LU 18 und 35 Geometrie Konstruktionen 2. Teil

M8 Geometrie Konstruktionen 2. Teil
1 Repetition und Ergänzung Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal:
Mittelsenktrechte
Winkelhalbierende
Mittelparallele
a
A
B
b
S
Gleichseitiges Dreieck
Lot auf g durch P ∈ g
Lot von P auf Gerade g
P
P
A
g
g
B
2 Linien und Punkte im Dreieck
2.1
Mittelsenkrechten Umkreis, k (Umkreismittelpunkt M, Umkreisradius r)
C
spitzwinklig
C
B
B
A
A
C
B
A
rechtwinklig
stumpfwinklig
Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der
Umkreismittelpunkt ________________ des Dreiecks
Bei rechtwinkligen Dreiecken liegt der
M
Umkreismittelpunkt auf der__________________ des Dreiecks
r
Der Zentriwinkel ist __________________
________________ wie der Peripheriewinkel.
M8 Geometrie 2
Umkreis
1
Winkelhalbierende und Inkreis, k (Inkreismittelpunkt O, Inkreisradius ρ)
2.2
C
B
A
2.3
Höhen und Höhenschnittpunkt H
H
C
H
rechtwinklig
stumpfwinklig
B
A
2.4
Seitenhalbierenden oder Schwerelinien, Schwerpunkt S
C
A
B
2.5
Mittelparallelen oder Mittellinien
C
B
A
M8 Geometrie 2
2
3 Übersicht Linien im Dreieck
oder Schwerelinien
___________________
Die Mittellinien
oder Mittelparallelen
___________________________
M8 Geometrie 2
3
4 "Satz des Thales":
Alle Peripheriewinkel über einem Kreisdurchmesser sind rechte Winkel.
Zum Beweis werden zwei ebenfalls von Thales
bewiesene Sätze benötigt:
1. Die beiden Winkel an der Grundseite
(Basiswinkel) eines gleichschenkligen
Dreiecks sind gleich groß.
2. Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
Aus der Zeichnung ist zu erkennen, dass die Dreiecke MAC und MBD je gleichschenklig sind.
Daher ist der Winkel γ aus den Winkeln α und β zusammengesetzt.
Die Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt 180°:
α + β
+ γ
= 180°
Dividiert man diese Gleichung durch 2, so ergibt sich
.
Damit ist gezeigt, dass der Winkel γ bei C ein rechter Winkel ist.
Thaleskreis Konstruktion
B
A
Tangentenkonstruktion
T2
M
P
T1
Konstruiere vom Punkt P aus die Tangenten an den Kreis!
Markiere die
Tangentenabschnitte
→ PT1 = PT2 mit Farbe
und beschrifte die
Tangentenberührpunkte
mit T1 und T2 !
P
M8 Geometrie 2
4
5 Winkel am Kreis
Suche möglichst alle rechten Winkel. Markiere sie mit Punkten. Markiere auch noch die 75° Winkel.
A
B
Linke Figur: Zeichne über und unter der Strecke AB verschiedene rechtwinklige Dreiecke.
Wo liegen alle Punkte C?
Rechte Figur: Zeichne von A aus verschiedene Geraden. markiere die Schnittpunkte mit C2, C3 usw.
Zeichne bei C2, C3 etc. Senkrechten. Wo treffen sich diese Senkrechten?
C1
A
B
C2
M
A
M8 Geometrie 2
5
6 Die Sprache in der Geometrie
(Der Kurztext ist eine Möglichkeit etwas Zeit zu sparen, er muss nicht genau so geschrieben sein!)
Kurztext
Erläuterung
a = AB
A∈g
k1 (A, r = 3 cm)
⊥ zu a durch P
⊥ zu a
|| zu b durch B
α an g
Winkel BAC
MS zu AB
wα
sa
Streifen hc
g ∩ k1 (A, r) → A
Diagonale AC
Strecke a durch die Punkte A und B zeichnen
Punkt A auf der Geraden g wählen
Kreis (oder Bogen) um A mit Radius r zeichnen
Eine Senkrechte zur Geraden a durch den Punkt P errichten
Lot zur Geraden A fällen
Eine Parallele zur Geraden b durch den Punkt B zeichnen
Winkel α an der Geraden g abtragen.
Winkel BAC abtragen.
Die Mittelsenkrechte der Seite AB konstruieren
Winkelhalbierende von α konstruieren
Seitenhalbierende von a konstruieren
Höhenstreifen hc Konstruieren
Die Gerade g mit dem Kreis k1 geschnitten ergibt den Punkt A
Diagonale AC zeichnen
Führe folgende Anweisungen aus:
1. Strecke AB = 5 cm, A, B ∈ g
2. ⊥ zu AB durch A und B
3. k1 (A, 5 cm) ∩ k2 (B, 5 cm) → M
4. k3 (M, 5 cm)
5. Gerade AM ∩ k3 → D
6. Gerade BM ∩ k3 → E
7. || zu AB durch M ∩ k3 → C, F
Welche Anweisung
überflüssig?
g
M8 Geometrie 2
6
7 Aufgaben aus dem alten Mathebuch
7.1
Aufgaben Dreiecke mit Höhen
7.2
Lösungen Dreiecke mit Höhen, Kontrollgrössen
M8 Geometrie 2
7
7.3
Konstruktionen Dreiecke, Umkreis und Inkreis
M8 Geometrie 2
8
7.4
Lösungen Dreiecke, Umkreis und Inkreis
M8 Geometrie 2
9
7.5
Konstruktionen Dreiecke mit Seitenhalbierenden/Schwerelinien
7.6
Lösungen Dreiecke mit Seitenhalbierenden/Schwerelinien
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10