Seminar vom 05. 08. 2008. Aufgabenblatt 04a
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Trainingsblatt 04a (freiwillig) Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik 15.05.2008 Aufgaben 1. Ein Kondensator, zwischen dessen Platten sich Eis befindet, wird auf eine Spannung von 1000V aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt. Das Eis schmilzt und bleibt im Kondensator. Nach dem Schmelzen beträgt die Spannung am Kondensator 39.2V . Wie gross ist die Dielektrizitätszahl des Eises, wenn Wasser = 81 hat und die Verluste durch die Leitfähigkeit vernachlässigt werden. 2. Elektronen haben eine relativistische Ruheenergie von 511keV . Eine geladene homogene Kugel mit der Ladung e und dem Radius re hat in ihrem elektrischen Feld Energie gespeichert. Wie gross ist re , wenn die gesamte Energie des elektrischen Feldes der relativistischen Ruheenergie entspricht? 3. Die Spannung an einem Plattenkondensator (Abstand der Platten d = 100mm) wird wie U (t) = U0 sin(ωt) mit ω/(2π) = 5M Hz variiert. Wie gross muss U0 sein, damit die Amplitude des zwischen den Platten hinund herschwingenden Elektrons 5mm ist? 4. Eine Kugel mit dem Radius R = 2cm sei mit Q = 1µC geladen. Wie gross ist die Bahngeschwindigkeit eines Elektron, das sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius r = 3cm um die Kugel bewegt. Wie gross ist die Umlaufszeit? Wie gross wäre die Umlaufszeit, wenn der Bahnradius verdoppelt wird? Können Sie Ergebnisse aus der Mechanik-Vorlesung verwenden? 5. Ein Metallwürfel mit der Kantenlänge a wird so geteilt, dass die die jeweils drei Seiten, die zwei diagonal gegenüberliegende Ecken berühren, je mit der Ladung Q oder −Q geladen werden. Vernachlässigen Sie Randeffekte und berechnen Sie die Feldstärke (Betrag und Richtung) im Zentrum des Würfels. 6. Eine Massenspektrometer könnte aus einem Plattenkondensator mit einem Plattenabstand d und einer Spannung U zwischen den Platten bestehen. Mit einer Elektronenladung geladenen Teilchen der Masse m werden in der Mitte zwischen den beiden Platten parallel zu den Platten mit der Geschwindigkeit v eingeschossen. Wie weit vom Einschusspunkt weg muss eine Platte mit einem Loch versehen werden, um Teilchen der Masse m0 zu extrahieren? Wie ändert sich die extrahierte Masse mit der angelegten Spannung? 7. In einer eindimensionalen Welt befindet sich eine Ladung q0 = 1nC im Feld zweier Ladungen q1 = q2 = 10nC, die bei x1 = −0.1m und x2 = +0.1 befestigt sind. Wo ist die Ruhelage von q0 auf der x-Achse? Mit welcher Frequenz wird q0 um die Ruhelage oszillieren, wenn die Amplitude klein gegen 0.1m ist? 8. Zwei identische Moleküle mit der Masse von 50 Kohlenstoffatomen befinden sich 10nm voneinander.Mit einem Laserpuls werden jedem Molekül genau ein Elektron genommen. Was ist für sehr grosse Abstände die Endgeschwindigkeit der Moleküle? Vernachlässigen sie die Elektronenmasse. Warum darf man das tun? 9. Kochsalz kristallisiert in Würfelform, wobei sich an den Würfelecken immer positiv geladenes Natrium und negativ geladenes Chlor abwechseln. Wenn nun ein grosser Kochsalzkristall entlang zweier paralleler Ebenen gespalten wird, und die Ebenen senkrecht auf einer Würfeldiagonalen stehen, bestehen die Oberflächen nur aus einer Atomsorte. Wenn das Spaltprodukt quaderförmig mit zwei Spaltflächen der Grösse 1cm2 ist und auf beiden Seiten Natrium an der Oberfläche liegt, wie gross wäre die Ladung dieses Spaltproduktes? Wie gross wäre die Kraft um das Kochsalz auf einer Fläche von 1cm2 entlang einer Spaltfläche auseinander zu reissen? 1 Lösungen 1. Der Kondensator wird einmal geladen, hier mit Dielektrikum Eis mit unbekannter Dielektrizitätskonstante, mit einer Spannung von 1kV. Bei so einmal geladenen Kondensatoren gilt U= U0 εr wobei U0 die Spannung ist, wenn als Dielektrikum Vakuum verwendet wird. Damit gilt: Ueis · εeis = Uwasser · εwasser oder Uwasser = 3, 175 Ueis εeis = εwasser · 2. Das Feld einer geladenen Kugel ist (r > Kugelradius) E (r) = 1 Q 4πε0 r2 Die Energiedichte eines Feldes (im Vakuum) ist w= E·D ε0 = E2 2 2 Hier ergibt sich w (r) = 1 1 Q2 32π 2 ε0 r4 Dies muss über den gesamten Raum integriert werden ab dem (gesuchten) Kugelradius r0 und soll gleich sein zu der Ruheenergie des Elektrons = m0 c2 = 511keV (m0 = Ruhemasse) Z∞ r=r0 1 1 2 w (r) dV = Q 32π 2 ε0 Z∞ r0 1 Q2 1 · 4πr2 dr = = m0 c2 4 r 8πε0 r0 Damit ergibt sich der (klassisch berechnete) Elektronenradius - falls das Elektron eine homogen geladene Kugel wäre - zu (e0 = Elektronenladung) r0 = 3. Das Feld im Kondensator ist E = e20 = 1, 4 · 10−15 m = 1, 4f m 8πε0 m0 c2 U d. Die Kraft auf das Elektron in diesem Feld ist (e0 = Elektronenladung = 1, 6·10−19 As, me = Elektronenmasse = 9, 1 · 10−31 kg) U e0 F =E·q = = me · ẍ d Die Kraft ist periodisch (sinusförmig), und deshalb ist die Bewegung des Elektrons ebenfalls periodisch sinusförmig mit der Amplitude x0 , also x = x0 sin (ωt + ϕ) → ẍ = −x0 · ω 2 · sin (ωt + ϕ) Damit ergibt sich für die Beträge: U0 = me · x0 · ω 2 · 2 d = 2, 81V e0 4. Nicht relativistisch gerechnet: Das Feld einer Kugelladung Q ist E = 4πεQ0 r2 . Die Kraft auf eine Probeladung q ist F = E · q. Bei kreisförmiger Bewegung der Probeladung muss im Gleichgewicht diese Kraft gleich der Zentrifugalkraft sein, also: Qq v2 =m· 2 4πε0 r r q Q·q damit ergibt sich: v= m4πε . 0r Für die beiden Fälle (r1 = 3 cm, r2 = 6 cm) ergibt sich (mit q = 1, 6 · 10−19 C, m = 9, 1 · 10−31 kg) v1 ≈ 230 · 106 m s bzw. v2 = 162, 3 · 106 m s Dies sind so grosse Geschwindigkeiten, dass relativistisch gerechnet werden muss: statt des Ausdruckes... 2 m0 · v02 muss gesetzt werden m0 q v v2 . Das führt auf 1− c2 sr v = v0 1+ 1 v 0 4 1 v 0 2 − 4 c 2 c als Umrechnung der Geschwindigkeiten: also: v1r ≈ 199 · 106 m s Die Umlaufzeiten ergeben sich daraus zu T = 2π w bzw v2r = 151 · 106 m s 2πr v = T1 = 0, 95ns T2 = 2, 5ns 5. Die Würfelflächen werden bezüglich des elektrischen Feldes, das von den Ladungen auf den Flächen herrührt, so behandelt, als ob sie unendlich gross wären, also das Feld nur von der Ladungsdichte σ und nicht dem Abstand von der Fläche abhängt. σ E= 2πε0 Die Richtung des Feldes ist gleich der Flächennormale. Da die beiden geteilten Würfelhälften gleich stark aber entgegengesetzt geladen sind, wird das Feld doppelt so gross, wie wenn nur eine Hälfte vorhanden wäre. Die drei Flächen der Würfelhälfte zeigen in alle drei Raumrichtungen, ergibt sich als das Gesamtfeld zu: 1 Q ~ 1 Eges = πε0 a2 1 Die Richtung des Feldes zeigt damit in die Raumdiagonale des Würfels, die die Teilung des Würfels festlegt. 6. Das Feld im Kondensator ist E = U d. Die Kraft auf ein geladenes Teilchen (Ladung q) ist F =E·q = U ·q = m · ÿ d (y zeige senkrecht zu den Kondensatorplatten, x in Flugrichtung des Teilchens). Der Flugweg in y-Richtung sy ist d 2 und mit der Flugzeit über die Beschleunigung ÿ verbunden: sy = 3 d 1 = ÿt2 2 2 Aus der Flugzeit ist der gesuchte x-Ort des Detektorloches bestimmbar zu xe = t · v Also s xe = t · v = v d =v ÿ s d2 m qU Damit ist bei gegeben xe die Masse proportional zur Spannung. 7. Aus Symmetriegründen muss die Ruhelage der Probeladung genau zwischen den beiden Ladungen sein (alle Ladungen haben das gleiche Vorzeichen). Natürlich ergibt sich dies auch mithilfe des Coulombgesetzes: Annahme: Probeladung q0 befindet sich bei x, feste Ladungen q1 bei −a, q2 (= q1 ) bei +a. Im Gleichgewicht muss die Summe der Kräfte von beiden Ladungen berührend Null sein, also F1 + F2 = q0 · q1 x − (−a) x−a q0 q1 2 · |−a − x| + 2 · |a − x| = 0 4πε0 (−a − x) 4πε0 (a − x) Daraus folgt: x = 0. Für die Berechnung der Schwingfrequenz wird einerseits die Masse der Probeladung m (hier allgemein gelassen) und andererseits die Kraft bei Auslenkung x benötigt. Diese erhält man aus der Taylorentwicklung obiger Kraft für kleine Auslenkungen x << a aus der Nulllage: 1 q0 q1 1 F1 + F2 = m · ẍ = (+1) + · (−1) 4πε0 (a + x)2 (a − x)2 " # 1 q0 q1 1 = − 2 4πε0 a2 1 + x 2 1 − xa a q0 q1 2x 2x q0 q1 − 1+ =− ≈ · 1− x 2 4πε0 a a a πε0 a3 Daraus ergibt sich die Schwingungsfrequenz zu r ω= q0 q1 πε0 a3 m 8. Die Anfangsenergie ergibt sich (aus dem Potential der Ladung des einen Moleküls und der Ladung des q1 ·q2 anderen) zu w0 = 4πε bei Anfangsabstand r0 . Da beide Moleküle gleich geladen sind, stossen sie sich ab 0 ·r0 und werden eine Grenzgeschwindigkeit v erreichen, wenn sie weit von einander entfernt sind. Die kinetische Energie muss dann der anfänglichen elektrischen Energie gleich sein, also: 2 m 2 q1 q2 v = 2 4πε0 · r0 Damit ergibt sich: r v= q1 q2 4πε0 · r0 m Die Masse eines Moleküls ist m = 50 · 12 · u mit u ≈ 1, 67 · 10−27 kg Die Ladungen sind q1 = q2 = e0 = 1, 6 · 10−19 C. Somit s v= e20 = 151, 6m/s 4πε0 · r0 600u 4 9. Wenn bei diesem Spalten an beiden Seiten N a+ Ionen sind, ist die Gesamtladung des Quaders gleich der Oberflächenladung an einer Spaltfläche, die der anderen wird durch die Cl− −Ionen kompensiert. Um die Ladung einer Spaltfläche (1 cm2 ) zu berechnen, wird die Gitterkonstante c = 0, 564nm benötigt. Die √ c + N a −Ionen sind 2 2 voneinander entfernt und bilden an den Spaltflächen gleichseitige Dreiecke. Die √ Fläche eines solchen ist Ag = 3 2 4 a mit a =Seitenlänge. Pro ”Dreieck” gibt es ein N a+ −Ion, also N= A = Ag √ 3 4 A · c2 4 8A =√ = 1, 45 · 1015 3c2 ·2 Der Abstand zwischen Cl-Ionen und √ Na-Ionen beim Spalten ist gleich der halben Raumdiagonalen eines c c 3 Würfels mit 2 Kantenlänge, also 2 2 . Damit ist die Kraft F =N q1 · q2 e−2 16 = N = 5, 6M N 4πε0 r2 4πε0 · c2 3 5
