1.2 Klassen und Mengen

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1.2
Klassen und Mengen
Als undefinierten Grundbegriff verwenden wir den Begriff der Klasse. Dieser
ist allgemeiner als der Mengenbegriff und wird in der Algebra zur Definition
sogenannter Kategorien — zum Beispiel der “Kategorie aller Mengen” (s.u.) —
benötigt. Klassen bezeichnen wir mit kleinen Buchstaben: a, b, c, . . . Gegeben
sei eine Elementbeziehung ∈ (“. . . ist Element von . . .”), und für je zwei Klassen
a und b gelte entweder a ∈ b oder ¬(a ∈ b) (hierfür schreiben wir auch kurz:
a 6∈ b). Mit ihrer Hilfe definieren wir jetzt den Mengenbegriff:
1.2.1 Definition (Menge, Unmenge) Die Klassen x, die als Elemente auftreten können, also die Klassen x mit der Eigenschaft ∃ a: x ∈ a, heißen Mengen.
Hierfür schreiben wir auch kurz Mg(x), d.h. wir definieren
Mg(x) :⇐⇒ ∃ a: x ∈ a.
Klassen, die keine Mengen sind, heißen Unmengen. Dies sind also die Klassen x
mit ¬Mg(x).
•
Aussagen der speziellen Gestalt a ∈ b heißen einfache Aussagen. Mittels Junktoren oder Quantoren erhält man aus diesen die sogenannten einschlägigen Aussagen bzw. Aussageformen. Ein Bespiel ist die oben erwähnte Aussage über die
Zahlen mit einer ungeraden Anzahl von Teilern. Mit diesen Begriffen können wir
jetzt einige Axiome formulieren, deren Gültigkeit wir im folgenden unterstellen
wollen.
1.2.2 Das Klassenbildungsaxiom Zu jeder einschlägigen Aussageform A(x)
gibt es eine Klasse a, welche genau diejenigen Mengen als Elemente enthält, die
der Aussageform genügen:
∃ a ∀ x : (x ∈ a) ⇐⇒ (Mg(x) ∧ A(x)).
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Diese Klasse ist also durch A(x) vollständig bestimmt. Die Gleichheit zweier
Klassen kann mit Hilfe der Elementbeziehung so definiert werden:
a = b :⇐⇒ ∀ x: (x ∈ a) ⇐⇒ (x ∈ b).
Zwei Klassen sind also genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Sie sollen dadurch auch vollständig bestimmt sein, d.h. sich beide bzgl.
Elementbeziehung gleich verhalten. Wir fordern deshalb
1.2.3 Das Umfangsbestimmtheitsaxiom Klassen sind durch ihre Elemente
eindeutig bestimmt:
∀ a, b, c : ((a = b) ∧ (a ∈ c)) =⇒ (b ∈ c).
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1.2. KLASSEN UND MENGEN
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Mit anderen Worten: Zwei Klassen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben
Elemente enthalten! Die durch A(x) bestimmte Klasse können wir deshalb auch
so beschreiben:
a = {x | Mg(x) ∧ A(x)}.
1.2.4 Beispiele
i) ∅ := {x | Mg(x) ∧ ¬Mg(x)}, die leere Klasse, sie enthält kein einziges
Element. Schon im nächsten Axiom werden wir fordern, daß ∅ eine Menge
ist.
ii) R := {x | Mg(x) ∧ x 6∈ x}, die Russellsche Klasse, sie ist eine Unmenge.
Diese Behauptung ist eine Implikation:
(a = R) ⇒ ¬Mg(a),
wir verwenden zum Nachweis ihrer Gültigkeit die Methode des indirekten
Beweisens.
Beweis: Die (indirekte) Annahme Mg(R) ergibt wie folgt einen Widerspruch:
- Falls R ∈ R ist ergibt sich, wegen R := {x | Mg(x) ∧ x 6∈ x} und der
indirekten Annahme Mg(R), daß R ∈
6 R, im Widerspruch zu dem
hier betrachteten Fall R ∈ R.
- Sei umgekehrt R 6∈ R. Wir erhalten dann — wiederum nach der
Definition von R und wegen der indirekten Annahme Mg(R) — daß
R ∈ R, also auch hier einen Widerspruch.
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iii) A := {x | Mg(x)}, die Allklasse, sie enthält alle Mengen als Elemente und
ist ebenfalls eine Unmenge (s.u.).
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1.2.5 Das Axiom der leeren Menge Die leere Klasse ist eine Menge:
Mg(∅).
2
Gilt für zwei Klassen a und b : ∀ x : (x ∈ a) ⇒ (x ∈ b), dann heißt a Teilklasse
von b und wir schreiben
a ⊆ b.
Gilt darüber hinaus noch a 6= b, dann schreiben wir
a ⊂ b.
(Leider ist die Verwendung dieser beiden Bezeichnungen in der Literatur nicht
einheitlich, ⊂ wird oft auch geschrieben, wenn Gleichheit zugelassen wird!) Die
leere Klasse liegt in jeder anderen, und jede Klasse liegt in der Allklasse:
∀ a: ∅ ⊆ a ⊆ A.
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1.2.6 Das Axiom der Teilmenge Teilklassen von Mengen sind Mengen:
(Mg(a) ∧ (b ⊆ a)) =⇒ Mg(b).
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Hiermit kann man zeigen, daß die Allklasse eine Unmenge ist (Übungsaufgabe!).
Für die Vereinigung und den Durchschnitt zweier Klassen verwenden wir die
üblichen Symbole
a ∪ b := {x | Mg(x) ∧ (x ∈ a ∨ x ∈ b)}
und
a ∩ b := {x | Mg(x) ∧ x ∈ a ∧ x ∈ b}.
1.2.7 Das Axiom der Vereinigungsmenge Die Vereinigung zweier Mengen
ist wieder eine Menge:
(Mg(a) ∧ Mg(b)) =⇒ Mg(a ∪ b).
2
Zusammen mit 1.2.6 ergibt sich daraus
1.2.8 Folgerung Der Schnitt zweier Mengen ist ebenfalls eine Menge:
(Mg(a) ∧ Mg(b)) =⇒ Mg(a ∩ b).
2
Für diese Verknüpfungen ∩ und ∪ von Klassen gelten die für Mengen bekannten
Gesetze:
1.2.9 Eigenschaften von ∩ und ∪ Für alle Klassen a, b, c gilt:
a ∩ (b ∩ c) = (a ∩ b) ∩ c, a ∪ (b ∪ c) = (a ∪ b) ∪ c,
d. h. ∩ und ∪ sind assoziativ. Es gilt auch
a ∩ b = b ∩ a,
∩ und ∪ sind demnach kommutativ. Sie sind auch idempotent:
a ∩ a = a, a ∪ a = a,
und es gelten die beiden Distributivgesetze:
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c), a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c).
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Beweis: Diese Gleichungen beweist man mit Hilfe der Aussagenlogik. Wir sehen
uns dies für eine dieser Gleichungen genau an, die andere folgen ganz analog
und sind Ihnen sowieso aus dem Schulunterricht bekannt!
Als Aussage A nehmen wir die Aussage x ∈ a, und als Aussagen B und C
eintsprechend x ∈ B bzw. x ∈ C. Weil — wie man leicht nachprüft — A∧(B∨C)
werteverlaufsgleich ist mit (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), haben wir also beispielsweise
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c).
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Als Komplementärklasse bezeichnen wir
a := {x | Mg(x) ∧ x 6∈ a},
als relatives Komplement bzgl. der Klasse b :
a\b := {x | Mg(x) ∧ (x ∈ a) ∧ (x 6∈ b)}.
Hierfür gelten (bitte nachprüfen)
1.2.10 Die de Morganschen Regeln Für Klassen a, b und deren absolute
Komplemente gilt:
a ∪ b = a ∩ b, a ∩ b = a ∪ b.
Für relative Komplemente gilt
a\b = (a ∩ b) = a ∪ b.
2
1.2.11 Definition (Vereinigung und Schnitt) Vereinigung und Schnitt zweier Klassen können noch deutlich verallgemeinert werden: Zu einer einschlägigen
Aussage A definieren wir
[
x := {y | Mg(y) ∧ ∃x(A(x) ∧ y ∈ x)}
x: A(x)
und
\
x := {y | Mg(y) ∧ ∀x(A(x) ⇒ y ∈ x)}.
x: A(x)
•
1.2.12 Beispiele Spezialfälle einschlägiger Aussagen sind die einfachen Aussagen wie x ∈ a, wir erhalten also die Beispiele
[
V (a) :=
x = {y | Mg(y) ∧ (∃ x ∈ a: y ∈ x)},
x∈a
S(a) :=
\
x = {y | Mg(y) ∧ (∀ x ∈ a: y ∈ x)}.
x∈a
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1.2.13 Das große Axiom der Vereinigungsmenge
Mg(a) ⇐⇒ Mg(V (a)).
2
1.2.14 Definition (Einerklasse) Wir definieren zunächst zu jeder Klasse a
die sogenannte Einerklasse
{a} := {x | Mg(x) ∧ (Mg(a) ⇒ x = a)}.
•
Ist a eine Menge, dann ist {a} eine Klasse, die ein einziges Element enthält,
nämlich a. Ist dagegen a keine Menge, dann ist {a} die Allklasse. Die Bildung
der Einerklasse ist also eigentlich nur für Mengen interessant. Wir verwenden
diese Klassenbildung auch zur Einführung der Klassen
{a, b} := {a} ∪ {b}, {a, b, c} := {a} ∪ {b} ∪ {c}, . . .
Als nächstes wird gefordert, daß die Einerklasse einer Menge ebenfalls Menge
ist:
1.2.15 Das Axiom der Einermenge: Mg(a) =⇒ Mg({a}).
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Diese Mengen werden entsprechend als Einermengen bezeichnet.
1.2.16 Beispiele (die natürlichen Zahlen) Wir haben bereits durch ein
Axiom gefordert, daß die leere Klasse eine Menge sei. Diese definieren wir als
die natürliche Zahl 0:
0 := ∅,
und wir erhalten daraus Mg(0), die natürliche Zahl Null ist die leere Menge.
Daraus ergibt sich die natürliche Zahl 1 als die vielleicht wichtigste Einermenge:
1 := {∅} = {0}.
Nach dem Axiom der Einermenge ist also auch diese natürliche Zahl eine Menge!
Ganz entsprechend wird dann
2 := {0, 1}
gesetzt, die natürliche Zahl n ist
n := {0, 1, . . . , n − 1}.
Nach dem gleich folgenden Prinzip der vollständigen Induktion sind damit alle
natürlichen Zahlen definiert.
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1.2.17 Definition (die Klasse N der natürlichen Zahlen) Wir definieren
zunächst zu jeder Klasse a deren Nachfolger:
a+ := a ∪ {a}.
Die Klasse N der natürlichen Zahlen wird als die kleinste Klasse definiert, welche
die Null und zu jedem ihrer Elemente auch deren Nachfolger enthält:
\
N :=
a.
0∈a,∀x(x∈a⇒x+ ∈a)
•
Wir fordern schließlich, daß N eine Menge ist:
1.2.18 Axiom der Menge der natürlichen Zahlen: Mg(N).
2
Eine unmittelbare Folgerung hieraus ist der nachstehende Satz, der ein weiteres
sehr wichtiges Beweisprinzip beschreibt, die sogenannte vollständige Induktion.
Sie besagt, daß jede Aussage A(x) für alle natürlichen Zahlen x wahr ist, wenn
man zeigen kann, daß A(0) wahr ist und auch (für beliebiges n) die Implikation
A(n) ⇒ A(n+ ). (Beim Beweis dieser Implikation kann man voraussetzen, daß
A(0), A(1), . . . , A(n − 1) wahr sind.)
1.2.19 Satz (Prinzip der vollständigen Induktion)
[(M ⊆ N) ∧ (0 ∈ M ) ∧ (∀ x: (x ∈ M ) ⇒ (x+ ∈ M ))] =⇒ (M = N)
Beweis: Wegen der Voraussetzung
(0 ∈ M ) ∧ (∀ x: (x ∈ M ) ⇒ (x+ ∈ M ))]
gilt N ⊆ M. Da auch M ⊆ N gelten soll, folgt mit der Antisymmetrie von ⊆ die
Gleichheit M = N.
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Schließlich definieren wir noch die Potenzklasse von a :
P (a) := {x | Mg(x) ∧ x ⊆ a}.
Aufgabe 1.2.1
Zeigen Sie, daß es sich bei “Die Anzahl der positiven Teiler einer positiven
natürlichen Zahl ist genau dann ungerade, wenn die Zahl ein Quadrat ist” um
eine einschlägige Aussage handelt.
Aufgabe 1.2.2
Die durch das Umfangsbestimmtheitsaxiom definierte Gleichheit von Klassen
hat die folgenden Eigenschaften: Sie ist
• reflexiv: a = a,
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• symmetrisch: (a = b) ⇒ (b = a),
• transitiv: ((a = b) ∧ (b = c)) ⇒ (a = c).
Aufgabe 1.2.3
Die Teilklassenbeziehung hat die folgenden Eigenschaften: Sie ist
• reflexiv: a ⊆ a,
• antisymmetrisch: ((a ⊆ b) ∧ (b ⊆ a)) ⇒ (a = b),
• transitiv: ((a ⊆ b) ∧ (b ⊆ c)) ⇒ (a ⊆ c).
Aufgabe 1.2.4
Zeigen Sie ausführlich, daß gilt a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c), und beweisen Sie
die de Morgansche Regel a ∪ b = a ∩ b.
Aufgabe 1.2.5
Spezialfälle der Distributivgesetze sind die Gesetze der Absorption:
a ∩ (b ∪ a) = a = a ∪ (b ∩ a).
Mathematische Strukturen mit zwei Verknüpfungen (genaue Definition folgt
weiter unten) wie ∪ und ∩, die kommutativ, assoziativ, idempotent und absorptiv sind, heißen Verbände. Zeigen Sie deshalb, daß die Gesetze der Absorption
gelten. (Sie haben dann bewiesen, daß die Klassen und auch die Mengen einen
Verband bzgl. ∪ und ∩ bilden!)
Aufgabe 1.2.6
Zeigen Sie, da für drei Klassen a, b, c stets gilt:
a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c).