der Person. Begründe die Vorgehensweise! Lösung: A … Alter (A · 2 + 5) · 5 = 10 · A + 25 → letzte Ziffer wegstreichen A+2 → 2 abziehen A 5 Erraten des Geburtstages Wenn Sie den Geburtstag eines Freundes nicht kennen, können Sie ihm folgende Aufgabe stellen: Verdopple die Tageszahl deines Geburtstages und addiere 5 dazu. Multipliziere das Ergebnis mit 50 und addiere dazu die Monatszahl. Lassen Sie sich das Ergebnis nennen. Finden Sie heraus, wie Sie nun auf den richtigen Tag und das richtige Monat kommen. Lösung: (T · 2 + 5) · 50 + M = 100 · T + 250 + M → 250 abziehen 100 · T + M → die letzten beiden Stellen zeigen das Monat und die restlichen Stellen den gesuchten Tag Zahlen erraten Ich schreibe eine Zahl auf einen Zettel und drehe ihn um, sodass Sie nicht wissen, welche Zahl dort steht. Nun schreiben Sie eine beliebige ganze Zahl auf. Addieren Sie 5. Multiplizieren Sie das Ergebnis mit 18. Subtrahieren Sie davon das Dreifache der zuerst gewählten Zahl. Dividieren Sie das letzte Ergebnis durch 15! Subtrahieren Sie noch Ihre gedachte Zahl! Ihre soeben errechnete Zahl stimmt mit meiner auf dem umgedrehten Zettel überein! Warum? Welche Zahl steht auf meinem Zettel? Lösung: ((((x + 5) · 18) – 3 · x) : 15) – x = ((18x + 90 – 3x) : 15) – x = x + 6 – x = 6 Blitzrechnen Bitten Sie einen Freund, zwei beliebige Zahlen - sagen wir 2 und 5 - untereinander zu schreiben. 2 5 Er darf sie Ihnen jedoch nicht zeigen. Nun addiert er die beiden Zahlen und schreibt die Summe 7 darunter. Jetzt werden die unteren zwei Zahlen addiert und ihre Summe 12 darunter geschrieben. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis 10 Zahlen da stehen. 2 5 7 12 19 31 50 81 131 212 Nun bitten Sie darum, einen kurzen Blick auf die Liste werfen zu dürfen. Dann wenden Sie sich schnell wieder ab. Sie bitten den Freund, die zehn Zahlen zu addieren. Bevor er fertig ist, haben Sie längst die Summe genannt: 550. 6 Sie haben sich die vierte Zahl von unten - in diesem Fall also 50 - gemerkt. Diese multiplizieren Sie mit 11. Fertig! Wieso funktioniert das? Lösung: Z1 … erste Zahl; Z2 … zweite Zahl Häufigkeit der Häufigkeit der Ergebnis ersten Zahl Z1 zweiten Zahl Z2 1 1 0 Z1 2 0 1 Z2 3 1 1 Z1+Z2 4 1 2 Z2+(Z1+Z2)=Z1+2*Z2 5 2 3 (Z1+Z2)+(Z1+2*Z2)=2*Z1+3*Z2 6 3 5 (Z1+2*Z2)+(2*Z1+3*Z2)=3*Z1+5*Z2 7 5 8 (2*Z1+3*Z2)+(3*Z1+5*Z2)=5*Z1+8*Z2 8 8 13 (3*Z1+5*Z2)+(5*Z1+8*Z2)=8*Z1+13*Z2 9 13 21 (5*Z1+8*Z2)+(8*Z1+13*Z2)=13*Z1+21*Z2 10 21 34 (8*Z1+13*Z2)+(13*Z1+21*Z2)=21*Z1+34*Z2 10 55 88 Summe der Zahlen 55*Z1 + 88*Z2 = 11*(5*Z1+8*Z2) → Summe = 11*(Ergebnis aus Zeile 7) Kartentricks „1 aus 21“ Man hat 21 Karten. Drei davon legt man offen nebeneinander. Auf diese werden der Reihe nach die restlichen Karten mit sichtbarem Bild gesetzt, wobei die vierte Karte auf die erste, die fünfte auf die zweite usw. zu liegen kommt. Auf diese Weise erhält man drei Stapel mit jeweils sieben Karten. Jemand merkt sich eine Karte und nennt den Stapel, in dem sich diese Karte befindet. Der bezeichnete Stapel wird in die Mitte zwischen die beiden anderen Häufchen gegeben (offen), dann werden die Karten wieder wie vorher aufgelegt. Zum zweiten Mal wird jetzt der Stapel mit der bewussten Karte bezeichnet und dann wieder in die Mitte genommen. Dieses Verfahren wird ein drittes Mal wiederholt. Dann zählt man bis zur elften Karte und erhält die am Anfang ausgewählte. Funktioniert der Trick auch mit 27 Karten? Wenn ja, auf welcher Platznummer (Fixpunkt) stabilisiert sich das Verfahren? Lösung: Das ganze ist ein rein mathematischen Sortierverfahren. Indem Sie den Stapel mit der gesuchten Karte immer wieder in die Mitte legen, können Sie in drei Durchläufen dafür sorgen, das die gesuchte Karte in die Mitte wandert, egal welche Karte die Gesuchte ist. Im ersten Durchlauf schließen 7 Sie 14 der 21 Karten aus und verteilen die übrigen möglichst gleichmäßig über die 3 Stapel. Im zweiten Durchlauf können Sie erneut 4-5 Karten ausschließen. Somit bleiben für den dritten nur noch zwei oder drei Karten übrig und die befinden sich alle in unterschiedlichen Stapel. Folglich wird durch die Angabe des Stapels im dritten Durchlauf direkt die gesuchte Karte preisgegeben. Das Abzählen der 10 Karten dient nur noch zur Verwirrung der Zuschauer. Übersicht des aktuellen Platzes nach dem 1., 2. und 3. Auflegen der jeweiligen Karte: Karte 1 2 3 Platz1 14 14 14 13 13 13 12 12 12 11 11 11 10 10 10 Platz2 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 Platz3 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 4 11 5 11 6 11 7 11 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9 11 9 11 9 11 8 11 8 11 8 11 Beispiel: Karte 6 ist die ausgewählte Karte Nach dem ersten Austeilen liegt sie auf dem linken Stapel als vorletzte Karte. Der 3. Stapel wird daher in die Mitte zwischen die beiden anderen Stapeln gegeben. Die gewählte Karte liegt somit an 13. Stelle. Nach dem 2. Austeilen liegt die Karte auf dem rechten Stapel und somit wird nun dieser in die Mitte genommen. Die 10. Karte ist nun die Gesuchte. Nach dem 3. Austeilen liegt die Karte 6 wieder im rechten Stapel und insgesamt (nach dem Zusammenfügen) am 11. Platz. „3 aus 32“ 32 Karten eines Spiels liegen verdeckt ungeordnet auf dem Tisch. Der Spieler/die Spielerin wählt 3 beliebige Karten aus und schaut sie an. Sie greifen 5 verdeckt liegende Karten, stapeln sie und legen die erste ausgewählte Karte verdeckt darauf. Anschließend nehmen Sie 15 Karten und legen die zweite ausgewählte Karte wieder darauf. Nun werden nur mehr 7 Karten der restlichen ungeordneten Karten auf dem Tisch genommen und dann die letzte ausgewählte Karte daraufgelegt. Die letzten beiden Karten schichtet man schließlich noch auf den Stoß. (Wichtig: Die Anzahl der Karten sollte für den Spieler/die Spielerin willkürlich erscheinen!) Nun werden die Karten auf folgende Weise gemischt: Es werden zuerst zwei Stapeln gemacht, wo immer abwechselnd eine Karte auf den linken und eine auf den rechten Stapel kommt. Der linke Stapel wird nun wieder in gleicher Weise aufgeteilt. Die erste Karte kommt auf den linken Stapel, die zweite auf den bereits bestehenden rechten Stapel. So wird der linke Stapel halbiert und der rechte immer größer. Dies wird solange wiederholt bis der linke Stapel nur mehr aus einer Karte besteht. Diese wird schließlich auch noch auf den rechten Stapel gelegt. Sie decken nun die obersten drei Karten des Stapels auf und es sind tatsächlich die 3 zu Beginn gewählten Karten. Lösung: Das Mischen ist hier kein zufälliges Anordnen der Karten, sondern ist ein determinierter Vorgang. Wichtig ist es zu Beginn die richtige Position für die Karten zu finden und dies noch möglichst unauffällig und „zufällig“. Die ausgewählten Karten liegen vor dem „Mischen“ immer auf den Positionen 3, 11 und 27. 8 Sieht man sich den „Mischvorgang“ genauer an, findet man noch mehrere Varianten dieses Tricks! Erster Erster Zweiter Dritter Vierter Fünfter Stapel Mischvorgang Mischvorgang Mischvorgang Mischvorgang Mischvorgang 1 11 2 27 3 4 3 3 19 19 5 31 31 31 6 23 23 23 7 15 15 15 8 7 7 7 9 1 1 1 1 10 5 5 5 5 11 9 9 9 9 12 13 13 13 13 13 17 17 17 17 14 21 21 21 21 15 25 25 25 25 16 29 29 29 29 17 31 32 32 32 32 32 18 29 30 30 30 30 30 19 27 28 28 28 28 28 20 25 26 26 26 26 26 21 23 24 24 24 24 24 22 21 22 22 22 22 22 23 19 20 20 20 20 20 24 17 18 18 18 18 18 25 15 16 3 16 16 16 16 26 13 14 7 14 14 14 14 27 11 12 11 12 12 12 12 28 9 10 15 10 10 10 10 29 7 8 19 8 27 8 8 8 30 5 6 23 6 19 6 6 6 31 3 4 27 4 11 4 11 4 4 32 1 2 31 2 3 2 27 2 2 Einen ähnlichen Kartentrick („3 aus 52“) findet man hier: https://www.youtube.com/watch?v=b4fcJOBXtbU (Stand: August 2015) „1 aus 16“ 16 beliebige Karten werden in 4 Reihen mit jeweils 4 Karten offen aufgelegt. Der Spieler/die Spielerin sucht sich eine Karte und zeigt auf die Reihe, in der diese Karte liegt. Anschließend werden die Karten mit folgendem System eingesammelt: Eine Karte aus der genannten Reihe, vier andere Karten, eine Karte aus der genannten Reihe, vier andere Karten, … . Nun werden die Karten wieder offen in 4 Reihen mit jeweils 4 Karten aufgelegt. Der Spieler/die Spielerin zeigt auf die Reihe, in der die zuerst gewählte Karte liegt. Nun ist klar, welche Karte gewählt wurde! Warum? 9 Lösung: Angenommen nach dem ersten Aufegen ist die richtige Karte in der 3. Reihe. Nach dem ersten Auflegen: Nach dem zweiten Auflegen: K1 K2 K3 K4 K9-12 K K K K5 K6 K7 K8 K K9-12 K K K9 K10 K11 K12 K K K9-12 K K13 K14 K15 K16 K K K K9-12 (K steht für die Karten K1 bis K8 bzw. K13 bis K16) Nach dem zweiten Auflegen liegt in jeder Reihe nur mehr eine Karte, die richtig sein könnte (entlang der Diagonale). Um diesen Trick „undurchschaubar“ zu machen, hier ein kleiner Zusatz: https://www.youtube.com/watch?v=ZgdhJNc8_4I (Stand: 04.05.2015) „2 aus x“ (x g) Dieser Trick benötigt eine kleine Vorbereitung. Es werden die Karten (gerade Anzahl) immer abwechselnd rot-schwarz sortiert. Die Spielerin/der Spieler darf vor Beginn die Karten noch ein bisschen „mischen“. Dazu darf ein Stapel (egal wieviele Karten) abgehoben werden und die restlichen Karten werden wieder darauf gelegt. Dies kann beliebig oft wiederholt werden. Nun darf die Spielerin/der Spieler die oberste Karte vom Stapel nehmen und sich ansehen und merken. Anschließend sieht er sich auch noch die zweite Karte an. Es werden nun die beiden angesehen Karten wieder zurück auf den Stapel gelegt. Zuerst die Karte, die zuerst genommen wurde, anschließend die zweite Karte. Jetzt darf wieder „gemischt“ werden (wie oben beschrieben). Die Spielerin/der Spieler wird nun aufgefordert die Karten abwechselnd verdeckt auf zwei Stapel zu verteilen (eine links, eine rechts, eine links, eine rechts, …). Diese beiden Stapel dürfen (jeder für sich) jetzt ordentlich vermischt werden. Werden die beiden Stapel nun angesehen, können sofort die beiden gesuchten Karten ermittelt werden. Warum eigentlich? 10-9-8-7-6-5-4-3-2-1-Trick Man benötigt für diesen Trick 52 Karten. Es werden neun Karten genommen und der Spielerin/dem Spieler gezeigt. Eine Karte wird gewählt und auf die restlichen acht Karten verdeckt gelegt. Jetzt kommen auch die anderen Karten auf den Stapel. Es werden nun Karten nacheinander offen abgelegt und dabei von 10 bis 1 runtergezählt. Entspricht der Wert der Karte (Bube, Dame, König zählen 10 und Ass zählt 1) genau der gesagten Zahl, wird aufgehört. Dies wird insgesamt vier Mal durchgeführt. Entspricht dabei kein Wert der Karte der gesagten Zahl, so, wird am Ende (nachdem eins gesagt wurde bzw. nachdem 10 Karten auf dem Stapel liegen) eine Karte verdeckt auf diesen Stapel gelegt. Nun hat man insgesamt 4 Stapel vor sich liegen und ein paar restliche Karten noch in den Händen. Es wird nun der Wert der 10 Karten, die auf den vier Stapeln oben aufgedeckt zu sehen sind, zusammengezählt. Diese Zahl gibt nun die gesuchte Stelle der zu Beginn ausgewählten Karte im Stapel an. Assentrick Dieser Trick benötigt eine kleine Vorbereitung. Der Stapel muss folgendermaßen sortiert werden: Ganz oben kommen 8 beliebige Karten, dann die 4 Asse und am Ende die restlichen Karten. Nun werden die Karten so gemischt, dass die 4 Asse an der richtigen Stelle bleiben. (Wichtig: Die 4 Asse müssen an der 9. - 12. Stelle sein). Jetzt wird die Spielerin/der Spieler nach einer Zahl von 10 bis 19 gefragt. Diese Anzahl der Karten wird verdeckt Karte für Karte vom Stapel genommen. Anschließend wird die Ziffernsumme der gesagten Zahl gebildet und diese Kartenanzahl wird wieder zurück (Karte für Karte) auf den Stapel gelegt. Die nun oberste Karte vom Stapel der Karten, die weggelegt wurden, wird verdeckt auf die Seite gelegt. Die restlichen Karten gibt man wieder auf den Ausgangsstapel oben drauf. Die Spielerin/der Spieler wird insgesamt vier mal nach einer Zahl von 10 bis 19 gefragt und immer wieder erfolgt das Weg- und Zurücklegen der Karten wie soeben beschrieben. Sind am Ende 4 Karten weggelegt worden, ist der Trick vorbei und diese 4 Karten werden aufgedeckt. Was fällt auf? Wieso funktioniert der Trick? Bosko-Biati-Trick Man benötigt dabei 20 Karten. Diese werden immer paarweise verdeckt auf den Tisch gelegt. Die Spielerin/der Spieler darf sich nun ein Paar aussuchen und muss sich diese beiden Karten merken. Anschließend werden alle Karten paarweise auf einen Stapel gelegt. Die Karten werden nun in 4 Reihen, also 5 Karten je Reihe offen aufgelegt. Dies geschieht nach folgendem Prinzip: Der Satz „BOSKO BIATI KENNT ALLES“ besteht aus 10 verschiedenen Buchstaben, wobei jeder zweimal vorkommt. Die Pärchen werden daher immer demselben Buchstaben zugeordnet. B O S K O P1 P2 P3 P4 P2 B I A T I P1 P5 P6 P7 P5 K E N N T P4 P8 P9 P9 P7 A L L E S P6 P10 P10 P8 P3 (P1 steht für eine Karte vom ersten Kartenpaar, P2 für eine Karte vom zweiten Kartenpaar, …) Die Spielerin/der Spieler zeigt nun auf die Reihe bzw. Reihen, in der die beiden Karten zu finden sind und es ist sofort klar, welches Pärchen ausgewählt wurde. 11 4-Zimmer Kartentrick Vier Personen gehen in eine Herberge (dargestellt durch 4 Buben, die nebeneinander hingelegt werden). Der Wirt hat noch vier Zimmer frei und verteilt die Herren auf die vier Zimmer. Anschließend besuchen noch 4 Damen die Herberge. Da auch diese nächtigen wollen, aber alle Zimmer bereits belegt sind, verteilt der Wirt die Damen auf die vier Zimmer (auf jeden Buben wird eine Dame gelegt). Danach kommen noch 4 weitere Herren (4 Könige), die ebenfalls auf die Zimmer verteilt werden (Zustellbett). Und zu guter Letzt erscheinen 4 weitere Damen, (dargestellt durch 4 Asse), die ebenfalls nachdem noch eine Liege in die Herberge gestellt wurde auf die vier Zimmer verteilt wurden. Die Gäste verstehen sich ganz gut und gehen an die Bar (jeweils die Karten eines Zimmers zusammenschieben und dann die vier Stapel übereinanderstellen). Unten wird noch ein wenig getrunken und getanzt (das Tanzen wird durch Abheben simuliert). Doch plötzlich werden die Gäste vom Wirt schnell aufs Zimmer geschickt – jemand hat die Sittenpolizei verständigt (die Karten werden von links nach rechts wieder ausgeteilt). Die Karten werden aufgedeckt und in jedem Zimmer finden sich entweder nur Buben, Damen, Könige oder Asse. So ein Glück, der Wirt muss lediglich eine geringe Strafe für die Überbelegung des Zimmers bezahlen. Erweiterung (VORSICHT – siehe Lösung): Vor lauter Erleichterung lädt der Wirt die 16 Gäste zu einem Drink ein (Karten werden eingesammelt und wieder ein paarmal abgehoben). Die Gäste gehen wieder auf Ihre Zimmer. Da sie ihre Koffer aber nicht umgeräumt haben, sind sie natürlich wieder so auf die Zimmer gegangen, wie vorher (die Karten werden umgedreht und - welch Überraschung - die Karten sind wieder so verteilt, wie am Anfang). Lösung: Das Prinzip dieses Tricks basiert auf einer einfachen Transponierung einer Matrix. Wir verwenden genau 16 Karten. Durch das Einsammeln in der senkrechten und das Wiederausteilen in der waagerechten findet die gewünschte Transponierung statt. Wird das Verfahren wiederholt, werden die Karten automatisch in ihre Ursprungslage zurückgebracht. Das Abheben stört im Endeffekt nicht. Es führt lediglich dazu, dass zum Beispiel die Könige nicht mehr in derselben Spalte liegen, wie am Anfang. 12 Binärer Kartentrick Diese sieben Karten werden benötigt: Sie bitten jemanden, sich eine Zahl zwischen 1 und 100 zu denken. Dann legen Sie nacheinander 7 Karten mit Zahlen auf den Tisch und fragen bei jeder Karte, ob die gedachte Zahl drauf ist. Obwohl Sie immer nur ein "ja" oder "nein" als Antwort bekommen, können Sie danach die gesuchte Zahl sofort nennen. Wie kann das funktionieren? Lösung: Der Trick basiert auf dem binären Zahlensystem, das nur die Ziffern "0" und "1" kennt. Jede Zahl von 1 bis 100 lässt sich auch als siebenstellige Binärzahl darstellen. Jede Karte steht dabei für eine Stelle dieser Binärzahl. (Die Karte mit der "64" am Anfang steht für die vorderste Stelle und die mit der "1" für die letzte Stelle.) Die Antworten "nein" und "ja" entsprechen einfach den Ziffern "0" und "1" so dass die gesuchte Zahl im Prinzip als Binärzahl mitgeteilt wird. Jetzt müssen nur mehr die jeweils erste Zahl auf den Karten, die die Zahl enthalten, zusammengezählt werden, schon wurde die Zahl “erraten“. Überraschendes Entfernung Zwei Personen sind voneinander 50 m entfernt und halten die Enden eines 51 m langen Seils. Ein Dritter hebt das Seil in der Mitte so weit hoch, dass es straff gespannt ist. Kann er durchschlüpfen? Lösung: Satz des Pythagoras: 2 2 h² =(25+ 0,5) −25 =25,25 → h=5,02 m 13 Wo steckt der Fehler? A: –20 = –20 B: a = b |·a 16 – 36 = 25 – 45 a² = ab | + a² – 2ab 16 - 36 + 20,25 = 25 - 45 + 20,25 a² + a² – 2ab = ab + a² - 2ab (4 – 4,5)² = (5 – 4,5)² 2 (a² – ab) = a² – ab | : (a² – ab) 4 – 4,5 = 5 – 4,5 2=1 4=5 C: Behauptung: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .......... = -1 Beweis: D: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .......... = S Beweis: ind. angenommen: 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + ........) = S Also: Behauptung: 1 ist die größte reelle Zahl. Es gibt eine andere größte Zahl y. 1+2S= S dh. 1 < y → y > 0 S = -1 → y < y² Wid., da y² größer als y ist → 1 ist die größte reelle Zahl Lösung: A: Aus a2= b2 kann man also nicht schließen, dass a = b gelten müsste; es könnte auch a = –b gelten. B: a = b → Division durch 0, da a² – ab = 0. C: Reihe konvergiert nicht! D: Negation der Behauptung ist falsch! Vorsicht beim indirekten Beweis. Rucksackproblem Behauptung: n beliebige SchülerInnen haben den gleichen Schulrucksack. Beweis durch vollständige Induktion: Induktionsanfang n=1: Für eine Schülerin/einen Schüler ist die Behauptung offensichtlich richtig. Induktionsschritt: Als Induktionsvoraussetzung wählt man als beliebige Zahl k die Zahl 3. Die Induktionsbehauptung für k+1 ist demnach, dass 4 SchülerInnen denselben Rucksack besitzen. Die SchülerInnen S1, S2 und S3 haben nach Voraussetzung denselben Rucksack. Auch für die SchülerInnen S2, S3 und S4 trifft dies aufgrund der Induktionsvoraussetzung zu. Demnach haben also alle vier SchülerInnen denselben Rucksack. Der Übergang von 4 auf 5 Rucksäcken ist mit diesem System auch leicht nachvollziehbar und somit auch für jeden beliebigen Übergang von n auf n+1. 14 Lösung: Von dem Übergang von 3 auf 4 ausgehend ist der allgemeine Übergang von n auf n+1 für (fast) alle natürlichen Zahlen anwendbar; er versagt aber logischerweise beim Übergang von 1 auf 2. Hier lässt sich das oben benutzte Gedankenexperiment nicht anwenden. Daher sind die Kriterien für eine vollständige Induktion nicht erfüllt. Es wurde mittels einer (scheinbaren) vollständigen Induktion eine Falschaussage gemacht! Wo steckt der fehlende Euro? Drei Kinder wollen sich einen Ball kaufen. Der Ball kostet 30 €. Jeder der drei Kinder zahlt 10 €. Nach 5 Minuten stellt der Verkäufer fest, dass der Ball nur 25 € kostet. Er gibt dem Lehrling 5 € und sagt er soll diese 5 € den dreien zurückgeben. Der Lehrling denkt sich: 5 geteilt durch drei ist schlecht zu bewerkstelligen. Er gibt daraufhin jedem der drei jeweils 1 € zurück und 2 € behält er für sich. Nun hat jedes Kind nur 9 € bezahlt. Das heißt aber: 3 x 9 € = 27 € + 2 € die der Lehrling hat, sind 29 €. Wo ist der fehlende Euro? Lösung: Es gibt natürlich kein Problem! Es sind nur die Worte, die aufs Glatteis führen. 27 € und 2 € zu addieren ist völlig bedeutungslos. 30 € - 3 x 1 € = 27 Euro 27 € - 2 € die er behält = 25 € → Preis für den Ball! oder 3 x 9 € = 27 € 27 € - 2 € = 25 € → Preis für den Ball! Fußballfeld Ein Fußballfeld ist normalerweise 105 m lang und 68 m breit. Der Umfang des Feldes, einmal außen herum, beträgt also 346 m. Jetzt nehmen wir ein Seil, das genau 347 m lang ist, also genau einen Meter länger als der Umfang des Spielfeldes. Dieses Seil legen wir um das Spielfeld herum. Ganz ordentlich, so dass es überall den gleichen Abstand vom Spielfeld hat. Das Seil bildet also auch ein Rechteck, das ein bisschen größer als das Spielfeld ist. Es hat oben und unten, rechts und links den gleichen Abstand zum Spielfeld. Wie groß ist dieser Abstand? Passt in den Rand zwischen Spielfeld und Seil eine Trillerpfeife? Eine weitere Begrenzungslinie? Oder ein Fußballschuh? Lösung: Der größte Teil des Seils liegt parallel zu den ursprünglichen Kanten des Feldes. Hierfür werden 346 m des Seils benötigt. Nur ein einziger Meter des Seils kann für die Erweiterungen an den Ecken benutzt werden. Der zusätzliche Meter des Seils wird somit auf acht gleich lange Stücke (je 12,5 cm) aufgeteilt. 15 Äquatoraufgabe Ein Seil wird straff um den Äquator (ca. 40000 km Länge) gespannt und anschließend um 1 Meter verlängert. Wie weit steht das Seil von der Erde ab, wenn man es überall gleichmäßig und gleichzeitig hochzieht? Der gleiche Sachverhalt - nur wird das Seil jetzt nicht um die Erde gespannt, sondern um einen Medizinball, der einen Umfang von 2 Metern hat. Wie weit steht das Seil in diesem Fall ab? Lösung: U Erde ( r )=2 r π 2(r + x)π=2 r π+1 U neu ( r)=2 r π+1 x= 1 =0,159 m=15,9 cm 2π In beiden Fällen ist die Lösung 15,9 cm. Das Ergebnis hängt also nicht vom Radius ab! Teile und Staple Folgendes Rätsel führt die Macht des Verdoppelns vor Augen. Nehmen Sie ein Blatt Papier und reißen Sie es mittendurch. Legen Sie die beiden Hälften aufeinander und zerreißen Sie sie in vier Stücke. Legen Sie diese wieder aufeinander und zerreißen sie in nunmehr acht Stücke. Noch einmal dasselbe, und Sie haben 16 Stücke. Tun Sie das 42 mal. Das können Sie natürlich nicht, wie Sie bald feststellen werden. Wie hoch wäre der Stapel, wenn Sie es könnten? So hoch wie ein Tisch? Wie ein Haus? Wie ein Wolkenkratzer? Bis zur Sonne? Wie nehmen an, dass ein Blatt einen Zehntelmillimeter dick ist, ein Stapel von 100 Blatt also einen Zentimeter dick. Lösung: Fast bis zum Mond! (Der Mond ist von der Erde rund 385 000 km entfernt.) 242/10000000 = 440 000 km 16